高 淵

空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)是近30年來我國發(fā)展最快、應(yīng)用最廣的空間結(jié)構(gòu)類型之一,這類結(jié)構(gòu)體系整體剛度好,技術(shù)經(jīng)濟指標優(yōu)越,可提供豐富的建筑造型,因而受到眾多建設(shè)者和設(shè)計者的歡迎,在大跨度公共建筑設(shè)施中被廣泛應(yīng)用。如北京奧運會著名的“鳥巢”“水立方”,老山自行車館,國家大劇場等均為空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)。這些標志性建筑在國民經(jīng)濟發(fā)展和人民生活中占有重要的地位,一旦失效將帶來災(zāi)難性的損失。本文擬用大質(zhì)量法模擬多點地震激勵作用,對球殼結(jié)構(gòu)在強震下的倒塌破壞模式進行分析歸納,為研究控制(優(yōu)化)結(jié)構(gòu)倒塌破壞過程做鋪墊。研究內(nèi)容包括:同時考慮物理非線性和幾何非線性的大跨空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)多點輸入地震響應(yīng)計算;完善最大熵法可靠度理論精度控制方法;基于改進的最大熵法可靠度理論,對球殼結(jié)構(gòu)在地震作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進行確定性分析,并最終對其倒塌破壞模式進行分類歸納。

1 最大熵法可靠度理論工程應(yīng)用中的改進

1.1 最大熵法可靠度基本理論

熵的起源可以追溯到19世紀。1948年Shannon[1]在信息論中提出了作為事物不確定性測度的熵的概念,其表達式為:

其中,Pi為事件處于狀態(tài)i時的概率;k為玻耳茲曼常數(shù)。

熵定義實際上是一個隨機變量的不確定性,可表述為:

其中,p(Ai)為隨機變量處于可能狀態(tài) Ai時的概率。

當x為連續(xù)型隨機變量時,熵可由下式定義:

其中,f(x)為隨機變量分布的概率密度函數(shù)。

最大信息熵原理[2]:在所有滿足給定約束條件的許多概率密度函數(shù)中,信息熵最大的概率密度就是最佳(即偏差最小)的概率密度函數(shù)。

設(shè)x為一連續(xù)型隨機變量,概率密度函數(shù)為 f(x),則其滿足以下條件:

其中,mi為x統(tǒng)計樣本的第i階原點矩,可由統(tǒng)計樣本計算確定。

為了使隨機變量的熵E(x)在滿足式(4),式(5)的條件下取得最大值,特構(gòu)造如下拉格朗日方程[3]:

其中,(λ0+1),λ1,λ2,…,λN均為拉格朗日乘子。

由?F(x)/?f(x)=0,并引入式(3)～ 式(5),得:

由此可以得出最大熵理論表示的隨機變量為 x的概率密度函數(shù):

而待定系數(shù) λ0,λ1,λ2,…,λN可由式(4),式(5)組成的聯(lián)立方程組求解。

1.2 最大熵法可靠度理論精度控制改進

措施1:將式(7)轉(zhuǎn)換成如下形式:

其中,μ為xi的均值。后文算例表明,采用式(8)可以大大提高計算速度,同時可以有效解決計算收斂困難的問題,但不會對函數(shù)的圖形造成改變。

措施2:由式(4),式(5)組成的聯(lián)立方程組迭代求解待定系數(shù)λ0,λ1,λ2,…,λN時,采用變步長復化 Cotes公式求積分,有效保證了求解過程中的精度要求。

1.3 算例分析

設(shè)由本文改進的最大熵法可靠度理論求得的概率密度函數(shù)為f(x),再與標準F分布概率密度函數(shù)g(x)進行對比。

由Matlab按F分布生成1 600個樣本,采用改進的最大熵法可靠度理論(式(8))算得:λ0,λ1,…,λ4分別為 -0.188 12,-1.218 00,-2.142 11,1.998 98,-0.618 25。圖 1為 g(x)與f(x)的形狀對比,可以看到,g(x)與 f(x)的函數(shù)圖形并不完全一致,這是由于最大熵法理論上存在一定的局限性,約束條件不能完全精確反應(yīng)問題本身而造成的。經(jīng)過計算,g(x)與 f(x)的誤差小于5%,從工程應(yīng)用的角度看符合要求。

