張 旭， 孫 偉， 許 煥 衛(wèi)， 董 榮 梅

（大連理工大學(xué) 精密與特種加工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

0 引 言

穩(wěn)健設(shè)計(jì)要求產(chǎn)品系統(tǒng)性能對(duì)于制造過程中的波動(dòng)或其工作環(huán)境的變化不敏感，而且盡管零、部件會(huì)漂移或老化，系統(tǒng)仍然在其壽命期間以可接受的水平持續(xù)工作.通常影響產(chǎn)品質(zhì)量的因素都具有一定的隨機(jī)性和模糊性，實(shí)際的工程優(yōu)化設(shè)計(jì)中存在著大量的模糊因素，不考慮這些客觀存在的模糊因素的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是不全面的.模糊穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)是指同時(shí)考慮實(shí)際影響因素的不確定性，將模糊理論應(yīng)用到穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)中，使產(chǎn)品在受到各種干擾因素影響下質(zhì)量仍保持穩(wěn)定的設(shè)計(jì)方法.許多學(xué)者已對(duì)模糊穩(wěn)健設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[1]提出了模糊穩(wěn)健設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，建立了模糊穩(wěn)健設(shè)計(jì)的單目標(biāo)優(yōu)化模型.文獻(xiàn)[2]將容差和優(yōu)質(zhì)品率作為優(yōu)化目標(biāo)，建立了雙目標(biāo)優(yōu)化模型.該方法以主容差作為優(yōu)化目標(biāo)，適用于各容差間難以確定其關(guān)系的情況.文獻(xiàn)[3]從不確定因素引起產(chǎn)品質(zhì)量波動(dòng)的角度建立模糊穩(wěn)健設(shè)計(jì)模型，但采用折中規(guī)劃求解時(shí)需面臨權(quán)值的合理性選擇問題.

另一方面，工程穩(wěn)健設(shè)計(jì)通常要求通過調(diào)整設(shè)計(jì)變量與控制其容差來使各種因素對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的影響限制在規(guī)定的容許范圍之內(nèi)[4]，由于受系統(tǒng)復(fù)雜性、隨機(jī)性和模糊性等限制，設(shè)計(jì)者往往很難在穩(wěn)健設(shè)計(jì)初期就給出其精確的控制信息.因而采用交互式設(shè)計(jì)方法可以在穩(wěn)健設(shè)計(jì)過程中不斷改進(jìn)其設(shè)計(jì)要求，有利于提高設(shè)計(jì)效率，改善設(shè)計(jì)效果.

本文在文獻(xiàn)[2、3]的基礎(chǔ)上，主要進(jìn)行如下研究：

（1）針對(duì)折中規(guī)劃加權(quán)系數(shù)賦值合理性問題，采用區(qū)間加權(quán)主容差作為優(yōu)化目標(biāo)構(gòu)造模糊穩(wěn)健設(shè)計(jì)模型.

（2）采取物理規(guī)劃法建立穩(wěn)健優(yōu)化問題的局部偏好模型.

（3）針對(duì)一般工程穩(wěn)健設(shè)計(jì)問題無法給出先驗(yàn)信息的問題，建立兩級(jí)評(píng)價(jià)系統(tǒng)，根據(jù)折中規(guī)劃（CP）結(jié)果不斷改進(jìn)局部偏好模型，實(shí)現(xiàn)交互式的穩(wěn)健設(shè)計(jì)過程.

