刁 鳴，陳 超，楊麗麗

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

近年來，在DOA處理領(lǐng)域里，針對(duì)非高斯信號(hào)源發(fā)展起來許多高階累積量陣列處理方法.文獻(xiàn)［1］提出了基于四階累積量的MUSIC-LIKE方法;Dogan和Mendel［2-4］等提出了虛擬陣列的概念，成功地將陣列的孔徑擴(kuò)大，但累積量矩陣中冗余數(shù)據(jù)過多導(dǎo)致計(jì)算量過大的問題一直是高階陣列處理方法的一個(gè)弊端.文獻(xiàn)［5-6］分別應(yīng)用不同的方法對(duì)MUSIC-LIKE算法進(jìn)行簡(jiǎn)化，在一定程度上減少了計(jì)算量.本文基于MUSIC-LIKE算法，結(jié)合最小冗余線陣的擴(kuò)展原理［7］，形成一種新的四階累積量陣列擴(kuò)展算法.將Marcos等人針對(duì)二階方法提出的傳播算子算法［8］推廣到四階累積量矩陣，從而提高了陣列擴(kuò)展能力并且降低了運(yùn)算量.

1 MUSIC-LIKE算法及陣列擴(kuò)展

假設(shè)空間有D個(gè)獨(dú)立的同中心頻率的窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)非高斯信號(hào)分別以角度θi(i=1，2，…，D)(這里θi是指信號(hào)來向與線陣法線的夾角)入射到一個(gè)間距為d=λ/2的M元均勻線陣上，λ為入射信號(hào)波長(zhǎng)，假設(shè)天線陣元在觀測(cè)平面內(nèi)是無方向性的，各陣元輸出的噪聲是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的加性高斯噪聲，且信號(hào)與噪聲相互獨(dú)立.M個(gè)陣元接收的數(shù)據(jù)可以表示為

對(duì)累積量矩陣C進(jìn)行特征分解，M2-D個(gè)較小的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成了噪聲子空間UN，MUSIC-LIKE算法的空間譜為

其中，

圖1為M元均勻線陣經(jīng)過四階累計(jì)量擴(kuò)展形成虛擬陣列的示意圖.實(shí)心圓為原物理陣元，空心圓為擴(kuò)展成的虛擬陣元.最后形成的擴(kuò)展陣列為實(shí)心圓和空心圓疊加的結(jié)果.

圖1 MUSIC-LIKE虛擬線陣形成示意圖Fig.1 Virtual array of MUSIC-LIKE

由式(4)和圖1可以看出，M2個(gè)導(dǎo)向矢量元素中只有2M-1個(gè)不同的元素，其余的元素都是這些元素的重復(fù)，擴(kuò)展后的等效陣列流型可表示為

2 基于MRL的四階累積量構(gòu)造

假設(shè)空間有D個(gè)獨(dú)立的同中心頻率的窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)非高斯信號(hào)分別以角度θi(i=1，2，…，D)入射到一個(gè)M元一維線陣上，天線陣元各向響應(yīng)一致.用［d1d2… dM］(d1=0)表示所有陣元的位置，dp為非負(fù)整數(shù)，表示第p個(gè)陣元與第1個(gè)陣元(參考陣元)之間的半波長(zhǎng)歸一化距離，則陣列接收數(shù)據(jù)可以表示為

式中:

用與MUSIC-LIKE算法相同的方法構(gòu)造四階累積量矩陣C，則得到

其中，

圖2所示為一個(gè)四元最小冗余線陣，其陣元位置分別為λ/2［0 1 4 6］經(jīng)四階累積量陣列擴(kuò)展的示意圖.

圖2 基于MRL的四階累積量虛擬線陣形成示意圖Fig.2 Virtual array of fourth-order cumulant based on MRL

表1將陣元數(shù)為3～9的MRL在二階相關(guān)函數(shù)和四階累積量中的應(yīng)用進(jìn)行了對(duì)比，相同陣元數(shù)的MRL陣元位置不唯一［10］，表中僅列出其中一種(M表示真實(shí)物理陣元數(shù)目，M2表示二階相關(guān)函數(shù)MRL擴(kuò)展后的等效陣元數(shù)，M4表示四階累積量的MRL擴(kuò)展后的等效陣元數(shù)).

