熊 明

（華南師范大學(xué)政治與行政學(xué)院，廣東廣州510631）

斯穆里安合并記法的一種變形

熊 明

（華南師范大學(xué)政治與行政學(xué)院，廣東廣州510631）

公式按照其語(yǔ)義特征可被合并為實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵型公式和荒謬蘊(yùn)涵型公式，由此任何一個(gè)公式都可被分解為前件和后件兩個(gè)部分。這一合并簡(jiǎn)化了斯穆里安著名的合并記法。就這一新的合并記法，提出了兩種結(jié)構(gòu)歸納證明，建立了一個(gè)希爾伯特型古典邏輯系統(tǒng)，并證明其完全性。

公式；斯穆里安合并記法；結(jié)構(gòu)歸納法；實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵；荒謬蘊(yùn)涵

一、斯穆里安的合并記法

在命題邏輯中，出于某種目的（例如對(duì)稱性）在規(guī)定公式時(shí)會(huì)引入較多的聯(lián)接詞符號(hào)。例如，可按下面的方式給出公式：

（1）命題變?cè)猵1，p2，p3，…，pn，pn＋1，…（n∈N）是公式。

（2）如果α是公式，那么?α也是公式。

（3）如果α和β是公式，那么（α∧β）、（α∨β）、（α→β）、（αβ）、（α?β）、（αβ）也都是。

（4）只有通過(guò)上述規(guī)則得到的符號(hào)串才是公式。

這里引入了多達(dá)七種聯(lián)接詞符號(hào)（其中“”稱為荒謬蘊(yùn)涵）來(lái)規(guī)定公式。這樣，不論是在運(yùn)用結(jié)構(gòu)歸納證明法進(jìn)行證明，還是運(yùn)用結(jié)構(gòu)歸納的定義法進(jìn)行規(guī)定，除了命題變?cè)那闆r之外，我們尚有七種情況需要分別討論。這就使得整個(gè)討論的工作量較大。以結(jié)構(gòu)歸納證明為例，它的施行如下。如果下列條件成立，那么任何公式α都有性質(zhì)F：

①對(duì)任何命題變?cè)?，π都有性質(zhì)F。

②若公式α有性質(zhì)F，則公式?α也有性質(zhì)F。

③若公式α和β有性質(zhì)F，則公式（αθβ）也有性質(zhì)F，其中θ∈｛∧，∨，→，，?，｝。

下面把它稱為公式的“第一結(jié)構(gòu)歸納證明法”。比如，在對(duì)公式進(jìn)行解釋時(shí)，我們必須分下列七種情況歸納定義公式的真值：

設(shè)α、β、γ是公式，如果函數(shù)V：Form（PL）?｛0，1｝（0表示真，1表示假）滿足如下條件，則稱之為PL－賦值（以下簡(jiǎn)稱“賦值”）：

（1）V（?α）＝0，當(dāng)且僅當(dāng)V（α）＝1。

（2）V（α∨β）＝1，當(dāng)且僅當(dāng)V（α）＝1，V（β）＝1。

（3）V（α∧β）＝0，當(dāng)且僅當(dāng)V（α）＝0，V（β）＝0。

（4）V（α→β）＝1，當(dāng)且僅當(dāng)V（α）＝0，V（β）＝1。

（5）V（αβ）＝0，當(dāng)且僅當(dāng)V（α）＝1，V（β）＝0。

（6）V（α?β）＝0，當(dāng)且僅當(dāng)V（α）＝V（β）。

對(duì)公式α和β，如果對(duì)任何賦值V，都有V（α）＝V（β），那么就稱α與β邏輯等值，記為α?β。

為達(dá)到簡(jiǎn)化的目的，可考慮按照公式的某種特征把多種公式合并成為一類公式，使得全體公式被分為數(shù)目較少的幾類。故而既能簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)歸納證明，又能簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)歸納定義。

例如，可把除單式和形如??α的公式之外的公式按其形式首先分成以下幾類：

（1）形如（α∨β）的公式 （1*）形如?（α∨β）的公式

（2）形如（α∧β）的公式（2*）形如?（α∧β）的公式

（3）形如（α→β）的公式（3*）形如?（α→β）的公式

（4）形如（αβ）的公式（4*）形如?（αβ）的公式

（5）形如（α?β）的公式（5*）形如?（α?β）的公式

不難看出，上面的公式或者邏輯等值于某個(gè)析取式，或者邏輯等值于某個(gè)合取式，并且不論是析取式的析取支，還是合取式的合取支都比原來(lái)的命題在結(jié)構(gòu)上要簡(jiǎn)單一些。有下面已證明的邏輯等值式為證：