文獻[5]將式(8)轉(zhuǎn)換成:

其中,μ,σ分別為xi的均值和標準差。

同樣的樣本,用文獻[5]中提出的方法,即式(9)相應(yīng)求得 λ0,λ1,…,λ4分別為-0.881 54,-0.628 71,-0.537 62,0.262 60,-0.041 45,繪出其概率密度函數(shù)曲線 f′(x)與 g(x)的對比曲線如圖 2所示。從圖2中可以看出,文獻[5]的 f′(x)嚴重偏離了標準概率密度函數(shù)g(x)。究其原因,文獻[5]中對樣本進行(xi-μ)/σ處理后,相當于對樣本標準正態(tài)化了,雖然收到了提高收斂速度的效果,但卻改變了原概率密度函數(shù)的分布圖形,故其方法僅適用于標準正態(tài)分布的情況。而本文中采取的方法,對自變量進行加減處理后再相應(yīng)地進行左右平移,不會改變原函數(shù)的分布圖形,故適用范圍更廣。

2 多點輸入地震波模擬

多點輸入地震波的模擬,首先通過自回歸方法(AR法)模擬得到隨機場時程信號,然后將此隨機信號分解得到傅里葉幅值譜和相位譜兩部分,根據(jù)目標功率譜調(diào)整幅值譜而保持相位譜不變,重新生成隨機場信號,不斷迭代計算直至滿足擬合精度要求。

本文地震波自譜模型采用由日本學者Kanai和 Tajimi提出的過濾白噪聲模型[6],其譜密度表達式如下:

其中,wg為地基土的卓越圓頻率;ζg為地基土的阻尼比;S0為譜強度因子,反應(yīng)地震動的強弱程度。

相干模型本文選擇Harichandran和Vanmarke提出的水平地震動相干模型。該模型是以SMART-1臺陣的觀測記錄為基礎(chǔ)提出的相干模型,它將密集臺陣記錄視為平穩(wěn)、各態(tài)歷經(jīng)零均值隨機過程,其遲滯相干函數(shù)模型[7]表達式為:

考慮因行波效應(yīng)而引起相角變化,則可寫出均勻、各向同性的地震動場相干函數(shù)模型:

其中,DL為k點和l點在波傳播方向上的投影距離;Vapp為地震波傳播的視波速。

3 球殼結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析

結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)隨著加速度峰值的提高而增大,當加速度值達到一定程度后,結(jié)構(gòu)進入非穩(wěn)定狀態(tài),發(fā)生倒塌破壞,定義此時的加速度峰值為極限加速度峰值。本文考慮地震動的隨機性對結(jié)構(gòu)響應(yīng)造成的變異性:1)給定一地震加速度峰值,在相同場地條件下,模擬45組結(jié)構(gòu)各支承點加速度輸入時程;2)采用大質(zhì)量法,對結(jié)構(gòu)進行多點輸入時程分析響應(yīng)計算,并考慮結(jié)構(gòu)體系的物理非線性和幾何非線性;3)采用前文所述改進的最大熵法獲得結(jié)構(gòu)在該級地震加速度峰值下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率密度函數(shù),由此得到該級地震加速度峰值下“最大可能結(jié)構(gòu)響應(yīng)”;4)逐級提高地震動加速度峰值,重復步驟1)～3),直至結(jié)構(gòu)發(fā)生倒塌破壞,并記錄下此時的極限加速度峰值;5)繪制“最大可能結(jié)構(gòu)響應(yīng)—地震動加速度峰值”曲線,根據(jù)曲線特征即獲得了某一結(jié)構(gòu)在該場地條件下的倒塌破壞模式;6)根據(jù)《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》變換場地條件,變換結(jié)構(gòu)跨度、矢跨比等宏觀幾何參數(shù),考查大跨度空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的倒塌破壞過程,最終對倒塌破壞模式進行分類歸納。

