李變，屈俐俐，高玉平

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Kalman算法在原子時計算中的應用研究

李變1,2，屈俐俐1，高玉平1

（1. 中國科學院國家授時中心，西安 710600；2. 中國科學院研究生院，北京 100049）

為了尋求改進地方原子時算法的可能性，基于原子鐘的離散動態(tài)模型，分析研究了Kalman濾波算法在地方原子時計算中的具體應用。采用中國科學院國家授時中心的18臺銫原子鐘數據，分別計算出基于ALGOS算法和經典Kalman算法的時間尺度。結果表明，兩種時間尺度在性能方面極為相似，短期和長期頻率穩(wěn)定度相當。

時間尺度；Kalman算法；頻率穩(wěn)定度

建立一個穩(wěn)定、準確、可靠的時間尺度，主要與參與守時的原子鐘的性能和時間尺度算法有關。近年來，隨著大量高性能原子鐘進入各時頻實驗室，地方原子時尺度及國際原子時TAI的水平有了明顯提高[1]。但是，國際電信聯(lián)盟（ITU）仍然把原子時算法的改進作為其主要任務之一，并倡導各國進行研究，充分說明了算法的重要性。

時間尺度算法實質上就是研究原子鐘之間的噪聲關系，通過調整原子鐘之間的相互關系，使最后計算得出的原子時的不確定性盡可能地小[2]。

最具有代表性的時間尺度算法是國際權度局BIPM時間部的ALGOS算法以及后來提出的Kalman算法。ALGOS算法屬于經典加權算法，該算法的理論依據是頻率穩(wěn)定度表征理論[2]。根據這一理論，原子鐘噪聲是五種不同性質的隨機過程的疊加。由于這樣的噪聲過程遠比白噪聲過程復雜，用標準方差來衡量噪聲大小非常困難，所以，在頻率穩(wěn)定度表征理論中，用噪聲冪律譜和Allan方差來描述各種噪聲之間的強弱關系。也就是說，在Allan方差中，一定的取樣時間對應著一定的噪聲過程，因此，在經典加權平均算法中，若以Allan方差決定權重，則權重的大小主要與某一種噪聲過程的強弱有關，而不論其他幾種噪聲過程如何。

針對以上問題，美國學者Barnes提出了原子時的Kalman算法[3-4]。本文基于原子鐘的離散動態(tài)模型介紹時間尺度的Kalman算法，并采用中國科學院國家授時中心（NTSC）的18臺銫原子鐘的數據，對這兩種算法進行了分析比較。

1 原子時的Kalman算法

時間尺度的Kalman算法完全放棄了權重概念，而是從估值理論的觀點出發(fā)，對參考鐘和理想時間之差做統(tǒng)計意義上的最優(yōu)估計[3]。該算法對每一臺原子鐘建立一個由狀態(tài)方程描述的噪聲模型塊，將2種或3種主要噪聲過程分別在相位、頻率和頻率變化率3個層次上區(qū)分開來。鐘與鐘之間的噪聲關系則通過每項噪聲系數的大小反映出來。Kalman濾波器的輸入量是鐘組內各鐘與參考鐘的鐘差測量值，輸出量是鐘組內的所有鐘的相位和頻率估值。

1.1 Kalman算法的基本原理

原子時Kalman算法的基礎是原子鐘的離散動態(tài)模型[5]，將鐘組內所有單臺鐘的模型疊加起來，就構成了鐘組的Kalman濾波器。

設有臺鐘，均符合下述模型：

根據Kalman濾波原理，鐘組動態(tài)模型為

式（3）中

在用Kalman濾波算法計算地方原子時時，設以（Kalman）和（）分別代表計算得到的地方原子時和第個原子鐘，那么上面的表達式中的x()和y()則分別為時刻的（Kalman）與（）之間的相位之差和頻率之差。測量方程為

Kalman濾波方程組為：

式（5）中，為系統(tǒng)噪聲矩陣，為的誤差方差矩陣，為測量噪聲矩陣。

1.2 Kalman算法中參數的確定

Kalman算法中的關鍵是確定系統(tǒng)噪聲方差陣。如1.1節(jié)所述，系統(tǒng)噪聲主要是指白色調頻噪聲和隨機游走調頻噪聲。根據商品銫鐘在平均時間間隔為1～10 d范圍的情況下，主要表現為頻率白噪聲，以及在20～70 d范圍的情況下，主要表現為隨機游走頻率調制噪聲的特性，采用2008年這1年的NTSC原子鐘比對數據，分別計算了每臺鐘對應的E和H，示于表1。

