梁春輝,馮 雷,張 欣

(長春工程學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院,長春130012)

0 引言

倒立擺系統(tǒng)是研究控制理論的一種典型的實驗裝置,具有成本低廉,結(jié)構(gòu)簡單,參數(shù)和結(jié)構(gòu)易于調(diào)整的優(yōu)點。然而倒立擺系統(tǒng)具有高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強耦合特性,是一個絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)。倒立擺實物仿真實驗是控制領(lǐng)域中用來檢驗?zāi)撤N控制理論或方法的典型方案,它對一類不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制以及對深入理解反饋控制理論具有重要的意義。倒立擺系統(tǒng)在研究雙足機器人直立行走、火箭發(fā)射過程的姿態(tài)調(diào)整和直升機飛行控制領(lǐng)域中有重要的現(xiàn)實意義,相關(guān)的科研成果已經(jīng)應(yīng)用到航天科技和機器人學(xué)等諸多領(lǐng)域[1]。

伴隨著控制理論的不斷發(fā)展,對倒立擺的控制也出現(xiàn)了采用經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論和人工智能控制理論等多種控制理論的方案和控制方法。本文首先建立了直線一級倒立擺的數(shù)學(xué)模型,并設(shè)計了PID控制器、極點配置法控制器、線性二次最優(yōu)控制器,應(yīng)用系統(tǒng)頻率響應(yīng)法進行分析與校正,最后用MATLAB軟件進行仿真。

1 直線一級倒立擺建模及性能分析

1.1 數(shù)學(xué)模型建立[2]

在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后,可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng),如圖1所示,而小車及擺桿受力分析見圖2所示,其機械部分遵守牛頓運動定律,其電子部分遵守電磁學(xué)的基本定律,因此可以通過機理建模得到系統(tǒng)較為精確的數(shù)學(xué)模型。

用u表示被控對象的輸入力F,應(yīng)用牛頓運動定律,得到線性化微分方程表達式:

進而分別得到直線一級倒立擺在經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論中的數(shù)學(xué)模型。

(1)以輸入力u為輸入量,以擺桿擺角φ為輸出量的傳遞函數(shù):

其中,q=(M+m)(I+ml2)-(ml)2

(2)以小車加速度v=¨x為輸入,以擺桿擺角φ為輸出量的傳遞函數(shù):

(3)狀態(tài)空間表達式:

1.2 性能分析

應(yīng)用模型1分析系統(tǒng)穩(wěn)定性,用MAT LAB軟件繪制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖3所示,可知系統(tǒng)不穩(wěn)定。應(yīng)用模型3分析系統(tǒng)能控性和能觀性,可知

系統(tǒng)具有能控性和能觀性。因此可以對系統(tǒng)進行控制器設(shè)計,使系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖3 一級倒立擺單位階躍響應(yīng)曲線

2 用經(jīng)典控制法分析直線一級倒立擺

2.1 PID控制[3-4]

PID控制器結(jié)構(gòu)簡單,容易調(diào)節(jié),且不需要對系統(tǒng)建立精確的模型,在實際控制中應(yīng)用較廣。對于本例,經(jīng)過驗證和總結(jié)前人的經(jīng)驗,可知一般的PID控制器只能對倒立擺擺桿的擺角進行控制,而不能對小車的位置進行控制,所以想到設(shè)計雙閉環(huán)PID控制器。PID控制器主要在于參數(shù)的調(diào)整,可以根據(jù)經(jīng)驗確定,這里我們采用穩(wěn)定邊界法整定參數(shù)。對于公式(6)所示的PID控制器傳遞函數(shù),

參數(shù)整定步驟如下:

(1)將控制器的積分系數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd均設(shè)置為0,比例系數(shù)Kp設(shè)置為較小的值,使系統(tǒng)投入穩(wěn)定運行。

(2)逐漸增大比例系數(shù)Kp,直到系統(tǒng)出現(xiàn)等幅震蕩,并記錄此時的臨界震蕩增益K和臨界震蕩周期T。

(3)根據(jù)K和 T的值,采用經(jīng)驗公式Kp=0.6K,Kd=0.125T,Ki=0.5T,計算出調(diào)節(jié)器的各個參數(shù),即Kp、Ki和Kd的值。

