謝劍波，周其斗，紀 剛，方 斌

(海軍工程大學 船舶與海洋工程系，湖北 武漢 430033)

螺旋槳噪聲是船舶輻射噪聲的主要分量.螺旋槳噪聲預報主要是基于聲類比方程［1］，即先通過試驗或計算流體力學等方法確定聲源強度，再通過Ffowcs Williams-Hawkings方程求解由固體邊界和Lighthill應力張量所輻射的聲場，通?？煞譃闀r域法和頻域法兩種方法:時域法需要對每一個時間步長求解延遲時間方程，其解的輸入輸出都必須是時間的函數，與頻域法相比，物理意義不清晰，求解復雜;頻域法則是通過傅里葉變換用頻譜來表示輻射聲場，直觀，物理意義清晰，并且葉片幾何和運行條件都相當明了，尤其適應于計算遠場噪聲.螺旋槳噪聲預報理論均需要對聲源進行積分.在具有代表性的噪聲預報理論中，Hanson的頻域法［2］和Farassat的時域法［3］均需要假設無厚度的薄機翼理論，因此只能在螺旋槳投影平面上對聲源進行積分.朱錫清等人［4-6］結合非定常升力面理論和聲類比方法對船舶螺旋槳的低頻線譜噪聲和寬帶譜噪聲進行了研究，但由于其理論基礎是Hanson的螺旋面理論，在對聲源積分時仍需要假設薄機翼理論.因此，有必要研究一種能夠在螺旋槳真實葉表面對聲源進行積分的方法.在Lighthill聲類比理論和Ffowcs William-Hawkings方程的基礎上，運用具有平均流效果的格林函數，成功的導出了遠場輻射線譜噪聲的頻域表達式，該表達式突破了投影面和薄機翼的界限，允許在真實槳葉表面對聲源進行積分.應用該頻域表達式數值預報了均勻流場中的R212槳的輻射線譜噪聲，與實驗結果進行了對比，并對線譜噪聲指向性進行了分析.

1 線譜噪聲理論推導

根據Lighthill聲類比理論，在運動坐標系中存在固體邊界時決定聲場產生的聲類比方程［7］為

式中:v(τ)為不可穿透固定表面S(τ)的外域，T為一相對較長的時間，fi=-ni(p-p0)+njeij為由邊界施加給流體的單位面積表面力的第i個分量，eij為粘性應力的第(i，j)個分量，ni為表面 S(τ)的單位內法向矢量n的第i個分量，p0和ρ0分別為靜態(tài)流體的壓力和密度，Tij′= ρvi′vj′+eij為等熵流動的Lighthill應力張量.值得注意的是Lighthill應力張量為固定坐標系下度量的速度vi′=vi-δ1iU，而不是運動坐標系下的度量速度vi.

根據聲波方程和Sommerfeld輻射條件，并運用Lorenz變換可得頻域中格林函數G的形式為［8-9］

式中:μ =κ/β2，E=R+M(y1-x1)，ω 為角頻率，κ =ω/c0為聲波數，M=U0/c0為平均來流速度對應的馬赫數，

式(1)中第一項為傳播項與非線性擾動引起的四極子聲源，第二項為葉片上負荷引起的偶極子聲源，而第三項為葉片體積和旋轉速度引起的單極子聲源.考慮到船舶螺旋槳或亞音速航空螺旋槳其葉梢速度均小于音速，并且葉片為薄葉片，因此只需關注第二項，即葉片表面產生的偶極子聲源.從而螺旋槳輻射聲壓可表示為

式(3)的積分中隱含了延遲時間τ，對其進行直接計算會有很大難度.因此，為簡化計算過程，可將觀察點 x=(x1，r，θ′)和源點 y=(y1，r0，θ0′)用平動坐標系來表示，該坐標系以速度U=(U0，0，0)向前運動，如圖1所示.直角坐標系和柱坐標系具有以下關系:

在葉片固連坐標系中，觀察點和源點可分別表示為 xb=(x1，r，θ)，yb=(y1，r0，θ0).運動坐標系和固連坐標系的轉換關系為

圖1 槳葉固連坐標系Fig.1 Blade-fixed coordinate system

考慮一個具有Nb個葉片的螺旋槳.將式(2)中的格林函數G代入到式(3)中，并對時間t進行傅里葉變換，可得到單個槳葉在均勻流場下產生的輻射聲壓:

在遠場噪聲分析中，有 r0、y1?Rs，其中為聲源中心點到觀察點的修正距離，如圖1所示.

