張利敏，梅江平，趙學(xué)滿，黃 田

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

一種二平動(dòng)自由度并聯(lián)機(jī)械手動(dòng)力尺度綜合

張利敏，梅江平，趙學(xué)滿，黃 田

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

研究一種二平動(dòng)自由度高速并聯(lián)機(jī)械手的動(dòng)力尺度綜合方法．在建立逆剛體動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上，提出一種基于單軸最大驅(qū)動(dòng)力矩全域最大值最小的動(dòng)力學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，該指標(biāo)可表示為系統(tǒng)尺度和慣性參數(shù)及位形的顯函數(shù)形式，可直接用于觀察奇異位形的出現(xiàn)條件．建立雅可比矩陣奇異值的顯式，提出一組兼顧速度、精度和剛度的傳遞角約束方程，通過(guò)考察奇異值與運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的關(guān)系，可將傳遞角約束方程轉(zhuǎn)化為性能約束方程，同時(shí)配以工作空間/機(jī)構(gòu)尺度等約束條件，利用工程實(shí)例研究性能約束對(duì)尺度參數(shù)和動(dòng)力學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)的影響規(guī)律，由此綜合出在滿足上述約束條件下使得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能最優(yōu)的尺度參數(shù)．

并聯(lián)機(jī)械手；動(dòng)力性能；尺度綜合

目前，高速并聯(lián)機(jī)械手已在電子、食品和醫(yī)藥等領(lǐng)域中得到應(yīng)用，完成對(duì)輕小物料的高速分揀、插裝、封裝和包裝等操作．此類(lèi)機(jī)械手因含外轉(zhuǎn)動(dòng)副驅(qū)動(dòng)、平行四邊形支鏈，且可將驅(qū)動(dòng)器布置在機(jī)架上及將運(yùn)動(dòng)部件做成輕桿，故可獲得很高的速度和加速度，其典型代表包括三平動(dòng)自由度Delta[1]機(jī)械手，以及三平動(dòng)、一轉(zhuǎn)動(dòng)四自由度H4[2]機(jī)械手等．然而，對(duì)于僅需在一個(gè)平面內(nèi)完成高速運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)合，采用二自由度高速并聯(lián)機(jī)械手在成本控制上較Delta和H4機(jī)械手更為適宜，因此同樣具有重要的實(shí)用價(jià)值．

尺度綜合是上述高速并聯(lián)機(jī)械手設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié)．目前采用的主要方法是將雅可比的代數(shù)特征(如條件數(shù)、奇異值、行列式等)作為系統(tǒng)局部性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)[3-8]，且將其全域數(shù)字特性(極值、均值、波動(dòng)量及其組合)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)[9-10]．此外，利用可以定量衡量機(jī)器人功率輸入與輸出有效性的傳動(dòng)性能指標(biāo)[11]也被引入到尺度綜合當(dāng)中，對(duì)于平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，可利用平面?zhèn)鲃?dòng)角來(lái)評(píng)價(jià)傳動(dòng)性能的優(yōu)劣[12]．值得注意的是，上述優(yōu)化指標(biāo)以及雅可比代數(shù)特征的多樣性往往導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果并不唯一．

上述問(wèn)題已引起許多學(xué)者的廣泛關(guān)注．Hao和Merlet[13]以Stewart平臺(tái)為例，采用區(qū)間分析法提出一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺度綜合方法．該方法綜合考慮了精度、剛度、工作空間/機(jī)構(gòu)體積等指標(biāo)的許用區(qū)間，進(jìn)而試圖得到可同時(shí)滿足相關(guān)性能要求的尺度參數(shù)區(qū)間．Liu等[14]利用性能圖譜在若干并聯(lián)機(jī)構(gòu)全域速度、力、伺服剛度傳遞特性與無(wú)量綱尺度參數(shù)間關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出一種尺度參數(shù)的綜合方法．顯然，上述工作的目的就是要在綜合考慮多種性能指標(biāo)的基礎(chǔ)上，解決尺度綜合結(jié)果的不唯一性問(wèn)題．此外，由于機(jī)構(gòu)做高速運(yùn)動(dòng)時(shí)必須計(jì)入運(yùn)動(dòng)構(gòu)件慣性的影響，故還可利用慣性矩陣的代數(shù)特征構(gòu)造相應(yīng)的剛體動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)[15]．然而值得指出的是，同時(shí)兼顧運(yùn)動(dòng)學(xué)和剛體動(dòng)力學(xué)的尺度綜合方法還鮮見(jiàn)報(bào)道．