（1）α→β??α∨β，αβ??α∧β

（3）?（α∧β）??α∨?β，?（α→β）?α∧?β

（4）?（αβ）?α∨?β，?（α→β）?α∧?β

這樣可把除單式和形如??α的公式之外的公式進(jìn)行合并，分成兩個(gè)大類。具體而言，一類是形如（α∨β），（α→β），（αβ），?（α∧β），?（α?β），?（αβ）等的公式，可稱它們?yōu)槲鋈⌒凸健Ａ硪活愂切稳纾é痢摩拢?，（αβ），（?β），?（α∨β），?（α→β），∧（αβ）等的公式，可稱它們?yōu)楹先⌒凸?。下面把這兩類公式統(tǒng)稱為有型公式。對(duì)任意一個(gè)有型公式γ，規(guī)定它的成分γ1和γ2如表1所示。

析取型公式和合取型公式的語(yǔ)義特征復(fù)述如下：當(dāng)γ是析取型公式時(shí)，γ?（γ1∨γ2）；當(dāng)γ是合取型公式時(shí)，γ?（γ1∧γ2）。

根據(jù)上述合并，公式無(wú)非有單式、形如的??α的公式、析取型公式及合取型公式四類，據(jù)此可以提出與公式的第一結(jié)構(gòu)歸納證明法類似的歸納證明法（稱之為“第二結(jié)構(gòu)歸納證明法）如下。如果下列條件成立，那么任何公式α都有性質(zhì)F：

①對(duì)任何單式α，α都有性質(zhì)F。

②若公式α有性質(zhì)F，則公式??α也有性質(zhì)F。

③若對(duì)析取型公式α，α1和α2都有性質(zhì)F，則公式α也有性質(zhì)F。

④若對(duì)合取型公式α，α1和α2都有性質(zhì)F，則公式α也有性質(zhì)F。

表1

顯然，在對(duì)公式施行第二結(jié)構(gòu)歸納證明時(shí)，只需要驗(yàn)證四種情形，這在一定程度上降低了結(jié)構(gòu)歸納的繁瑣度。以上合并記法由邏輯學(xué)家斯穆里安首先提出，所以被稱為“斯穆里安的合并記法”。［2］21它的比較系統(tǒng)的闡述可參見(jiàn)相關(guān)論著［1］20－22。在本文中，我們要就這一記法展開(kāi)兩個(gè)方面的討論：一是指出這一記法本身還可進(jìn)一步降低結(jié)構(gòu)歸納的繁瑣度；二是仿照這一記法，給出另一種類似的記法。

二、斯穆里安合并記法的一點(diǎn)改進(jìn)

在斯穆里安記法中，形式??α的公式?jīng)]有被看作是有型公式，施行結(jié)構(gòu)歸納的時(shí)候，要單獨(dú)對(duì)這種形式的公式進(jìn)行證明?，F(xiàn)在證明，這種公式可以并入到有型公式之中。首先，注意下面的等值式：

因而可把形如??α的公式并到析取型公式和合取型公式任何一類中，并規(guī)定它的成分γ1和γ2都為α。這一做法改進(jìn)了斯穆里安原來(lái)的記法，是因?yàn)槟軌蜃C明以下論斷：

如果下列條件成立，那么任何公式α都有性質(zhì)F：

①對(duì)任何單式α，α都有性質(zhì)F。

②對(duì)任何析取型公式α，若α1和α2有性質(zhì)F，則α也有性質(zhì)F。

③對(duì)任何合取型公式α，若α1和α2有性質(zhì)F，則α也有性質(zhì)F。

證明：對(duì)任何公式α，對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n，我們規(guī)定?nα滿足：?0α＝α且?n＋1α＝?（?nα）。為證任何公式α都有性質(zhì)F，我們對(duì)α運(yùn)用第一結(jié)構(gòu)歸納法加強(qiáng)證明：對(duì)任何公式α，對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n，?nα都有性質(zhì)F。

首先，當(dāng)α是命題變?cè)袝r(shí)，對(duì)n運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n，?nπ有性質(zhì)F。n＝0或1時(shí)，?nπ即π或?π按條件①自然有性質(zhì)F。當(dāng)n＝k（k≥2）時(shí)，由于（?nπ）1＝?k－2π，（?nπ）2＝?k－2π，由（數(shù)學(xué)歸納法的）歸納假設(shè)?k－2π有性質(zhì)F，于是按②（或③），?nπ也有性質(zhì)F。

