楊巧德，張侃健

（東南大學(xué)自動化學(xué)院, 南京 210096）

1 引言

動態(tài)系統(tǒng)的逆模型問題一直是工業(yè)控制策略中重要的組成部分。逆模型的精確程度在一定程度上影響了整個控制系統(tǒng)的性能，尤其對于高性能運動控制，其前向控制器的補償很大程度上依賴于逆模型的結(jié)構(gòu)。

對于最小相位系統(tǒng)，其逆是穩(wěn)定的因果的，而非最小相位系統(tǒng)因不穩(wěn)定零點的存在，使得系統(tǒng)存在兩種逆，一為因果的但不穩(wěn)定，二為穩(wěn)定但非因果，這在實際中是無法實現(xiàn)的。很多文獻對該系統(tǒng)的逆模型進行了討論，文獻[1]針對SISO對象的逆模型提出了各種不同的控制算法，包括精確的和近似的逆模型算法，其中零相位誤差跟蹤控制（ZPETC）得到了大量的應(yīng)用。文獻[2]將非最小相位系統(tǒng)的逆問題轉(zhuǎn)化為了H∞范數(shù)優(yōu)化的最優(yōu)模型匹配問題，這類問題的求解大部分要借助于Nevanlinna-Pick插值或者迭代方法。文獻[3]借助于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來直接或間接地辨識模型的逆。文獻[4]結(jié)合Widrow和Walach提出的自適應(yīng)逆控制的方法，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于模型的辨識和逆控制。但是這些方法適合于離線的學(xué)習(xí)，當模型結(jié)構(gòu)具有不確定性或模型不匹配時，實際系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間要比仿真的結(jié)果差，因此，在線學(xué)習(xí)則需要相應(yīng)地改變。

與最小相位系統(tǒng)相比，非最小相位系統(tǒng)的一個最大特征就是階躍響應(yīng)呈現(xiàn)負調(diào)或反向響應(yīng)特性。該負調(diào)是無法避免的，而且在某些系統(tǒng)中是十分不利的，必須對過大的負調(diào)加以限制[5]，許多文獻恰恰忽視了這方面的限制[6]。消除負調(diào)最理想的方法就是零極點對消，但在實際中是不可行的，因為這會使得控制器中含有不穩(wěn)定的極點，從而使得級聯(lián)的系統(tǒng)具有無界的內(nèi)部信號，這實際上使整個的系統(tǒng)隱藏了不穩(wěn)定部分[7]。雖然非最小相位系統(tǒng)的逆不易獲得，但可以用近似的逆來代替，特別是自適應(yīng)逆控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，使得控制實現(xiàn)更加容易。

針對非最小相位系統(tǒng)逆的問題，本文采用N拍帶延遲的FIR濾波器結(jié)構(gòu)近似逆系統(tǒng)，使得逆控制器本身是穩(wěn)定的，又避免了直接的零極點對消。逆建模時，首先根據(jù)對象的先驗知識離線訓(xùn)練對象的逆模型，然后作為一個前向控制器，再通過LMS算法在線調(diào)節(jié)控制器中的參數(shù)。離線階段，通過RLS濾波算法最小化模型輸出誤差，得到對象的近似逆模型；在線階段，通過LMS算法反傳對象的誤差信號最小化系統(tǒng)的輸出誤差。仿真發(fā)現(xiàn)，自適應(yīng)逆控制既克服非最小相位的負調(diào)現(xiàn)象，又使得系統(tǒng)具有較快的響應(yīng)速度。

2 自適應(yīng)逆控制結(jié)構(gòu)及算法

2.1 自適應(yīng)逆控制

自適應(yīng)逆控制是一種基于動態(tài)逆概念的設(shè)計方法，其基本的思想就是把對象動態(tài)特性看成映射，控制器逼近逆映射，使對象的輸出跟隨指令輸入[8]。它本質(zhì)上屬于開環(huán)控制，利用對象特性的逆作為控制器，與被控對象串聯(lián)。與傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)相比，自適應(yīng)逆控制最大的優(yōu)點在于被控對象動態(tài)響應(yīng)和消除擾動控制可以單獨設(shè)計，互不影響，一種控制的最優(yōu)不會犧牲另一種控制的最優(yōu)。

