張 翔，黃奕勇，韓 偉，陳小前

（國防科技大學 航天與材料工程學院，長沙 410073）

0 引言

空間對接過程中，通過對接裝置上的緩沖機構，減小由碰撞引起的對航天器結構的沖擊和反彈速度，增大捕獲過程的可用時間，有助于捕獲接口的對準。因此，研究對接過程的碰撞現(xiàn)象以及對緩沖機構的性能進行測試/試驗具有重要的意義。自20世紀50年代NASA第一次開展碰撞試驗以來，為了更好地理解碰撞現(xiàn)象，人們開展了大量關于碰撞理論與試驗方面的研究[1]。對于低速碰撞情形，目前碰撞的力學模型主要分為兩類：一類是彈簧阻尼模型，用彈簧模擬物體對變形的抵抗力，用阻尼模擬能量耗散；另一類是忽略碰撞過程的細節(jié)，認為碰撞在瞬間完成，碰撞使系統(tǒng)速度產生突變[2]。對于高速碰撞現(xiàn)象，還需引入彈性波的影響。本文所涉及到的碰撞試驗系統(tǒng)，屬于低速碰撞情形，可以忽略彈性波的影響。因此，在碰撞試驗系統(tǒng)設計過程中，可以考慮利用加速度傳感器對碰撞力進行間接測量。通過對碰撞過程加速度的測量解算求得碰撞力在時域和頻域內的變化關系，進而檢驗、改進碰撞理論，從而為后續(xù)設計、優(yōu)化航天器對接裝置奠定基礎。

本文首先利用經典的赫茲（Hertz）彈簧阻尼理論建立低速碰撞力學模型，通過對模型的分析研究，探討了低速情形下碰撞力的時域和頻域特性、碰撞過程能量的頻域特性以及碰撞信號的頻帶寬度等問題；然后將得出的結論應用到具體的低速碰撞試驗系統(tǒng)設計中，總結得到試驗設計過程中選擇加速度傳感器時應遵循的一些基本原則。

1 碰撞理論及建模

1.1 Hertz 碰撞理論

根據(jù)赫茲彈簧阻尼模型，碰撞過程中產生的碰撞力f與碰撞點相互侵入的深度δ和侵入速度δ·之間的關系為[2-3]

式中：k、c分別為剛度和阻尼系數(shù)；n為非線性指數(shù)；碰撞力的方向指向兩物體各自表面在接觸點處的內法線方向。其中，阻尼系數(shù)常取如下形式：

式中的V0為發(fā)生碰撞兩物體的初始相對速度。如果發(fā)生碰撞的兩個物體是半徑分別為r1、r2的球體，它們的彈性模量和泊松比分別為Ei、vi（i=1，2），則根據(jù)Hertz彈性碰撞理論可計算出式(1)中的參數(shù)為[4-5]

1.2 碰撞力計算模型

設發(fā)生碰撞兩物體的質量分別為m1、m2，碰撞要經歷一個先壓縮后擴張的過程。設m1在整個碰撞接觸階段相對于慣性系的絕對速度為V1，m2的絕對速度為V2。根據(jù)牛頓第二定律[6]，碰撞力可表示為

侵入速度為

式(6)兩邊對時間求導，然后與式(4)、(5)聯(lián)合求解，可得：

如果碰撞模型中的m1=m2，則可表示為

將式(1)與式(8)聯(lián)立得：

解此微分方程，即可求得碰撞過程中侵入量隨時間變化關系，則碰撞力隨時間變化關系亦可求得。

2 碰撞仿真計算與加速度傳感器選擇方法

2.1 碰撞仿真計算與參數(shù)分析方法

本文使用MATLAB對二體對心碰撞模型進行了定量分析。這里首先給出一個算例，以此說明碰撞參數(shù)的具體分析方法。

表 1 模型基準參數(shù)Table 1 Parameters of the impact model

圖1 碰撞力 f 在時/頻域內的變化關系Fig.1 The impact force in time/frequency domain

圖2 碰撞過程能量在頻域內的變化關系Fig.2 The energy in contact-impact process in frequency domain

2.2 加速度傳感器的選型

碰撞試驗系統(tǒng)設計過程中，對加速度傳感器的選擇極為重要，它直接影響到碰撞試驗所得數(shù)據(jù)的可信度以及試驗的成敗。加速度傳感器的選擇包括加速度傳感器類型的選擇以及加速度傳感器相關參數(shù)的確定。