當(dāng)α是公式?β時(shí)，對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n，都有?nα＝?n＋1β。所以，從結(jié)論：對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n，?nβ有性質(zhì)F，立有：對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n，?nα有性質(zhì)F。

當(dāng)α是公式（β∨γ）時(shí)，首先注意，（?0α）1＝β，（?0α）2＝γ；（?1α）1＝?β，（?1α）2＝?γ。按（第一結(jié)構(gòu)歸納法的）歸納假設(shè)，β、γ、?β、?γ已有性質(zhì)F，所以，根據(jù)②和③，?0α和?1α都有性質(zhì)F。

其次，當(dāng)n＞1時(shí)，（?nα）1＝?n－2α，（?nα）2＝?n－2α。接下來(lái)，對(duì)n施行數(shù)學(xué)歸納法證明：若n＞1，則?nα也有性質(zhì)F。當(dāng)n＝2時(shí)，（?nα）1＝?0α，（?nα）2＝?0α。而前面已證?1α和?0α都有性質(zhì)F，根據(jù)②（或③）就有?2α也有性質(zhì)F。當(dāng)n＝k（k＞2）時(shí)，（?nα）1＝?n－2α，（?nα）2＝?n－2α。由歸納假設(shè)，?n－2α有性質(zhì)F，于是，?nα也有性質(zhì)F。

當(dāng)α是公式（β∧γ）、（β→γ）、（βγ）時(shí)，類似上面可證。還有α是公式（β?γ）、（βγ）兩種情況需要考慮。下面分析α是公式（β?γ）的情況，α是（βγ）的情況類似進(jìn)行。注意到α1＝（β→γ），α2＝（γ→β），由歸納假設(shè)，β、γ已有性質(zhì)F，再根據(jù)α＝（β→γ）和α＝（γ→β）兩種情況中的證明，可知（β→γ）和（γ→β）也有性質(zhì)F。這樣，按條件③，?0α＝α有性質(zhì)F。類似可證?1α＝?α也有性質(zhì)F。對(duì)?nα（n＞2）情形類似α＝（β∨γ）中相應(yīng)情形的證明，此略去。

綜合上面所述，可以斷定對(duì)任何公式α以及任何非負(fù)整數(shù)n，公式?nα都有性質(zhì)F。這就達(dá)到了證明的目的。

三、斯穆里安合并記法的一種新變形

根據(jù)先前對(duì)公式的真值的規(guī)定，容易證明下面的邏輯等值式：

（1）??α?（?α→α），??α?（?αα）

（2）（α∨β）?（?α→β），（α∧β）?（?αβ）

（4）?（α∧β）?（α→?β），?（α∨β）?（α→?β）

（5）?（α→β）?（β→α），?（α→β）?（β→α）

可以發(fā)現(xiàn)，任何公式都或者可以邏輯等值地轉(zhuǎn)化為實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵式，或者可以邏輯等值地轉(zhuǎn)化為荒謬蘊(yùn)涵式，而且在這些蘊(yùn)涵式中前后件位置出現(xiàn)的公式比原來(lái)的公式要簡(jiǎn)單。于是，可把形如（α∨β），（α→β），（αβ），?（α∧β），?（αβ），?（α?β）的公式合并為一類，稱之為實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵型公式。把形如（α∧β），（αβ），（α?β），?（α∨β），?（α→β），?（αβ）的公式并為一類，稱之為荒謬蘊(yùn)涵型公式；對(duì)這些公式，規(guī)定它們各自的前件和后件如表2所示。

利用上面給出的邏輯等值式，我們不難證明這兩類公式與它們各自的前后件有下面的關(guān)系：當(dāng)γ是實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵型公式時(shí)，γ?（γ1→γ2）；當(dāng)γ是荒謬蘊(yùn)涵型公式時(shí)，γ?（γ1γ2）。

表2

以上合并比斯穆里安原先的合并記法更精簡(jiǎn)的地方在于，雙重否定式也被進(jìn)行了合并。注意，雙重否定式既可歸入實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵型公式，又可歸入荒謬蘊(yùn)涵型公式。