表1 NTSC各鐘的E和H

2 實驗分析

采用2008年6月至2009年5月在中國科學院國家授時中心時間頻率基準實驗室運行的18臺HP5071A銫原子鐘的比對數據，根據公式（5），計算得到用Kalman算法計算的時間尺度（Kalman）。（Kalman）和（ALGOS）（采用ALGOS算法計算的時間尺度）分別相對于的相位差及速率（日差）波動，如圖1和圖2所示。此外，利用由時域分析所得的表征原子鐘穩(wěn)定度的Allan方差，比較了（Kalman）和（ALGOS）的穩(wěn)定度情況，示于圖3。

圖1 2種算法得到的時間尺度的相位差

圖2 2種算法得到的時間尺度的日差

圖3 2種算法得到的時間尺度的Allan方差

3 Kalman算法的穩(wěn)定性分析

如果（5）式所表達的Kalman濾波器是穩(wěn)定的，則從Kalman濾波器得到的狀態(tài)估計具有最小均方誤差。然而，根據系統(tǒng)的可觀性定義與濾波器穩(wěn)定性定理[6]，及時間尺度Kalman算法的原理可知，原子時的Kalman算法所構造的系統(tǒng)不完全可觀，因而導致濾波器發(fā)散。在這里，系統(tǒng)的不完全可觀性可從代數學上解釋，即試圖從-1個獨立方程中解出個獨立的未知數，這顯然是不可能的。

Kalman濾波器發(fā)散，意味著估值結果的誤差隨時間無窮增大，表現在濾波器上就是濾波誤差陣和預測誤差陣的增大。為了清楚地看到Kalman算法的發(fā)散性，圖4給出了54 619～54 979 期間（Kalman）與（ALGOS）相對于國際原子時的相位差。

圖 4（Kalman）與（ALGOS）相對于的相位差

由圖4可看出：在54 619～54 819期間兩種算法的結果相當，而在54 819以后-（Kalman）明顯偏離了-（ALGOS）。這是由于原子時Kalman算法的輸入是-1個測量值，而輸出是個估計值，因此導致Kalman估值結果的誤差隨時間無窮增大。

4 結語

本文采用NTSC的18臺銫原子鐘的比對數據，分別實現了地方原子時的ALGOS算法和Kalman濾波算法。實驗結果表明，應用Kalman算法得到的時間尺度（Kalman）與用ALGOS算法得到的時間尺度（ALGOS）在結果及其性能方面極為相似，兩者的長期和短期穩(wěn)定度相當。但是，Kalman濾波算法的不完全可觀性會導致估值結果的誤差隨時間無窮增大。因此，在應用Kalman算法時，必須考慮Kalman算法的發(fā)散性問題，合理選擇估值區(qū)間。

[1] THOMAS C. Stability and Accuracy of International Atomic Time TAI[C]//European Frequency Time Forum. [S.l.]: [s.n], 1996, (5-7): 520-527.

[2] 衛(wèi)國. 原子鐘噪聲模型分析與原子時算法的數學原理[D]. 西安: 中國科學院陜西天文臺, 1991.

[3] BARNES J A, CHI A R, CUTLER L S, et al. Characterization of Frequency Stability[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 1971, IM-20(2): 105-120.

[4] BARNES J A, JONES R H, TRYON P V, et al. Stochastic Model for Atomic Clocks[C]//Proceeding of the 14th Ann. Precise Time and Time Interval(PTTI) Appl. [S.l.]: [s.n], 1992: 295-306.

[5] 尹東山, 高玉平, 陳鼎, 等. 基于脈沖星的星載鐘時間修正算法研究[J]. 時間頻率學報, 2009, 32(1): 43-49.

[6] 宋文堯, 張牙. 卡爾曼濾波[M]. 北京: 科學出版社, 1991: 112-116.

Application of Kalman Algorithm to Atomic Time

LI Bian1,2, QU Li-li1, GAO Yu-ping1

(1. National Time Service Center, Chinese Academy of Sciences, Xi’an 710600, China;2. Graduate University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100039, China)

In order to seek for the possible way to improve the algorithm for local atomic time, the application of Kalman algorithm to atomic time is studied based on the discrete and dynamic model of atomic clocks. The time scales(ALGOS) and(Kalman) are calculated with ALGOS and Kalman algorithms respectively by adopting the data of the 18 cesium clocks operated at the National Time Service Center, Chinese Academy of Sciences. The results show that the performances of the two timescales are similar, i.e., they are equivalent in short-term and long-term stabilities.

time scale; Kalman algorithm; frequency stability

P127.1+2

A

1674-0637(2010)01-0011-05

2009-11-23

國家自然科學基金資助項目（10573019）；中國科學院知識創(chuàng)新工程重要方向資助項目（KJCX2-YW-T12）

李變，女，博士研究生，主要從事時間頻率方面的研究。