2.2.1 加速度傳感器類型的選擇

碰撞試驗要求傳感器具有較寬的動態(tài)范圍和頻率響應范圍。在碰撞試驗加速度測量系統(tǒng)中較多選用壓電式加速度傳感器[8-9]。

2.2.2 加速度傳感器相關參數(shù)的確定

壓電式加速度傳感器的主要特性參數(shù)包括：質量、量程、分辨率、頻率響應、安裝諧振頻率、動態(tài)范圍、橫向靈敏度、非振動環(huán)境特性等。對于碰撞試驗，主要考慮質量、分辨率、量程與頻率響應4 個參數(shù)[10]。

2.2.2.1 質量

加速度傳感器以附加質量的形式安裝在被測物體上，必然影響碰撞物體的質量分布，進而影響到被測物體的動力學響應特性，如：加速度響應值和固有頻率。因此，要求傳感器的質量遠小于被測物體的質量。對于錐-桿式對接機構，由于主動端對接桿質量較輕，考慮將傳感器安裝在被動端對接錐上。

2.2.2.2 分辨率

加速度傳感器的分辨率越高，則其要求的靈敏度也越高，但靈敏度越高，加速度傳感器越重，固有頻率越低，高頻響應受到限制。故分辨率的選擇受到質量和頻率特性的雙重限制，要折中考慮。在碰撞試驗中，為了滿足高頻響應的要求，在分辨率的要求上可以適當讓步。

2.2.2.3 量程與頻率響應

為了確定加速度傳感器的量程與頻率響應參數(shù)，首先依據(jù)前述算例方法研究碰撞過程參數(shù)（如加速度和信號帶寬）跟發(fā)生碰撞兩物體質量以及兩物體相對速度之間的關系；然后應用所得結論，進一步考慮基于錐-桿式對接機構碰撞試驗中對接桿的質量與初始速度，確定出本碰撞試驗系統(tǒng)設計中加速度傳感器的量程與頻率響應參數(shù)。

1）下面分兩種情況對信號進行討論。

① 保持球1初始速度V1和兩球質量比不變的前提下，改變球1質量m1

初始速度V1=0.06 m/s，兩球質量比m1/m2=(1/8)3，即兩球半徑比r1/r2=1/8，此比例是參考基于錐-桿式對接機構碰撞試驗系統(tǒng)設計時，對接桿與對接錐實際質量比進行選取的。球1的半徑r1從0.005～0.05 m之間等間距取10個點，對應質量m1的取值區(qū)間為0.001 4～1.435 kg。代入模型，得到碰撞持續(xù)時間與碰撞過程頻帶寬度跟發(fā)生碰撞物體質量之間的關系如圖3所示。

圖3 碰撞時間與頻帶寬度隨物體質量的變化關系Fig.3 Impact time and bandwidth versus mass

從圖3可以看出，在保持球1初始速度和兩球質量比不變的前提下：

·碰撞過程持續(xù)時間將隨著球 1質量的增加而增加，但變化率逐漸減小，質量小于0.2 kg時，變化程度比較劇烈；

·碰撞過程的頻帶寬度將隨著質量的增加而減小，但變化率逐漸減小，質量小于0.2 kg時，變化程度比較劇烈。

② 保持球1和球2質量m1、m2不變的情況下，改變球1的初始速度V1

m1=0.092 kg，m2=47.010 kg，此處研究的碰撞試驗屬于低速碰撞情形，故設定球 1的初始速度V1在0.02～0.2 m/s等間距取10個點。將上述參數(shù)代入模型，得到碰撞持續(xù)時間與碰撞過程頻帶寬度隨發(fā)生碰撞兩物體相對速度之間的關系（如圖4所示）。