根據(jù)以上對(duì)公式的分類，有公式的第三結(jié)構(gòu)歸納證明法，其原理如下。如果下列條件成立，那么任何公式α都有性質(zhì)F：

①對(duì)任何單式α，α有性質(zhì)F。

②對(duì)任何實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵型公式α，若α1和α2有性質(zhì)F，則α也有性質(zhì)F。

③對(duì)任何荒謬蘊(yùn)涵型公式α，若α1和α2有性質(zhì)F，則α也有性質(zhì)F。

在采用荒謬蘊(yùn)涵型和實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵型這種合并記法時(shí)，還可再給出一種新的結(jié)構(gòu)歸納證明法和定義法，無(wú)妨以“第四”來(lái)命名之，其原理如下。如果下列條件成立，那么任何公式α都有性質(zhì)F：

①對(duì)任何單式α，α都有性質(zhì)F。

②對(duì)任何實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵型公式α，若?α1和α2有性質(zhì)F，則α也有性質(zhì)F。

③對(duì)任何荒謬蘊(yùn)涵型公式α，若?α1和α2有性質(zhì)F，則α也有性質(zhì)F。

這里利用第一結(jié)構(gòu)歸納證明法證明第四結(jié)構(gòu)歸納證明法的合理性。

為證任何公式α都有性質(zhì)F，對(duì)α運(yùn)用第一結(jié)構(gòu)歸納法加強(qiáng)證明：對(duì)任何公式α，對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n，?nα都有性質(zhì)F。

首先，當(dāng)α是命題變?cè)袝r(shí)，對(duì)n運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n，?nπ有性質(zhì)F。n＝0或1時(shí)，?nπ即π或?π按條件①自然有性質(zhì)F。當(dāng)n＝k（k≥2）時(shí)，由于（?nπ）1＝?k－1π，（?nπ）2＝?k－2π，由（數(shù)學(xué)歸納法的）歸納假設(shè)?k－1π和?k－2π都有性質(zhì)F，于是按②（或③），?nπ也有性質(zhì)F。

當(dāng)α是公式?β時(shí)，對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n，都有?nα＝?n＋1β。所以，從結(jié)論：對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n，?nβ有性質(zhì)F，立有：對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n，?nα有性質(zhì)F。

當(dāng)α是公式（β∨γ）時(shí)，此時(shí)，（?0α）1＝?β，（?0α）2＝γ；（?1α）1＝β，（?1α）2＝?γ；（?nα）1＝?n－1α，（?nα）2＝?n－2α（n＞1）。按（第一結(jié)構(gòu)歸納法的）歸納假設(shè)，β、γ、?β、?γ已有性F，所以，根據(jù)②和③，?0α和?1α都有性質(zhì)F。

接下來(lái)，對(duì)n施行數(shù)學(xué)歸納法證明：若n＞1，則?nα有性質(zhì)F。當(dāng)n＝2時(shí)，（?nα）1＝?1α，（?nα）2＝?0α。前面已證?1α和?0α都有性質(zhì)F，根據(jù)②（或③）就有?2α也有性質(zhì)F。當(dāng)n＝k（k＞2）時(shí)，（?nα）1＝?n－1α，（?nα）2＝?n－2α。由歸納假設(shè)，?n－1α和?n－2α都有性質(zhì)F，于是，?nα也有性質(zhì)F。

當(dāng)α是公式（β∧γ）、（β→γ）、（β→γ）時(shí)，類似上面可證。還有α是公式（β?γ）、（βγ）兩種情況需要考慮。下面分析α是公式（β?γ）的情況，α是（βγ）的情況類似進(jìn)行。注意到α1＝（β γ），α2＝（β→γ），由歸納假設(shè)，β、γ、?β、?γ已有性F，再根據(jù)α＝（β→γ）和α＝（βγ）兩種情況中的證明，可知（β→γ）和（βγ）也有性質(zhì)F。這樣，按條件③，?0α＝α有性質(zhì)F。類似可證?1α＝?α也有性質(zhì)F。對(duì)?nα（n＞2）情形類似α＝（β∨γ）中相應(yīng)情形的證明，此略去。

綜合上面所述，可以斷定對(duì)任何公式α以及任何非負(fù)整數(shù)n，公式?nα都有性質(zhì)F。這就達(dá)到了證明的目的。

類似地，通過(guò)加強(qiáng)證明：對(duì)任何公式α，α和?α都有性質(zhì)F，就可獲得第三結(jié)構(gòu)歸納證明法的合理性，具體證明略去。