通過變更場地條件、結(jié)構(gòu)跨度、矢跨比等,采用大質(zhì)量法對70 m跨單層球殼(K6型)模型和100m跨雙層球殼模型進行了多點輸入下的地震時程響應(yīng)分析(見圖3),通過控制地震波的加速度峰值,逐級加載直至結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞,考察模型在水平地震作用下的水平最大結(jié)構(gòu)可能響應(yīng)。

所有球殼模型支座均為三向固定鉸支座,分布在球殼最外環(huán)的節(jié)點處(規(guī)律布置,雙層球殼分布在上弦層最外環(huán)節(jié)點處)。結(jié)構(gòu)上作用有垂直向下的均布靜荷載(重力荷載代表值)q=恒荷載+0.5×活荷載,以集中質(zhì)量的形式作用于節(jié)點上;單層球殼桿件采用三節(jié)點的Beam188梁單元,雙層球殼桿件采用 Link8單元;材料采用Q235鋼管。

針對各個不同指標(跨度、矢跨比、場地條件等),繪制“最大可能結(jié)構(gòu)響應(yīng)—地震動加速度峰值”曲線,根據(jù)曲線特征獲取結(jié)構(gòu)在該場地條件下的倒塌破壞模式,并對不同指標的結(jié)構(gòu)進行對比分析,最終對大跨空間網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的倒塌破壞模式歸納分析。

1)70 m跨單層球殼,堅硬場地(Ⅱ類場地,水平地震作用下水平位移),見圖 4。2)70 m跨單層球殼,軟弱場地(Ⅲ類場地,水平地震作用下水平位移),見圖5。3)100 m跨雙層球殼,堅硬場地(Ⅱ類場地,水平地震作用下水平位移),見圖6。

經(jīng)過對比分析,從以上“最大可能結(jié)構(gòu)響應(yīng)—加速度峰值”曲線圖中可以得出:1)對同一結(jié)構(gòu)而言,軟弱場地上的極限加速度峰值均低于堅硬場地上的極限加速度峰值。說明,就地面建筑物總的破壞現(xiàn)象而言,在軟弱場地上的建筑物比堅硬場地上的建筑物破壞要容易。2)在堅硬場地條件下,雙層球殼相對于單層球殼而言,無論其極限加速度峰值還是多點地震激勵作用下結(jié)構(gòu)的最大節(jié)點位移值均遠高于單層球殼的。究其原因為雙層球殼的整體性優(yōu)于單層球殼,且桿件受力更為均勻。3)球殼結(jié)構(gòu)在多點輸入地震作用下,破壞模式仍可沿用一致輸入下結(jié)構(gòu)的倒塌破壞模式分類,即強度破壞和動力失穩(wěn)。

[1] C E Shannon.A mathematical theory of communication[J].Bell System Tech,1948(27):379-423,623-659.

[2] 孟慶生.信息論[M].西安:西安交通大學出版社,1989:19-33.

[3] Silvin G.Information theory with application[M].New York:MCGraw-Hill,1977:293-301.

[4] 楊令強.隨機有限元與最大熵法聯(lián)合求混凝土拱壩可靠度[J].水利水運工程學報,2003,2(2):24-28.

[5] 韋 征,葉繼紅,沈世釗.最大熵法可靠度理論在工程中的應(yīng)用[J].振動與沖擊,2007,26(6):146-148,151.

[6] 白國良,朱麗華.基于現(xiàn)行抗震規(guī)范的Kanai-Tajimi模型參數(shù)研究[J].世界地震工程,2004,20(3):114-118.

[7] Harichandran R S,Vanmarke J.Stochastic variation of earthquake ground motion in space and time[J].Journal of Engineering Mechanics,1986,112(4):154-174.