表1 基于MRL二階相關(guān)函數(shù)和四階累積量擴(kuò)展陣列對(duì)比Table 1 Comparison of virtual array between correlation function and fourth-order cumulant based on MRL

可見，在給定M的前提下，M2與M4有如下關(guān)系:M4=2M2-1，對(duì)于最優(yōu)的MRL，經(jīng)四階累積量進(jìn)行陣列擴(kuò)展后僅在參考陣元位置上有M個(gè)重合的陣元，而非最優(yōu)的MRL，除在參考陣元位置上有M個(gè)重合陣元外，還在其他某些陣元上存在一定的冗余性.

3 傳播算子算法

假設(shè)導(dǎo)向矩陣A是列滿秩的，A中有D行是線性獨(dú)立的，其他行可由這D行線性表示.假設(shè)其前D行是線性獨(dú)立的.將導(dǎo)向矩陣分塊為

式中:A1和A2分別為D×D維和(M-D)×D維的矩陣.

傳播算子P定義為滿足式(13)的線性算子:

令

可得

式中:IM-D表示(M-D)×(M-D)維的單位矩陣.上式表明，Q的列向量與導(dǎo)向矢量a(θ)正交，而a(θ)和信號(hào)子空間張成相同的子空間，由信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交性，可以證明，Q的列張成的空間就是噪聲子空間.

可得PM算法的空間譜為

傳播算子P可由接收數(shù)據(jù)X或陣列輸出的協(xié)方差矩陣R估計(jì)得到，對(duì)應(yīng)本文中算法，P則是由累積量矩陣C估計(jì)得到.

對(duì)累積量矩陣C進(jìn)行如下形式的分塊:

式中，C1和C2分別為D×M4維和(M4-D)×M4維的矩陣.

值得提出的是，對(duì)信號(hào)源數(shù)目的適當(dāng)過估計(jì)可以改善OPM算法的性能，本文的仿真試驗(yàn)部分即采用了這樣的處理方法.

4 算法步驟

四階累積量與MRL相結(jié)合實(shí)現(xiàn)陣列擴(kuò)展的傳播算子DOA估計(jì)方法的實(shí)現(xiàn)步驟可分為如下幾步:

1)按照表1設(shè)置最小冗余陣列獲得如式(6)所示的陣列接收數(shù)據(jù);

2)按照式(8)構(gòu)造累積量矩陣C;

3)根據(jù)式(11)所示的等效導(dǎo)向矢量，對(duì)累積量矩陣C中的數(shù)據(jù)進(jìn)行重排;

4)使用OPM方法對(duì)累積量矩陣C進(jìn)行處理，求解信號(hào)的DOA.

5 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證算法的正確性及有效性，分別進(jìn)行了3組仿真實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)中，信源為非高斯復(fù)信號(hào)源，信號(hào)間不相關(guān)，噪聲為加性高斯噪聲.

5.1 實(shí)驗(yàn)1

入射信號(hào)為功率相等的遠(yuǎn)場(chǎng)平面波，2個(gè)信號(hào)源分別從［10°，25°］入射，快拍數(shù)為 200，信噪比從0dB變化到30dB，對(duì)應(yīng)每個(gè)信噪比做300次獨(dú)立的仿真實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)中采用了4種方法進(jìn)行比較，分別為OPM算法，采用四階累積量的OPM算法(Cum-OPM)，采用MRL的OPM算法(MRL-OPM)和四階累積量與MRL相結(jié)合的OPM算法(Cum-MRLOPM).其中前2種算法的接收陣列是四元等距均勻線陣，陣元間距半波長(zhǎng);后2種算法的接收陣列是一個(gè)如圖2所示的四陣元最小冗余線陣，陣元位置為［0 1 4 6］.仿真中，分辨概率定義為成功分辨2個(gè)信號(hào)源的次數(shù)與總實(shí)驗(yàn)次數(shù)的比值(實(shí)驗(yàn)中設(shè)定估計(jì)值與真實(shí)值間絕對(duì)偏差在1°以內(nèi)為估計(jì)成功).