四、新合并記法下的邏輯系統(tǒng)

在斯穆里安的合并記法下，常規(guī)的希爾伯特邏輯系統(tǒng)、自然推演邏輯系統(tǒng)等都可以得到比較優(yōu)雅的表達(dá)。文獻(xiàn)［1］、［2］、［3］都給出了這樣的系統(tǒng)。這里借助新合并記法，建立一個(gè)新的希爾伯特邏輯系統(tǒng)。有關(guān)的公理模式和推演規(guī)則如下：

（D1）α→β→α

（D2）（α→β→γ）→（α→β）→（α→γ）

（D3）?α1→α，其中α是實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵型公式。

（D4）（?α1→γ）→（α2→γ）→（α→γ），其中α是實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵型公式。

（D5）α→?α1，其中α是荒謬蘊(yùn)涵型公式。

（D6）α→α2，其中α是荒謬蘊(yùn)涵型公式。分離規(guī)則（MP）：對(duì)任何公式，從α和α→β可得到β。

設(shè)∑是公式集，α是公式。按通常方式定義推演關(guān)系├，具體定義略去。這就規(guī)定了一個(gè)演繹系統(tǒng)，它對(duì)于古典后承關(guān)系是完備且健全的。下面用“∑?α”表示α是∑的后承，即對(duì)任何滿足V（∑）＝0的賦值V，都有V（α）＝0。健全性和完備性的表述為：∑├α，當(dāng)且僅當(dāng)∑?α。

“僅當(dāng)”情形即健全性是容易證明的，下面只證明“當(dāng)”情形即完全性。為證明完全性，先在新合并記法下完成所謂“命題邏輯基本定理”的表述和證明。先給出兩個(gè)概念：可滿足性與和諧屬性。

對(duì)于公式α，如果存在賦值V，使得V（α）＝0，那么就稱α是可滿足的。對(duì)于公式集∑，如果存在賦值V，使得V（∑）＝0，即任意公式α∈∑，都有V（α）＝0，那么就稱∑是可滿足的。設(shè)C是公式集構(gòu)成的集簇，稱C是和諧屬性，如果C中的任何公式集∑都滿足下列條件：

（1）對(duì)任意命題變?cè)?，π?π不都屬于∑。

（2）對(duì)任意實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵型公式α，若α∈∑，則∑∪｛?α1｝∈C，∑∪｛α2｝∈C至少有一成立。

（3）對(duì)任意荒謬蘊(yùn)涵型公式α，若α∈∑，則∑∪｛?α1，α2｝∈C。

命題邏輯的基本定理說(shuō)的是：如果C是和諧屬性，那么C中的任何公式集都是可滿足的。這建立和諧屬性與可滿足性之間的關(guān)系，溝通了命題邏輯的語(yǔ)形和語(yǔ)義關(guān)系。

為證明該定理，還需要幾個(gè)概念。設(shè)C是公式集構(gòu)成的集簇。如果C中公式集的任何子集都還在C中，那么就稱C是子集封閉的。如果∑∈C，當(dāng)且僅當(dāng)∑的任何有窮子集都屬于C，那么稱C是有有窮特征的。設(shè)Γ∈C，如果沒(méi)有任何公式集∑∈C，使得Γ?∑，那么就稱Γ在C是極大的。

由于C是和諧屬性，容易把它擴(kuò)充成具有有窮特征且子集封閉的和諧屬性C＋。任取S∈C，枚舉全體公式如下：α1，α2，…，αn，…（n∈N），藉此對(duì)n∈N進(jìn)行歸納定義公式集Sn如下：S1＝S，并且若Sn∪｛αn｝∈C＋，則Sn＋1＝Sn∪｛αn｝，否則Sn＋1＝Sn。顯然，對(duì)任意n∈N，都有Sn?Sn＋1，且Sn∈C＋。

令Sω＝｛α｜存在n∈N，使得α∈Sn｝。易見(jiàn)，Sω是S的一個(gè)擴(kuò)充。利用C＋的有窮特征性易證：Sω∈C＋，再利用C＋的子集封閉性可證：Sω是具有C＋中的極大元。下面證明Sω可滿足，從而就證明了S可滿足。

構(gòu)造賦值Vω滿足條件：對(duì)任何命題變?cè)校琕ω（π）＝0，當(dāng)且僅當(dāng)π∈Sω。下面運(yùn)用公式的第四結(jié)構(gòu)歸納證明：對(duì)任何公式α，如果α∈Sω，那么Vω（α）＝0。