筆者以一種天津大學(xué)發(fā)明的二平動(dòng)自由度高速并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)——Diamond機(jī)構(gòu)[5]為對(duì)象，在建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)和剛體動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，研究可同時(shí)兼顧運(yùn)動(dòng)學(xué)和剛體動(dòng)力學(xué)的尺度綜合方法．其基本思路是以單軸驅(qū)動(dòng)力矩全域最大值最小為目標(biāo)，通過(guò)考察關(guān)節(jié)空間與操作空間的速度、精度、剛度映射與雅可比奇異值之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出一組滿足上述性能的約束方程，同時(shí)配以工作空間/機(jī)構(gòu)尺度等約束條件實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)．

1 Diamond機(jī)械手剛體動(dòng)力學(xué)模型

如圖1所示，Diamond機(jī)械手由靜平臺(tái)，2條支鏈和動(dòng)平臺(tái)組成，所有運(yùn)動(dòng)副均為轉(zhuǎn)動(dòng)副．各支鏈包含與肘架相連的2組平行四邊形，進(jìn)而使動(dòng)平臺(tái)始終保持與靜平臺(tái)呈固定姿態(tài)．在安裝于靜平臺(tái)且前端帶有行星減速器的伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)下，兩主動(dòng)臂可做獨(dú)立轉(zhuǎn)動(dòng)，進(jìn)而使得動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)做二自由度平動(dòng)．為了降低運(yùn)動(dòng)部件的慣性，機(jī)構(gòu)中的主動(dòng)臂和從動(dòng)臂采用碳纖維，而肘架和動(dòng)平臺(tái)采用鋁合金制成．

圖1 Diamond二平動(dòng)高速并聯(lián)機(jī)械手Fig.1 2-DOF translational parallel manipulator Diamond

考慮到平行四邊形支鏈中的兩平行桿件運(yùn)動(dòng)相同，故可將原系統(tǒng)簡(jiǎn)化為如圖2所示的二自由度平面5桿鉸接機(jī)構(gòu)，其中動(dòng)平臺(tái)被視為質(zhì)點(diǎn)．建立如圖2所示參考坐標(biāo)系O-xy，則動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)O′在該系下的位矢r=(xy )T為

式中：1l、2l、iu和iw分別表示支鏈i中主、從動(dòng)臂桿長(zhǎng)和單位矢量；e表示兩主動(dòng)臂軸線間距與動(dòng)平臺(tái)內(nèi)側(cè)兩鉸點(diǎn)間距之差的一半，上述矢量可表示為

圖2 二平動(dòng)高速并聯(lián)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)模型Fig.2 Kinematic model of 2-DOF translational parallel manipulator

根據(jù)裝配模式，經(jīng)推導(dǎo)可得到該機(jī)構(gòu)的位置逆解模型為

據(jù)此，可確定iu，wi計(jì)算式為

將式(1)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，得

將式(4)兩端同點(diǎn)積iw寫(xiě)成矩陣形式，有

式中J為機(jī)構(gòu)的速度雅可比矩陣，表示為

將式(4)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，得

將速度分析的結(jié)果代入式(6)，得

式中：a為點(diǎn)O′的加速度矢量；θ˙1i為支鏈i中主動(dòng)臂的角加速度，=()T；f(v)可表示為

建立系統(tǒng)逆動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，利用了如下3點(diǎn)假設(shè)：①運(yùn)動(dòng)副為理想的，即無(wú)摩擦引起的能量耗散；②因從動(dòng)臂采用輕質(zhì)細(xì)桿，忽略其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而將其質(zhì)量按靜力等效原則簡(jiǎn)化到兩端；③因動(dòng)平臺(tái)作平動(dòng)，故將末端執(zhí)行器和負(fù)載的質(zhì)量折算到O′．