對源點與觀察點之間的距離R在Rs附近進行展開，并忽略二階小量，有

R ≈ Rs- ［y1cos ψ + β2r0sin ψcos(θ0′- θ′)］.(9)式中:cos ψ =x1/Rs，sin ψ =r/Rs.

將式(9)代入式(8)，并將格林函數G對槳葉固連坐標系中的柱坐標y1、r0和θ0進行求導，有

均勻流場中螺旋槳葉表面壓力為定常壓力分布，因此，可將葉表面單位面積上的力表示為式中:(yb)為葉表面的定常壓力分布，n={n1，nr，nθ}為槳葉表面向里的單位向量.

注意到指數函數有如下性質:

式中:Jm(Z)為第一類型的貝塞爾函數，將式(12)對θ和Z分別進行求導，有

將式(11)至式(14)代入式(10)中，并對時間積分，經過進一步的數學處理后，可得到均勻流場中的螺旋槳遠場輻射線譜噪聲:

式中:Z=κr0sin ψ，Nb為槳葉葉數，l為輻射階次，m=Nbl為葉頻數，dS(yb)表示在葉片真實表面對聲源積分.

貝塞爾函數有如下性質J-m(-Z)=Jm(Z)，所以第l階葉頻處壓力可以表示為

則均方根聲壓可由下式給出

從而第l階葉頻處的聲壓級就可表示為

式中:參考聲壓pref=2×10-5Pa.

2 數值計算及其與實驗結果的比較

本節(jié)利用上節(jié)中推導的螺旋槳輻射線譜噪聲預報理論，以工作在均勻流場中的Dowty Rotor R212四葉航空槳為算例進行了計算.Trebble于1987年對此槳在均勻流場中的線譜噪聲進行過試驗測量［10-11］，圖 2 所示為螺旋槳轉速 7 000 rad/min，來流速度U=50 m/s時測得的線譜噪聲值.

圖2 n=7 000 rad/min，U=50 m/s時測量的噪聲譜Fig.2 Measured tone noise level at n=7 000 rad/min and U=50 m/s

首先對R212槳在U=50 m/s時的均勻流場下的定常壓力進行CFD仿真計算，計算采取“動-靜”區(qū)域相結合方法，即將流域劃分為2個區(qū)域:一個是包含螺旋槳的較小區(qū)域，該區(qū)域以角速度ω轉動;另一個是包圍前一個流域的外圍區(qū)域，該區(qū)域相對地面靜止.圖3所示為計算出的吸力面壓力系數分布圖.

將螺旋槳槳葉離散成有限個三角形單元，并確保單元尺寸小于最大頻率聲波對應波長的1/8或1/10，從而螺旋槳表面積分就可轉化為三角形單元積分的疊加.將應用CFD方法得到的單元表面定常壓力(yb)代入螺旋槳線譜噪聲預報公式(15)中，可得出各階線譜噪聲的聲壓，再由聲壓級表達式(18).可最終得到各階葉頻處的預報聲壓級.圖4為前11階葉頻處預報的線譜噪聲聲壓級及其與試驗值的比較.

圖3 R212螺旋槳吸力面壓力系數分布Fig.3 Distribution of pressure coefficient at suction side of R212 propeller

從圖4中可以看出，除第一階葉頻處預報值比試驗值偏大7 dB外，其他階次處預報值誤差均不超過1.5 dB，因此可以認為建立的均勻流場中螺旋槳輻射線譜噪聲預報理論具有相當高的預報精度.另外從圖中也可以看出，隨著頻率的增加，線譜噪聲值逐漸減小.

圖4 預報聲壓級與試驗值比較Fig.4 Comparison between predicted and measured tone noise level

圖5 線譜噪聲指向性Fig.5 Tone noise directivity

圖5 給出了頻率為 f=466.7 Hz、1 400 Hz和2 333 Hz下的線譜噪聲聲壓級指向性.極角Ψ是與x1軸的夾角(x1軸與螺旋槳運動方向相反)，在x2=0平面上測量的觀察點距離為Rd=50 m.從圖中可以看出，指向性主瓣與螺旋槳運動方向垂直，而在軸向上的輻射為零.并且隨著葉片通過頻率的增加，主瓣寬度相應減小.

3 結束語

本文對均勻流場中的螺旋槳輻射線譜噪聲進行了詳細的理論分析，推導并建立了可對聲源在螺旋槳真實葉表面進行積分的預報線譜噪聲的頻域方法，并對R212空氣槳進行了數值計算.

對R212槳的數值計算及與試驗數據的比較證明了文中所給出的線譜噪聲公式的有效性和準確性.文中建立的頻域表達式將在后續(xù)文中進一步拓展應用于非均勻流場中的螺旋槳離散譜噪聲和廣譜噪聲預報.

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