當(dāng)α是單式時(shí)，若α＝π∈Sω，則Vω（α）＝0；若α＝?π∈Sω，則π?Sω，于是，Vω（π）＝1。這樣，Vω（α）＝Vω（?π）＝0。

當(dāng)α是實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵型公式時(shí)，設(shè)α∈Sω，則Sω∪｛?α1｝∈C＋，Sω∪｛α2｝∈C＋至少有一成立。由于Sω在C＋極大，所以，?α1∈C＋，α2∈C＋至少有一成立。則由歸納假設(shè)，Vω（?α1）＝0（即Vω（α1）＝1），Vω（α2）＝0至少有一成立。于是，就有Vω（α1→α2）＝0，所以，Vω（α）＝0。

當(dāng)α是荒謬蘊(yùn)涵型公式時(shí)，設(shè)α∈Sω，則有Sω∪｛?α1，α2｝∈C＋，又由Sω在C＋極大，知?α1和α2都屬于C＋。則由歸納假設(shè)，有Vω（?α1）＝0（即Vω（α1）＝1），Vω（α2）＝0。于是，就可得到Vω（α）＝Vω（α1α2）＝0。至此，完成了命題邏輯基本定理的證明。

現(xiàn)在可證完全性。首先由公理（D1）和（D2）以及規(guī)則MP可證演繹定理成立：若∑∪｛α｝├β，則∑├α→β。然后，相對(duì)于某個(gè)公式α，如果公式集∑滿足∑α，那么就規(guī)定∑是α－和諧的。下面證明所有的α－和諧公式集構(gòu)成的集簇是和諧屬性。設(shè)∑是α－和諧公式集，驗(yàn)證∑滿足和諧屬性的各個(gè)條件。首先，∑中不會(huì)含某個(gè)命題變?cè)屑捌浞穸? π。不然，則∑├π以及∑├?π。但公理（D3）的一個(gè)特例是?π→π→α，由此運(yùn)用演繹定理及分離規(guī)則可得∑├α。這與∑是α－和諧公式集矛盾。

設(shè)實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵型公式β∈∑，要證∑∪｛?β1｝，∑∪｛β2｝至少有一個(gè)是α－和諧公式集。假設(shè)不然，則有∑∪｛?β1｝├α，∑∪｛β2｝├α。由公理（D4）、演繹定理以及分離規(guī)則可證∑├α，這與∑是α－和諧公式集矛盾。

再設(shè)荒謬蘊(yùn)涵型公式β∈∑，要證∑∪｛?β1，β2｝是α－和諧公式集。假設(shè)不然，則有∑∪｛?β1，β2｝├α。由公理（D5）、（D6）、演繹定理以及分離規(guī)則可證∑├α，這又與∑是α－和諧公式集矛盾。

上面證明了所有的α－和諧公式集構(gòu)成的集簇是和諧屬性，由命題邏輯的基本定理知α－和諧公式集是可滿足的。最后，假設(shè)∑α，則∑∪｛?α｝就是α－和諧公式集。因?yàn)槿簟啤龋?α｝├α，就可由公理（D3）（取特例：?α→α→α）得出∑├α。于是∑∪｛?α｝是可滿足的。這就得到了∑?α。完全性至此得證。

［1］ FITTING M.First－Order Logic and Automated Theorem Proving.New York：Springer－Verlag，1990.

［2］ SMULLYAN R.First－Order Logic.Berlin：Springer－Verlag，1968.

［3］ 胡澤洪.蘊(yùn)涵芻議.華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2006（5）：1－6.

［4］ 王健平.實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵與自然語(yǔ)言中的相關(guān)蘊(yùn)涵命題分析.華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2005（3）：11－18.

［5］ 熊明.古德曼悖論與形式的歸納邏輯系統(tǒng).華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2003（5）：28－34.

［6］ 張清宇.古典命題邏輯的證偽系統(tǒng).自然辯證法研究，1996（增刊）：4－6.

【責(zé)任編輯：趙小華】

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廣東省優(yōu)秀青年創(chuàng)新人才培育項(xiàng)目（WYM08064）；教育部人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地重大項(xiàng)目“現(xiàn)代邏輯背景下的邏輯哲學(xué)問(wèn)題研究“（07JJD720045）

熊明（1973—），男，云南昭通人，華南師范大學(xué)政治與行政學(xué)院副教授。