由圖3～4可以看出，在同樣使用OPM算法進(jìn)行DOA估計(jì)的前提下，用Cum-MRL進(jìn)行處理的算法其均方根誤差明顯小于其他3種算法，而低信噪比下的分辨概率則明顯高于其他3種算法，仿真試驗(yàn)證明了Cum-MRL-OPM算法在測(cè)向性能上的優(yōu)越性.

圖3 測(cè)角均方根誤差Fig.3 RMS error of DOA estimation

圖4 檢測(cè)成功概率Fig.4 Successful probability of estimation

5.2 實(shí)驗(yàn)2

考慮圖2中陣元數(shù)為4的最小冗余線陣，經(jīng)四階累積量矩陣可以等效為13陣元的均勻線陣，理論上可以估計(jì)出12個(gè)非高斯獨(dú)立信號(hào)源，獲得了比MUSIC-LIKE更大的陣列擴(kuò)展能力.圖5所示為用四陣元的Cum-MRL-OPM算法估計(jì)四信源時(shí)真實(shí)角與估計(jì)角的對(duì)比圖，4個(gè)信號(hào)源分別以角度［-30°，-10°，10°，30°］入射，快拍數(shù)為 200，信噪比從 0dB變化到30dB，對(duì)應(yīng)每個(gè)信噪比做50次獨(dú)立的仿真實(shí)驗(yàn).圖6所示為相同實(shí)驗(yàn)條件下估計(jì)六信源時(shí)真實(shí)角與估計(jì)角的對(duì)比圖，6個(gè)信號(hào)源的入射角度分別為［-48°，-37°，-16°，5°，21°，45°］.圖 7 所示為信噪比10dB、估計(jì)7個(gè)信號(hào)源的譜峰圖，七信號(hào)源的入射角度分別為［-65°，-32°，-15°，-5°，8°，25°，49°］.

圖5 估計(jì)4信號(hào)效果圖Fig.5 DOA estimation for 4 signals

圖6 估計(jì)6信號(hào)效果圖Fig.6 DOA estimation for 6 signals

圖7 SNR=10 dB時(shí)估計(jì)七信號(hào)Fig.7 DOA estimation for 7 signals with SNR=10 dB

由圖5～7可以看出，基于四陣元MRL的四階累積量正交傳播算子方法可以對(duì)4個(gè)入射信號(hào)進(jìn)行有效分辨，在中高信噪比下估計(jì)六信號(hào)也可達(dá)到較好分辨效果.值得提出的是，當(dāng)入射信號(hào)源較多時(shí)，OPM方法無法對(duì)信號(hào)源個(gè)數(shù)進(jìn)行較好的過估計(jì)，因此測(cè)向性能會(huì)有所下降.

5.3 實(shí)驗(yàn)3

在四陣元MRL的四階累積量算法的基礎(chǔ)上分別采用正交傳播算子算法和矩陣特征分解來進(jìn)行最后的測(cè)向運(yùn)算，通過比較2種方法求噪聲子空間的運(yùn)算時(shí)間來驗(yàn)證傳播算子在運(yùn)算量方面的優(yōu)越性.分別進(jìn)行10次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)結(jié)果如表2所示.

表2 OPM算法與矩陣特征分解的計(jì)算量比較Table 2 Comparison of computation between OPM and eigen-decomposition

6 結(jié)束語

本文采用四階累積量處理方法，結(jié)合最小冗余線陣，提出了一種新的四階累積量陣列擴(kuò)展算法，該算法有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn):1)無需簡(jiǎn)化過程即摒棄了原MUSIC-LIKE方法應(yīng)用于均勻線陣所產(chǎn)生的大量冗余數(shù)據(jù);2)原來的冗余數(shù)據(jù)形成了新的擴(kuò)展陣元，更進(jìn)一步提高了算法的陣列擴(kuò)展能力;3)將傳播算子算法推廣到四階累積量矩陣，可以減小運(yùn)算量、縮短運(yùn)算時(shí)間.

仿真試驗(yàn)表明，新算法陣列擴(kuò)展能力強(qiáng)，運(yùn)算速度快，四階累積量對(duì)高斯噪聲的抑制作用也彌補(bǔ)了傳播算子算法在低信噪比條件下性能不佳的缺點(diǎn)，具有較強(qiáng)的實(shí)用意義.

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