1 改進(jìn)的雙目標(biāo)模糊穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

廣義的講，產(chǎn)品質(zhì)量優(yōu)劣的評(píng)價(jià)是模糊的.因此，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)y可以定義為模糊指標(biāo)，其隸屬函數(shù)為μ珦A（y），珦A為y的優(yōu)質(zhì)性的模糊概率描述.f（y）為y的分布密度函數(shù)，它同時(shí)受系統(tǒng)的可控因素和噪音因素的影響.產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣或產(chǎn)品設(shè)計(jì)質(zhì)量的品質(zhì)穩(wěn)健設(shè)計(jì)準(zhǔn)則[1]可表示為

另一方面，設(shè)計(jì)參數(shù)的容差是衡量產(chǎn)品性能和制造成本的一個(gè)重要因素.減小容差，雖可提高產(chǎn)品的質(zhì)量和可裝配性，但是卻大大提高了產(chǎn)品的制造費(fèi)用.穩(wěn)健設(shè)計(jì)中，在考慮產(chǎn)品品質(zhì)的同時(shí)，還應(yīng)該考慮到產(chǎn)品的可制造性，使產(chǎn)品的制造成本越低越好.采用主容差的最壞情況模型[5]建立的容差穩(wěn)健設(shè)計(jì)準(zhǔn)則[2]可表示為

該準(zhǔn)則沒有考慮容差間相對(duì)關(guān)系，這意味著對(duì)各設(shè)計(jì)變量的穩(wěn)健可行域“縮放”程度的控制是置于同一標(biāo)準(zhǔn)下的.實(shí)際上，不同設(shè)計(jì)參數(shù)的容差對(duì)系統(tǒng)整體穩(wěn)健特性的影響程度不同，即各容差具有不同重要性.因此，準(zhǔn)則（2）僅適用于各設(shè)計(jì)變量容差間難以確定其關(guān)系的情況.考慮各容差間的相對(duì)重要程度，容差的穩(wěn)健設(shè)計(jì)準(zhǔn)則可改寫為如下形式：

其中權(quán)重系數(shù)ωi表示各容差的相對(duì)重要度.

綜上所述，建立模糊穩(wěn)健設(shè)計(jì)的雙目標(biāo)優(yōu)化模型：

為模糊約束條件所決定的安全事件，其定義如下：

的隸屬函數(shù)為μ珟Bk（g k），g k（x，z）的分布密度函數(shù)為f k（gk），βk為預(yù)定的穩(wěn)健設(shè)計(jì)水平.

2 交互式穩(wěn)健優(yōu)化方法

傳統(tǒng)的基于權(quán)重的優(yōu)化方法的缺陷是模型中的權(quán)重可能無實(shí)際物理意義.因此，對(duì)于設(shè)計(jì)者無法清晰判斷各目標(biāo)間重要性關(guān)系的情況，只給定權(quán)重取值的可能范圍，比假定其為某一確定值更為合理.針對(duì)模型（4），可設(shè)ωi的可能范圍為，通過如下規(guī)則確定：

其中1≤α≤＋∞，通常取1或2，滿足D最小的ΔX為設(shè)計(jì)滿意解.

以式（7）作為決策層的評(píng)價(jià)函數(shù)，建立如圖1所示的交互式?jīng)Q策模型，模型分為決策層和分析層.分析層求解得到局部最優(yōu)解集，提供給決策層評(píng)價(jià)；決策層根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果將對(duì)候選解集的滿意程度反饋給分析層，從而改進(jìn)分析層的局部偏好，繼續(xù)分析.該過程反復(fù)進(jìn)行直至決策者滿意為止.

圖1 交互式?jīng)Q策模型Fig.1 Interactive decision－making model

3 基于物理規(guī)劃的交互式設(shè)計(jì)過程

物理規(guī)劃（physical programming）是一種處理多目標(biāo)優(yōu)化問題的有效方法，已在穩(wěn)健設(shè)計(jì)中得到了應(yīng)用[7、8].文獻(xiàn)[9]給出了物理規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：

式中：nsc為軟偏好函數(shù)的個(gè)數(shù)，f ij為區(qū)間邊界，f imin、f imax、x jmin、x jmax表 示 相 應(yīng) 的 最 小 值 和 最 大值，f pi（f i（x））為第i個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)f i（x）的偏好函數(shù).