通過反復(fù)實驗,小車位置PID參數(shù)整定為:Kp=-85,Ki=-90,Kd=-67;擺桿PID參數(shù)整定為:Kp=230,Ki=0,Kd=60。在MAT LAB/SIMULINK環(huán)境下依據(jù)模型3建立一級倒立擺雙閉環(huán)仿真模塊如圖4所示。仿真結(jié)果如圖5～6所示,小車的位置,擺桿角度均能得到有效控制。

圖4 PID控制仿真模塊

圖5 PID控制小車位置仿真曲線

圖6 PID控制擺桿擺角仿真曲線

2.2 頻率響應(yīng)分析與校正[5]

由數(shù)學(xué)模型2可以繪制其伯德圖如圖7所示,可知其相位裕量為0,采用超前校正裝置進行校正,使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差常數(shù)為10,相位裕量為50,增益裕量等于或大于10分貝。設(shè)超前校正裝置

圖7 串聯(lián)校正前一級倒立擺的伯德圖

根據(jù)誤差要求得校正前系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

令 φm=50°+5°=55°,得到10.1,

校正后系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

繪制其伯德圖如圖8所示,可知校正后系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度滿足要求,可達到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖8 串聯(lián)超前校正后一級倒立擺的伯德圖

3 用現(xiàn)代控制法分析直線一級倒立擺[6]

3.1 極點配置法

在1.2我們已經(jīng)得到結(jié)論:一級倒立擺系統(tǒng)是狀態(tài)可控的,所以可以通過狀態(tài)反饋的方法將極點配置在期望的位置。這里反饋矩陣k可以采用系數(shù)匹配法、Ackermann配置算法和Gura-Bass算法。根據(jù)要求,并留有一定的裕量,我們選取期望的閉環(huán)極點為:

則根據(jù)期望的特征方程:

應(yīng)用MAT LAB軟件可以得到狀態(tài)反饋增益矩陣為:

并得到一級倒立擺的仿真圖如圖9～10所示。

由以上的仿真圖可知,極點配置法可以對倒立擺系統(tǒng)能夠進行有效的控制,并且具有良好的穩(wěn)態(tài)性能。

3.2 最優(yōu)控制法

通過線性二次型最優(yōu)設(shè)計方法在實際的倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計中得到了廣泛的應(yīng)用,具有較好的魯棒性與動態(tài)特性以及能夠獲得線性反饋結(jié)構(gòu)等優(yōu)點。最優(yōu)控制理論主要是依據(jù)Pontriagin極大值原理,通過對性能指標(biāo)的優(yōu)化來尋求使目標(biāo)極小的控制器。

為了總結(jié)出Q1,1和Q3,3與系統(tǒng)響應(yīng)時間的關(guān)系,我們通過改變 Q1,1和Q3,3后不斷進行MAT LAB仿真實驗,得到如下Q1,1和Q3,3與響應(yīng)時間的關(guān)系表格。

表1 Q1,1和Q3,3與響應(yīng)時間的關(guān)系

本實例中我們可以選取Q1,1=1 000,Q3,3=200,此時擺桿角度的超調(diào)量足夠小,同時上升時間也比較短。利用MAT LAB仿真可以得到仿真圖如圖11～12所示。

圖11 最優(yōu)控制小車的位移曲線

圖12 最優(yōu)控制擺桿的角度曲線

由仿真圖可以看出,LQR控制器對小車的速度和擺桿的角度均有良好的控制效果,所以該算法對倒立擺的控制是有效的。

4 結(jié)語

本文以直線一級倒立擺為研究對象,在建立了其數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上,分別從經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論出發(fā)分析系統(tǒng)的相關(guān)性能。從MATLAB仿真結(jié)果可知,PID控制可以更好地抑制超調(diào),但調(diào)節(jié)時間較長。采用極點配置法,系統(tǒng)快速性較好,但超調(diào)量稍大。線性二次最優(yōu)控制法則保證了穩(wěn)定性和快速性,具有最優(yōu)越的性能。

[1]張東軍,叢爽.倒立擺控制系統(tǒng)研究綜述[J].控制工程,2003,7(10):9-12.

[2]李曉燕.平面一級倒立擺系統(tǒng)的智能控制策略研究[D].山西:太原理工大學(xué),2005:25-40.

[3]叢爽,張冬軍,魏衡華.單級倒立擺三種控制方法的對比研究[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2001,23(11):47-49.

[4]楊世勇,徐莉蘋,王培進.單級倒立擺的PID控制研究[J].控制工程,2007,14(S0):23-24.

[5]胡壽松.自動控制原理[M].5版.北京:科學(xué)出版社,2007:243-296.

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