圖4 碰撞時間與頻帶寬度隨兩物體初始相對速度的變化關系Fig.4 Impact time and bandwidth versus relative velocity of two bodies

從圖4可以看出：

·在保持球1和球2質量不變的前提下，增加球1的初始速度，碰撞持續(xù)時間將隨著兩球初始相對速度的增加而減少。從物理意義上可以這樣理解，兩物體的相對速度增大，則兩物體相互侵入的速率增大，碰撞力隨時間的變化曲線變陡，曲線周期變短，碰撞時間減少；

·碰撞過程的頻帶寬度將隨著兩球初始相對速度的增加而增加。

2）對于加速度傳感器的頻響參數(shù)問題，基于錐-桿式對接機構的碰撞試驗系統(tǒng)設計中，對接桿的質量介于 0.1～0.4 kg之間，對接桿的初始速度介于0.02～0.1 m/s之間，由圖3(b)和圖4(b)中曲線可知，測量該碰撞過程所需要的頻帶寬度將不會超過4 kHz。考慮到計算模型可能存在偏差，為了確保加速度傳感器頻響滿足碰撞試驗需求，在選擇加速度傳感器時，將頻響參數(shù)擴大1.5倍進行采購，即所購買的加速度傳感器的頻響帶寬應在10 kHz。

3）對于加速度傳感器的量程問題，綜合分析以上所有情形，從模型中提取相關數(shù)據(jù)，給出以上所有情形下出現(xiàn)的碰撞力峰值最大值以及加速度峰值最大值，如表2所示。從表2數(shù)據(jù)可以看出，在低速碰撞情形下，發(fā)生碰撞兩物體所能達到的加速度峰值并不高，一般不會超過500g。而依據(jù)目前的加速度傳感器制造工藝，此技術指標不難達到。

表 2 碰撞力峰值和加速度峰值Table 2 Peak values of impact force and acceleration

根據(jù)以上分析及所得結論，在選購加速度傳感器時，為了保證碰撞試驗的順利進行，還可以協(xié)調處理各參數(shù)之間的關系。例如，如果在加速度傳感器質量與分辨率比較符合要求的情況下，根據(jù)目前的技術水平，頻響參數(shù)難以達到滿意要求，或者即使能達到，試驗成本也太高，則可以通過適當增加對接桿的質量或者減小對接桿的初始速度，來降低測量碰撞過程所要求的頻帶寬度，從而降低加速度傳感器選購時的頻響要求。

3 結論

通過對低速情形下二體對心碰撞模型所取得的幾組數(shù)據(jù)進行的時域/頻域比較分析，得到了以下結論，這些結論對碰撞試驗中加速度傳感器的選擇具有重要參考價值。

1）碰撞力的大小、碰撞持續(xù)時間隨發(fā)生碰撞物體質量的增加而增加，信號頻帶寬度隨發(fā)生碰撞物體質量的增加而減??；但變化率隨著質量的增加而逐步趨緩。本文所討論系統(tǒng)的碰撞時間一般在亞毫秒量級，信號頻帶寬度一般在kHz量級。

2）碰撞力的大小、頻帶寬度隨發(fā)生碰撞兩物體相對速度的增加而增加，碰撞持續(xù)時間隨兩物體相對速度的增加而減小。

3）對于低速碰撞試驗系統(tǒng)設計中加速度傳感器的參數(shù)確定，若選用三軸加速度傳感器，其量程應該選500g，每個軸向的頻響參數(shù)均應在10 kHz以上。

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