完整的自適應(yīng)逆控制包括被控對象的辨識、逆控制器、擾動消除器三部分。對于自適應(yīng)逆控制來說，它本質(zhì)上是屬于開環(huán)系統(tǒng)，必須對擾動加以抑制，否則擾動會毫無保留地出現(xiàn)在輸出端。與常規(guī)的擾動消除不同，常規(guī)的擾動消除只需要從外部獲取其參考信號，用此信號按前饋濾波來實現(xiàn)擾動消除；自適應(yīng)逆控制中的對象輸出擾動消除則要從對象輸出中獲得相應(yīng)的擾動參考信號，再用此信號按反饋濾波并從對象輸入中減去來實現(xiàn)。

2.2 自適應(yīng)逆控制系統(tǒng)

對于一個連續(xù)時間的未知對象，設(shè)傳遞函數(shù)為P( s)，經(jīng)離散化后得到系統(tǒng)的離散模型為：

系統(tǒng)跟蹤的誤差為：

根據(jù)Parserval定理可知：

即

整個控制系統(tǒng)的目標就是使得誤差逼近于0，對于最小相位系統(tǒng)， C ( z)= 1 P( z)，滿足該準則。但對于非最小相位系統(tǒng)，由于零點位于單位圓外，使得系統(tǒng)的逆是不存在的。但是我們通過近似的逆來逼近非最小相位系統(tǒng)中不可逆的部分，目前，常借助于零相位跟蹤誤差控制（ZPETC）、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、IIR或FIR濾波器方法，而DSP中濾波器設(shè)計方法相對成熟，實現(xiàn)更加方便。FIR濾波器只需要選擇合適的參數(shù)和濾波器的階數(shù)就可以使得輸出誤差最小化。本文模型辨識、逆建模過程均采用自適應(yīng)FIR濾波器的設(shè)計方法。

2.3 對象的正建模

正模型是逆模型的前提，逆模型辨識的好壞取決于正模型辨識的結(jié)果。對于具有先驗知識的系統(tǒng)，為了利用有限的觀測值來估計未知的參數(shù)，采用遞推加權(quán)最小二乘算法。

由（1）式可知系統(tǒng)的輸出為

向量θ代表對象未知的參數(shù)，向量φ是由濾波器的輸入輸出信號構(gòu)成的。遞歸加權(quán)最小二乘算法(RWLS）算法如下：

2.4 逆建模

逆模型的建立是以正模型為基礎(chǔ)，圖1為對象的離線情況下逆建模結(jié)構(gòu)圖，其中包括穩(wěn)定對象和不穩(wěn)定對象的情況。

自適應(yīng)逆控制的前提是要保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則，必須采用傳統(tǒng)的反饋控制方法來鎮(zhèn)定系統(tǒng)，控制結(jié)構(gòu)如圖1a所示。只有滿足穩(wěn)定的條件，才能保證自適應(yīng)算法在不同的環(huán)境下是平穩(wěn)收斂的。

對于非最小相位系統(tǒng)而言，對象的逆是不穩(wěn)定的或非因果的。依據(jù)Shannon-Bode法，采用FIR濾波器構(gòu)造近似逆模型是容易實現(xiàn)的，但有時候均方差誤差會很大，若在控制系統(tǒng)中加入適當?shù)难舆t環(huán)節(jié)，可以降低最小均方誤差。本文采用遞推最小二乘的算法構(gòu)造FIR濾波器實現(xiàn)非最小相位系統(tǒng)最優(yōu)的延遲逆模型。

圖1

3 對象逆模型的在線調(diào)整

離線建模時，逆模型對正模型的誤差非常敏感，使得逆控制的效果有限。而在線調(diào)整可以解決兩個問題：（1）單純的FIR可能造成大的跟蹤誤差，（2）當系統(tǒng)隨時間改變時，F(xiàn)IR濾波器的性能會降低[9]。為了提高收斂速度和獲得好的動態(tài)性能，可采用LMS算法，以離線建模所得濾波器權(quán)值作為在線求逆控制器的初值，或者把LMS的輸出作為控制量輸入的一部分，最終可獲得較為精確的逆模型，如圖2所示。

圖2 逆模型的在線調(diào)整

下面給出在線調(diào)整算法可行性的證明。

對于SISO系統(tǒng)y=Pu

輸出完全跟蹤輸出時，存在最優(yōu)的*w使得，

令α=Pr，離散化后得到：

最小均方(LMS)算法是一種隨機梯度算法，滿足了在線更新的要求。它每次迭代時權(quán)矢量沿誤差性能曲面的梯度估值的負方向更新，不需要計算有關(guān)的相關(guān)函數(shù)、矩陣求逆。簡單易用，已在自適應(yīng)濾波、自適應(yīng)逆控制中得到了非常廣泛的應(yīng)用。