由虛功原理得

將δθ1=Jδr，=Ja+f(v) 代入式(8)，可得系統(tǒng)的逆動(dòng)力學(xué)方程

2 Diamond機(jī)械手動(dòng)力尺度優(yōu)化

2.1 工作空間及設(shè)計(jì)變量

如圖3所示，當(dāng)給定H、l1、l2和e后，點(diǎn)O′的可達(dá)空間W為主動(dòng)臂到達(dá)上、下角極限時(shí)，以點(diǎn)Bi′和為圓心，以l2為半徑四段圓弧所圍區(qū)域．考慮到機(jī)械手做“抓放”操作(pick-and-place)時(shí)，一般在一寬/高比較大的矩形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，為此在W內(nèi)剪裁出一個(gè)寬為b，高為h的矩形，其頂邊與W的上邊界切于點(diǎn)P1和P2，而下角點(diǎn)Q1、Q2恰在W的下邊界上．在此定義該矩形為機(jī)械手的設(shè)計(jì)空間Wt．考慮到工程實(shí)際需求，在此取0.15≤hb ≤0.2．

圖3 機(jī)構(gòu)工作空間Fig.3 Workspace of 2-DOF parallel robot

為了便于討論尺度參數(shù)對(duì)性能指標(biāo)的影響，用1l對(duì)e、H和2l歸一化處理，即

2.2 動(dòng)力學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

以往研究表明，加、減速階段的慣性力矩在整個(gè)負(fù)載力矩中占有主導(dǎo)地位．因此，在計(jì)算峰值力矩時(shí)可略去式(9)中的重力項(xiàng)與哥氏力項(xiàng)，而將系統(tǒng)的逆動(dòng)力學(xué)方程近似表示為

據(jù)此，Diamond機(jī)械手的單軸驅(qū)動(dòng)力矩為

式中iG表示G的第i行的行向量，且

利用矩陣奇異值分解原理，易證實(shí)現(xiàn)點(diǎn)O′單位加速度所需的機(jī)械手單軸最大驅(qū)動(dòng)力矩為

由式(12)顯見(jiàn)，Diamond機(jī)械手的單軸最大驅(qū)動(dòng)力矩為尺度參數(shù)、慣性參數(shù)及點(diǎn)O′位置的函數(shù)；若α→0或βi→0或二者同時(shí)成立，都會(huì)因機(jī)械手趨向直接或間接奇異，導(dǎo)致τmaxi→∞．因此，考慮到結(jié)構(gòu)軸對(duì)稱性，可將任一τmaxi的全域最大值最小作為動(dòng)力學(xué)性能的優(yōu)化目標(biāo)，即

式中：r表示點(diǎn)O′的位置矢量；x=(λeλHλl)表示設(shè)計(jì)參數(shù)的集合．

2.3 約束條件

在確定性能評(píng)價(jià)指標(biāo)后，還需要考慮機(jī)械手受到的尺度約束和性能約束．

2.3.1 尺度約束

考慮到在機(jī)架上應(yīng)留有足夠空間安裝2個(gè)伺服電機(jī)，因此

此外，為了在保證性能的同時(shí)使機(jī)械手相對(duì)于給定的工作空間盡量緊湊，選定工作空間與機(jī)構(gòu)尺度比為

2.3.2 性能約束

速度、精度和剛度是評(píng)價(jià)機(jī)械手性能的重要指標(biāo)，因此在設(shè)計(jì)過(guò)程中將作為性能約束加以考慮．通過(guò)考察關(guān)節(jié)空間與操作空間的速度、精度、剛度映射可見(jiàn)，剛度與精度性能最終反應(yīng)在min()σJ上是一致的，為提高剛度與精度性能應(yīng)使得雅可比矩陣的最小奇異值最大，即

而速度與精度性能相互矛盾，若使點(diǎn)O′運(yùn)動(dòng)速度最快應(yīng)使得雅可比矩陣的最大奇異值最小，即

對(duì)于本文研究的二自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，易得出速度雅可比矩陣的奇異值顯示表達(dá)，即

由式(18)可見(jiàn)，速度雅可比矩陣奇異值是機(jī)構(gòu)傳動(dòng)角α和βi的顯函數(shù)，若α→0或βi→0，從而產(chǎn)生直接或間接奇異，導(dǎo)致σmin(J)→0或σmax(J)→∞，此時(shí)速度特性或精度特性將喪失．因此，若兼顧速度與精度特性，則需給定傳動(dòng)角α和βi的取值范圍，即α∈[θT,90°]，βi∈[θF,90°].

