漆萬鵬，侯 磊

（1海軍駐武漢438廠軍事代表室，武漢 430060；2海軍駐武漢701所軍事代表室，武漢 430064）

正交各向異性圓柱殼的軸對稱和梁式振動分析

漆萬鵬1，侯 磊2

（1海軍駐武漢438廠軍事代表室，武漢 430060；2海軍駐武漢701所軍事代表室，武漢 430064）

文章用Flügge經(jīng)典殼體理論討論了正交各向異性圓柱殼的軸對稱和梁式振動，分析了殼體參數(shù)和材料參數(shù)對殼體頻率和振型的影響，還討論了這兩種振動與桿的縱向振動、環(huán)的平面內(nèi)振動以及軸對稱軸向運動和軸對稱徑向運動的關(guān)系。

正交各向異性圓柱殼；軸對稱振動；梁式振動

1 前 言

圓柱殼體在軸對稱運動（n=0）和梁式運動（n=1）中的特性是殼體的固有特性，區(qū)別于其他一維結(jié)構(gòu)（桿，梁）和二維結(jié)構(gòu)（板）。對于諸如導彈和航空器等復雜動力載荷而言，可以使用近似的軸對稱或者梁式運動分析。對圓柱殼的振動分析，大多集中在n＞2的非對稱情況[1，6-9]，而討論圓柱殼對稱振動的文獻很有限。Mirsky和Herrmann[2]使用計及剪切變形和旋轉(zhuǎn)慣量的Timoshenko型殼體理論討論了圓柱殼的軸對稱和非軸對稱振動。Forsberg[3]研究了各向同性圓柱殼的軸對稱和梁式運動，并討論了邊界條件對振型、廣義質(zhì)量和模態(tài)力的影響。

本文用Flügge經(jīng)典殼體理論討論了正交各向異性圓柱殼的軸對稱和梁式振動，分析了殼體參數(shù)和材料參數(shù)對殼體頻率和振型的影響，還討論了這兩種振動與桿的縱向振動、環(huán)的平面內(nèi)振動以及軸對稱軸向運動和軸對稱徑向運動的關(guān)系。

2 理論分析

圖1表示了本文研究的正交各向異性圓柱殼。圓柱殼半徑R，長度L，厚度h，剪切彈性模量G。

設圓柱殼的材料主軸和坐標系主軸重合，則滿足如下關(guān)系式：

應用Flügge經(jīng)典殼體理論[5]，正交各向異性圓柱殼的振動方程為：

上式中 Dx，Dθ，Dxθ為拉伸剛度，Kx，Kθ，Kxθ為彎曲剛度：

對于簡支邊界條件，設位移函數(shù)為：

可以得到系統(tǒng)的自由振動方程：

2.1 軸對稱振動分析

令n=0時，圓柱殼的方程變成兩種獨立的運動：（1）環(huán)向扭轉(zhuǎn)振動；（2）軸向和徑向耦合的運動。

（1）環(huán)向振扭轉(zhuǎn)動：

扭轉(zhuǎn)振動的頻率

（2）徑向和軸向耦合振動

（5）式可簡化為：

這是一個關(guān)于 ω2的二次方程，可以得到兩個根（假設＜），求出頻率之后，再代入（7）式求出振型。

無因次頻率定義為：

為了研究這種軸向和徑向耦合運動，本文還考慮了這兩個方向上解耦的運動，即

（a） 軸對稱軸向運動（axisymmetric longitudinal motion）

此時，v=w=0。運動方程：

（b） 軸對稱呼吸運動（axisymmetric breathing motion）

u=v=0，運動方程為：

2.2 梁式振動

在系統(tǒng)特征方程（5）式中令n＝1，即可以求出圓柱殼的梁式振動特性。為了討論這種運動，引入簡單梁理論的結(jié)果，即把圓柱殼看成是一個半徑為R，壁厚為h的簡支梁，它的頻率是：

其中，慣性矩I和面積A由下式計算：

3 算例和討論

表1 材料特性Tab.1 Material features

3.1 各向同性材料算例

Case2可以近似認為是各向同性材料的，此時Ex/G＝2.581 6，該值略大于2( 1+ vx)。 圖 2－4 給出了軸對稱振動（n＝0）時圓柱殼特性曲線。對于圓柱殼的某一振型（m,n）存在3個對應不同運動形式的頻率。從圖2中的頻率以及圖4中的振型曲線可以知道，對于特定長度的圓柱殼，在軸對稱運動時，它的軸向振動頻率總是最高的。對于比較短的殼體（圖2中，L/mR＝2），徑向振動頻率是3個頻率中最低的。一旦長度稍大，則環(huán)向的扭轉(zhuǎn)振動頻率卻是最小的了。這種特性不同于n＞2時，扭轉(zhuǎn)振動頻率是最高的情況。

當L/R＜0.5時，殼體的徑向頻率則要高于圓環(huán)的頻率。L/R＞1時，徑向振動頻率低于圓環(huán)頻率和桿頻率，軸向振動頻率則高于這兩個頻率。軸對稱情況下的徑向振動頻率曲線和軸向振動頻率曲線實際上是以桿（bar）的縱向振動和環(huán)（ring）的平面內(nèi)振動曲線為漸近線的。圖3給出了L/mR=1～5時的詳細變化情況。