利用物理規(guī)劃求解模型（4）時(shí)，將原目標(biāo)函數(shù)分解為n個(gè)容差目標(biāo)和1個(gè)優(yōu)質(zhì)品率目標(biāo).穩(wěn)健設(shè)計(jì)要求容差越大越好，優(yōu)質(zhì)品率越高越好，故模糊穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)共有n＋1個(gè)2－S型軟偏好函數(shù)，nsc＝n＋1.根據(jù)相關(guān)法則和設(shè)計(jì)者經(jīng)驗(yàn)構(gòu)造偏好函數(shù)，基于物理規(guī)劃的模糊穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型為

以各容差的偏好函數(shù)值作為決策層評(píng)價(jià)的對(duì)象，建立基于物理規(guī)劃的交互式?jīng)Q策模型見圖2.

圖2中，各容差的偏好函數(shù)值pi＝f pi/ωi，pui、p imax為p i的理想解和最差解，D p為衡量p i的尺度函數(shù)：

圖2 基于物理規(guī)劃的交互式?jīng)Q策模型Fig.2 Physical programming based interactive decision－making model

具體的交互式?jīng)Q策流程主要步驟及相關(guān)解釋如下：

（1）根據(jù)模糊穩(wěn)健設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，建立模糊穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型.

（2）確定各容差的偏好函數(shù)p i和權(quán)重參數(shù)ωci，建立模糊穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的物理規(guī)劃模型.求解模型獲得初始解，并改進(jìn)偏好函數(shù)pi.

（3）確定容差權(quán)重參數(shù) Δωi、λi，求解模型獲得候選解集.

（4）構(gòu)造尺度函數(shù)D p，對(duì)每個(gè)候選解評(píng)定分值，按照得分進(jìn)行排序，得到初始最優(yōu)方案.如果設(shè)計(jì)者滿意，轉(zhuǎn)到（7）.

（5）調(diào)整Δωi、λi，轉(zhuǎn)到（3）重新計(jì)算.該步驟是在初始最優(yōu)方案附近的局部搜索，是對(duì)原偏好函數(shù)的“微調(diào)”.Δωi代表決策者主觀的不確定性；λi代表對(duì)設(shè)計(jì)精度的要求.如果設(shè)計(jì)者無法提供更精確的偏好信息或?qū)?yōu)化精度表示滿意，該步驟可以略過.

（6）調(diào)整ωci，轉(zhuǎn)到（2）重新計(jì)算；該步驟是對(duì)偏好函數(shù)的“粗調(diào)”過程，即改變?cè)械膬?yōu)化方向，確定犧牲哪些設(shè)計(jì)目標(biāo)而使其他設(shè)計(jì)目標(biāo)得到改進(jìn)，并確定改進(jìn)或犧牲的程度.

（7）結(jié)束.

4 實(shí)例分析

以圖3所示的偏置曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的穩(wěn)健設(shè)計(jì)為例，對(duì)提出的算法進(jìn)行驗(yàn)證.設(shè)各構(gòu)件的長度服從正態(tài)分布，且運(yùn)動(dòng)誤差不大于[ε]＝0.25 mm，而考慮模糊因素影響，允許超過該值的最大量為Δε＝0.0125 mm.該機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)質(zhì)量的特性指標(biāo)y（φ）＝S（φ）－S0（φ），令y（φ）為模糊指標(biāo).S（φ）、S0（φ）、μ珘y0（y（φ））的定義參見文獻(xiàn)[1].求構(gòu)件長度a1、a2及其制造公差.

圖3 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡圖Fig.3 Kinematic diagram of a slider－crank mechanism

設(shè)各桿的制造誤差為±Δa1、±Δa2，f[y（φ）]為y（φ）的分布密度函數(shù).設(shè)計(jì)變量xT＝（x1x2x3x4）＝（珘a1珘a2Δa1Δa2），噪聲因素為zT＝（z1z2）＝（珘a3Δa3），y（φ）為x、z和φ的函數(shù).則該問題的模糊穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型為

式中產(chǎn)品缺陷率αf＝0.01%.