故可構(gòu)造如下性能約束方程

3 算例與討論

通過(guò)一個(gè)算例來(lái)揭示出性能約束對(duì)尺度參數(shù)，及尺度參數(shù)對(duì)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)的影響規(guī)律，并以此為依據(jù)綜合出一組可獲較好綜合性能的尺度參數(shù)．

給定Diamond高速并聯(lián)機(jī)械手的工作空間為寬b=800 mm ，高h(yuǎn)=120 mm的矩形．注意到系統(tǒng)中主動(dòng)臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和從動(dòng)臂的等效質(zhì)量為桿長(zhǎng)的函數(shù)，故設(shè)主動(dòng)臂中間段為等截面，并令μ1、μ2分別為主動(dòng)臂和從動(dòng)臂中間段單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，md為主動(dòng)臂遠(yuǎn)軸端及肘架的質(zhì)量和．由此得到的相關(guān)慣性參數(shù)與桿長(zhǎng)的關(guān)系如表1和表2所示，其中md=0.42 kg，μ1=0.848 g/mm ，μ2=0.0674 g/mm．

表1 折算到主動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Tab.1 Equivalent moments of inertia of active proximal link (kg·m2)

表2 動(dòng)平臺(tái)集中質(zhì)量Tab.2 Equivalent mass of moving platform kg

圖4示出了eλ為0.2、0.25和0.3時(shí)，Gτ隨Hλ和lλ的變化規(guī)律．由圖可見(jiàn)，Gτ隨eλ地增大單調(diào)減?。畬?duì)于給定的eλ，Gτ隨著Hλ和lλ地增大逐漸增大，且呈對(duì)折分布，即存在一組呈近似線性的Hλ、lλ偶對(duì)，使得Gτ取得局部最小值．

圖5和圖6示出了給定λe=0.3時(shí)，σmin和σmax隨λH和λl的變化規(guī)律．由圖可見(jiàn)，當(dāng)取bl=0.6、0.7和0.8，bu=1.4、1.7和2.0時(shí)，將形成不同的約束面，由此限制了λH和λl的取值范圍．由圖5可見(jiàn)，σmin隨λH增加單調(diào)增加，且隨λl增加單調(diào)減少．當(dāng)增大bl，即隨著對(duì)精度要求的提高，λl和λH的可行域均減小，但前者首先達(dá)到可行域邊界．又如圖6可見(jiàn)，σmax隨λH和λl的分布與τG隨λH和λl的變化相似，亦呈對(duì)折曲面狀．當(dāng)減小bu，即隨著對(duì)速度要求的提高，λl和λH的可行域均減小，但后者首先達(dá)到可行域邊界．顯然，若給定的性能約束使得λH和λl的可行域?yàn)榭眨瑒t不存在滿足給定性能約束的尺度參數(shù)解答．

圖7示出了λe和[blbu]對(duì)τG最優(yōu)值的影響規(guī)律．由圖可見(jiàn)，在λH和λl可行域中的解與λe的大小及區(qū)間[blbu]的大小和位置有關(guān)．主要表現(xiàn)為區(qū)間[blbu]右移時(shí)，將收斂到λl的可行域邊界；當(dāng)[blbu]左移時(shí)，將收斂到λH的可行域邊界．此外，縮小區(qū)間范圍及增大λe都將縮小λH和λl的可行域．例如，當(dāng)λe=0.7時(shí)，僅在區(qū)間[0.71.6]上存在唯一λH和λl偶對(duì)使得τG取得極小值．