本文研究的正交各向異性材料特性見表1[4]。

圖2 軸對稱振動時的三個頻率曲線Fig.2 Frequencies for axisymmetric vibration

圖3 頻率關(guān)系曲線Fig.3 Frequency vs.L/mR

把殼體當成桿件考慮，其一階頻率為：

在（2）式中，令u＝0，則可以討論圓環(huán)的振動。它的兩個運動可以解耦。其中徑向振動無因次頻率為：

圖4給出了振型隨L/R的變化情況。當殼體較短（L/R＜3.15）時，軸向位移大于徑向位移，殼體主要表現(xiàn)為軸向振動。過了這個臨界點后，則主要表現(xiàn)為徑向振動。從圖3中可知，該臨界點對應的L/R值，實際就是圓環(huán)頻率和桿頻率相等對應的值，定義該點為特征點（圖中A點）。

這里討論的軸對稱振動，u，w位移是耦合的。這種振動和殼體單一自由度的軸對稱軸向振動、軸對稱“呼吸”振動是有區(qū)別的。后兩種運動在圖5中給出。注意到，“呼吸”振動的頻率要高于環(huán)的頻率。殼的軸對稱軸向振動和桿的縱向振動更接近，頻率比后者大約高2%（圖中為清楚起見，桿的頻率未表示出來）。

圖4 軸對稱振動時振型曲線Fig.4 Vibration shape for axisymmetric vibration

圖5 軸對稱軸向振動、軸對稱“呼吸”振動頻率Fig.5 Frequencies for axisymmetric vibration

圖6，7給出了殼體梁式運動的頻率和振型曲線。從圖中看出，當L/R＞20以后，殼體的最低頻率和用簡單梁理論（不考慮剪切和旋轉(zhuǎn)慣量作用）得到的頻率非常接近。

圖6 梁式振動頻率曲線Fig.6 Frequency for beam type vibration

圖7 梁式振動振型曲線Fig.7 Vibration shape for beam type vibration

3.2 各向異性材料算例

對于各向異性材料，它們的振動特性和各向同性材料有很多類似的特點。

圖8給出了兩種各向異性材料時的軸向振動頻率和徑向振動頻率曲線。從圖中可以看出，環(huán)向剛度增加（case 3）特征點A變化到B點，即對應的L/R值減小。

圖9，10給出了這兩種材質(zhì)的梁式振動情況，環(huán)向剛度增加，梁式振動頻率上升。圖11，12給出了殼體厚度變化對這兩種振動頻率的影響。厚度增加對軸對稱振動的軸向頻率影響很小，對徑向頻率的影響也表現(xiàn)在殼體比較短的范圍內(nèi)。

4 結(jié) 論

本文用Flügge經(jīng)典殼體理論討論了正交各向異性圓柱殼的軸對稱和梁式振動，分析了殼體參數(shù)和材料參數(shù)對殼體頻率和振型的影響。

對于特定長度的圓柱殼，在軸對稱運動時，它的軸向振動頻率總是最高的。對于比較短的殼體徑向振動頻率是3個頻率中最低的。一旦殼體長度稍大，則扭轉(zhuǎn)振動頻率卻是最低頻率，不同于n＞2的情況。

軸對稱情況下的徑向振動頻率曲線和軸向振動頻率曲線實際上是以桿的縱向振動和環(huán)的平面內(nèi)振動曲線為漸近線的。當L/R＜0.5時，殼體的徑向頻率則要高于圓環(huán)的頻率。L/R＞1時，徑向振動頻率低于圓環(huán)頻率和桿頻率，軸向振動頻率則高于這兩個頻率。

環(huán)向剛度增加，梁式振動頻率上升。厚度增加對軸對稱振動的軸向頻率影響很小，對徑向頻率的影響只表現(xiàn)在殼體比較短的范圍內(nèi)。

[1]Leissa A W.Vibration of shells[R].NASA SP 288,1973.

[2]Misky I,Herrmann G.Nonaxially symmetric motions of cylindrical shells[J].J Acoust.Soc.Am.,1957,29(10):1116-1123.

[3]Forsberg K.Axisymmetric and beam-type vibrations of thin cylindrical shells[J].AIAA J,1969,7(2):221-227.

[4]Dong S B,Tso F K W.On a laminated orthotropic shell theory including transverse shear deformation.[J].Trans.ASME,J Appl.Mech.,1972,39:1091-1097.

[5]Flügge W.Stresses in shells[M].Springer-Verlag,New York,1973.

[6]Li Xuebin.A new approach for free vibration analysis of thin circular cylindrical shell[J].Journal of Sound and Vibration,2006,296:91-98.

[7]Li Xuebin.Study on free vibration analysis of circular cylindrical shells using wave propagation[J].Journal of Sound and Vibration,2008,311:667-682.

[8]Pan Zhi,Li Xuebin,Ma Jianjun.A study on free vibration of a ring-stiffened thin circular cylindrical shell with arbitrary boundary conditions[J].Journal of Sound and Vibration,2008,314(1-2):330-342.

[9]Gan Lin,Li Xuebin,Zhang Zheng.Free vibration analysis of ring-stiffened cylindrical shells using wave propagation approach[J].Journal of Sound and Vibration,2009,326(3-5):633-646.

Axisymmetric and beamlike vibration of orthotropic circular cylindrical shell

QI Wan-peng1,HOU Lei2
(1 Navy Military Representative Department in No.438 Plant,Wuhan 430060,China;2 Navy Military Representative Department in No.701 Institute,Wuhan 430064,China)

An analysis is presented for axisymmetric and beam-like vibration of an orthotropic cylindrical shell using Flügge classical shell theory.The effects of shell and material parameters on vibration frequencies and mode shapes are discussed in this paper.Some comparisons with axisymmetric longitudinal motion,axisymmetric breathing motion,ring motion,etc are obtained.

orthotropic circular cylindrical shell;axisymmetric vibration;beam-like vibration

TB532 TU33+3

A

1007-7294（2010）08-0908-07

2010-03-12

漆萬鵬（1975-），男，工程師； 侯 磊（1972-），男，工程師。