圖3 自適應(yīng)線性組合器

4 仿真實例

水輪發(fā)電機組系統(tǒng)是典型的非最小相位系統(tǒng)之一，該對象一直是控制中常用的控制模型[10]。該系統(tǒng)主要包括引水系統(tǒng)、水輪機、執(zhí)行機構(gòu)、電網(wǎng)（負荷）等幾部分，圖4為水輪機控制系統(tǒng)圖，Mt是水輪機力矩，Qt為流量，H為水頭，而水輪機的模型為：

圖4 水輪機控制系統(tǒng)

考慮壓力引水系統(tǒng)、發(fā)電機、負載及電液隨動系統(tǒng)的動態(tài)特性，將系統(tǒng)進行線性化處理，得到如圖5所示的線性化方框圖，將圖5化簡得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為（mg= 0 ）:

水輪機系統(tǒng)在某一實際工況下的參數(shù)[10]為：

圖5 水輪機線性化控制方塊圖

FIR濾波器采用128抽頭的結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)的離散時間取為0.01s，采用白噪聲作為輸入，對象辨識的仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 對象辨識結(jié)果

圖7 自適應(yīng)逆控制仿真

圖8 逆模型中估計權(quán)值的輸出

圖9 輸入信號為方波時系統(tǒng)的輸出

圖7是系統(tǒng)在階躍信號下的輸出結(jié)果，圖8則為系統(tǒng)逆建模過程中RLS濾波器的估計權(quán)值。圖9為系統(tǒng)在跟蹤方波信號的輸出圖形?？梢钥闯?，系統(tǒng)能在很短時間內(nèi)快速地跟蹤輸入信號，有較好的動態(tài)性能。

5 結(jié)論

本文針對非最小相位系統(tǒng)的特點，采用了自適應(yīng)逆控制的方法，先通過FIR濾波器離線構(gòu)造系統(tǒng)近似逆模型，再結(jié)合自適應(yīng)LMS算法實施在線調(diào)整，而在線調(diào)整算法的加入使系統(tǒng)具備了一定的自適應(yīng)和魯棒性。仿真發(fā)現(xiàn)，該方法不僅解決了非最小相位系統(tǒng)的負調(diào)與調(diào)節(jié)時間耦合的問題，而且還使系統(tǒng)具有較好的動態(tài)性能。

[1][1]Brian P. Rigney. Adaptive Seettle-Optimal Control of Servomechanisms[D], 2008.

[2]吳旭東, 鐘宜生, 解學(xué)書. 非最小相位不穩(wěn)定對象的魯棒最優(yōu)模型匹配[J]. 自動化學(xué)報，1999, 25 (2):162-168.

[3]K. Lau, H. Middleton, and H. Braslavsky.Undershoot and Settling Time Tradeoffs for Non-minimum Phase Systems[J]. IEEE Transaction On Automatic Control, Vol.48, No.8, Augst 2003.

[4]Gregory L. Plett. Adaptive Inverse Control of Linear and Nonlinear Systems Using Dynamic Neural Networks[J]. IEEE Transaction On Neural Networks,Vol.14, No.2, March 2003.

[5]Ferry Hadary, Yasuhiro Ohyama, Shinji Hara.Undershoot Reduction for Plants with Real Unstable Zeros[C]. SICE Annual Conference in Fukui, Augst 4-6, 2003.

[6]M. Hanmandlu, Himani Goyal. Proposing a new advanced control technique for micro hydro power plants[J]. Electrical Power and Energy Systems, 2008,(30): 272-282.

[7]Nonminimum-phase Zeros[J]. IEEE Control Systems Machine.

[8]WIDROW B, WALACH E. 自適應(yīng)逆控制[M]. 劉樹棠，韓崇昭，譯. 西安交通大學(xué)出版社，2000.

[9]John T. Wen and Ben Potsaid. An Experimental Study of a High Performance Motion Control System[C]. Proceeding of the 2004 American Control Conference Boston, 2004, 5158-5163.

[10]Variable Structure Neuron Control for Hydraulic Turbine Generators[C], Proceedings of the First International Conference on machine Learning and Cybernetics, Beijing, 2002, 1550-1553.