為了進(jìn)一步說(shuō)明優(yōu)化設(shè)計(jì)流程，選定性能約束區(qū)間[0.6 1.5]．參見(jiàn)圖7，當(dāng)將λe增大到λe=0.6時(shí)有=0.3914 N·m ，且收斂于λH的可行域邊界．由圖8示出的τG隨λH和λl的變化規(guī)律可見(jiàn)，對(duì)應(yīng)=0.3914 N·m 的無(wú)量綱尺度偶對(duì)為λt=2.56和λH=1.97．據(jù)此，經(jīng)比例換算和圓整可得到一組尺度參數(shù)：e*=150 mm,=250 mm,=640 mm,H*= 493 mm．

由以上算例可見(jiàn)，在滿足速度、精度和剛度約束條件下，所優(yōu)化的尺度參數(shù)可使主動(dòng)關(guān)節(jié)力矩達(dá)到最小值，因此可指導(dǎo)伺服電機(jī)的選用，以便達(dá)到降低能耗的目的．

圖4 τG隨eλ、Hλ和lλ的變化規(guī)律Fig.4 Variation of τGversuseλ，Hλandlλ

圖5 minσmin隨λH、λl和bl的變化規(guī)律(λe=0.3)Fig.5 Variation of minσminversusλH,λlandbl(λe=0.3)

圖6 maxσmax隨λH、λl和bu的變化規(guī)律(λe=0.3)Fig.6 Variation of maxσmaxversusλH,λlandbu(λe=0.3)

圖7 隨λe和性能約束[blbu]的變化規(guī)律Fig.7 Variation ofversus λeand [blbu]

圖8 τG隨lλ和Hλ的變化規(guī)律Fig.8 Variation of τGversuslλandHλ

4 結(jié) 論

(1)Diamond機(jī)械手的單軸最大驅(qū)動(dòng)力矩可表示成系尺度參數(shù)、慣性參數(shù)、主動(dòng)臂與從動(dòng)臂間夾角，及從動(dòng)臂彼此間夾角的顯函數(shù)，出現(xiàn)直接或間接奇異位形時(shí)均將導(dǎo)致單軸驅(qū)動(dòng)力矩趨于無(wú)窮，因此將其全域最大值Gτ最小作為系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)是合理的．對(duì)于給定的eλ，存在一組呈近似線性的Hλ、lλ偶對(duì)，使得Gτ取得局部最小值．

(2)通過(guò)速度雅可比矩陣最大及最小奇異值的顯式表達(dá)，揭示傳動(dòng)角的取值范圍可影響機(jī)構(gòu)速度與精度、剛度特性，據(jù)此提出一組兼顧速度與精度特性的性能約束，并在該約束條件下，得到一組使得系統(tǒng)全域動(dòng)力學(xué)性能最優(yōu)的尺度參數(shù)．

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Dynamic Dimensional Synthesis of a 2-DOF Translational Parallel Manipulator for Pick-and-Place Operations

ZHANG Li-min，MEI Jiang-ping，ZHAO Xue-man，HUANG Tian
(School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

An approach was proposed for the dynamic dimensional synthesis of a 2-DOF translational parallel manipulator for pick-and-place operations. On the basis of rigid body dynamic formulation，a global dynamic performance index was proposed to minimize the maximum driving torque of a single active joint. The proposed index can be explicitly expressed in terms of dimensional and inertial parameters as well as system configurations，allowing the singular configurations to be easily found. By establishing the explicit singular value of Jacobian matrix，a set of the transmission angle constraints taking into account mapping characteristics of speed，accuracy and rigidity were proposed．Then the transmission angle constraints were transformed into a set of performance constraints by investigating the relationship between singular value and kinematics performance．Simultaneously，workspace/machine volume ratio was taken into account．Through an example，the effects of the performance constraints on the feasible domains of design variables and the performance index were discussed in depth．A set of optimized dimensional parameters were obtained for achieving a comprehensive performance throughout the entire workspace.

parallel manipulator；dynamic performance；dimensional synthesis

TH122

A

0493-2137(2010)08-0661-06

2009-03-26；

2009-06-02.

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2007AA04Z245)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50675151)；教育部博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目(20060056018).

張利敏（1983— ），男，博士研究生，tju.zlmwan@yahoo.com.cn.

黃 田，htiantju@public.tptp.tj.cn.