設(shè)（ωci，Δω1，λ1）＝ （0.4，0.15，0.01），確定30組ω1、ω2值，獲得候選解集.根據(jù)分值評(píng)價(jià)結(jié)果，得到ω＝（0.320.68）時(shí)的結(jié)果最優(yōu).如果設(shè)計(jì)者對(duì)此結(jié)果滿意，優(yōu)化過程結(jié)束.若設(shè)計(jì)者對(duì)本輪最優(yōu)解不滿意，可通過調(diào)整權(quán)重控制參數(shù)進(jìn)行重新計(jì)算，直至得到滿意解為止.

根據(jù)約束條件和設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)確定設(shè)計(jì)目標(biāo)的偏好函數(shù)偏好區(qū)間邊界值如表1所示，優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量如表2所示.通過結(jié)果分析可知，當(dāng)ω的控制參數(shù)確定時(shí)，通過折中規(guī)劃可得唯一的最優(yōu)解.ω1取值的減小體現(xiàn)了設(shè)計(jì)者犧牲x4而改進(jìn)其他設(shè)計(jì)參量的主觀意圖.另外，文獻(xiàn)[2]方法實(shí)際上是本文方法ω取（0.50.5）時(shí)的特例.

表2 穩(wěn)健設(shè)計(jì)參數(shù)的設(shè)計(jì)結(jié)果Tab.2 The results of robust design variables

綜上所述，本文方法具有如下特點(diǎn)：

（1）設(shè)計(jì)者通過調(diào)整局部偏好邊界值和ω兩種方式表達(dá)設(shè)計(jì)意圖，有利于在設(shè)計(jì)過程中控制多個(gè)目標(biāo)的改進(jìn)方向.

（2）定義ω的可能性區(qū)間，使優(yōu)化得到的不是一個(gè)Pareto解，而是一個(gè)候選解集，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)設(shè)計(jì)方案的選擇.區(qū)間權(quán)重參數(shù)的控制水平體現(xiàn)了設(shè)計(jì)者對(duì)原決策問題認(rèn)識(shí)的不斷提高和對(duì)目標(biāo)結(jié)果偏好逐漸清晰的過程.

（3）利用式（7）進(jìn)行折中規(guī)劃時(shí)，理想解由ω的可能性區(qū)間確定，因此設(shè)計(jì)者可以通過調(diào)整ω控制參數(shù)的方式改變理想點(diǎn)，從而改變對(duì)各設(shè)計(jì)目標(biāo)的優(yōu)化方向.

（4）使用物理規(guī)劃的難點(diǎn)在于偏好函數(shù)邊界值的確定.本文利用物理規(guī)劃表達(dá)設(shè)計(jì)者的局部偏好，通過折中規(guī)劃與物理規(guī)劃的交互，實(shí)現(xiàn)對(duì)物理規(guī)劃偏好函數(shù)邊界值的改進(jìn).

5 結(jié) 論

本文應(yīng)用物理規(guī)劃構(gòu)造穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的偏好函數(shù)，符合工程穩(wěn)健設(shè)計(jì)的真實(shí)情況.通過對(duì)穩(wěn)健設(shè)計(jì)容差模型的改進(jìn)，不僅表達(dá)了各目標(biāo)函數(shù)間的相對(duì)重要性，而且將設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)引入到穩(wěn)健設(shè)計(jì)過程中，使設(shè)計(jì)者能夠在一定程度上控制優(yōu)化進(jìn)程，提高了設(shè)計(jì)效率，改善了設(shè)計(jì)效果.交互式?jīng)Q策被分為“粗調(diào)”和“微調(diào)”兩個(gè)階段，使設(shè)計(jì)者可以根據(jù)實(shí)際情況制訂偏好改進(jìn)策略，將整個(gè)穩(wěn)健設(shè)計(jì)過程置于一個(gè)更加靈活的框架中.實(shí)例證明，本文提出的方法在機(jī)械系統(tǒng)穩(wěn)健設(shè)計(jì)中的應(yīng)用是有效的.該方法符合穩(wěn)健設(shè)計(jì)理論的本質(zhì)和現(xiàn)代穩(wěn)健設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展方向.

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