蔣科堅 祝長生

浙江大學(xué),杭州,310027

0 引言

以主動電磁軸承為代表的電磁懸浮系統(tǒng),其魅力不僅在于它是一種無摩擦的支承裝置,更重要的是其動力特性可通過控制策略進行在線調(diào)節(jié)優(yōu)化。前者決定了主動電磁懸浮能夠應(yīng)用在高速場合;后者使得可以通過控制策略的設(shè)計,優(yōu)化主動電磁懸浮在不同頻段的支承特性,調(diào)節(jié)支承剛度和阻尼,實現(xiàn)對振動的主動控制。

主動電磁懸浮系統(tǒng)的支承特性研究大多是以等效剛度和等效阻尼為基礎(chǔ)展開的。但是,電磁懸浮系統(tǒng)支承的等效剛度和阻尼不僅與結(jié)構(gòu)尺寸有關(guān),而且還受到其控制器所采用的控制策略的影響。只有在已知控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的前提下,才可能對支承的等效剛度和阻尼進行理論計算。但是,目前在電磁懸浮系統(tǒng)中各種新型的智能控制策略都得到了成功的應(yīng)用,這些控制策略大都無法歸結(jié)出相應(yīng)的傳遞函數(shù),造成無法通過理論計算獲知系統(tǒng)支承的等效剛度和阻尼,從而難以深入地研究主動電磁懸浮系統(tǒng)的動力特性。因此,在未知系統(tǒng)傳遞函數(shù)的情況下,如何確定支承的等效剛度和阻尼是主動電磁懸浮系統(tǒng)動力學(xué)研究中必須解決的一個關(guān)鍵問題。

早在1980年,Haberman[1]就對電磁軸承的剛度作了研究,并提出了“浴盆”形復(fù)剛度曲線。此后,多數(shù)研究者均以此為基礎(chǔ)分析主動電磁軸承系統(tǒng)的動力特性。Humphris等[2]以主動電磁軸承系統(tǒng)的傳遞函數(shù)推導(dǎo)出了電磁軸承的等效剛度和阻尼的計算公式。在國內(nèi),汪希平[3]、曹潔[4]較早地對主動電磁軸承的等效剛度和阻尼特性進行了理論分析。趙雷等[5]分析了控制環(huán)節(jié)各參數(shù)對主動電磁軸承的剛度特性的影響。胡業(yè)發(fā)等[6]基于電磁力分析了電磁軸承的剛度和阻尼特性。吳華春等[7]就濾波、滯后、衰減等因素對電磁軸承剛度的影響進行了分析。楊作興等[8]提出了對主動電磁軸承復(fù)剛度的測試方法,但沒有涉及在電磁軸承轉(zhuǎn)子動力學(xué)研究中使用更多的等效剛度和阻尼的測試。目前文獻對等效剛度和阻尼的分析研究大多是在已知傳遞函數(shù)的前提下進行的。

本文首先分析了主動電磁懸浮系統(tǒng)支承的等效剛度和阻尼的理論計算方法,然后提出一種不依賴系統(tǒng)傳遞函數(shù)的等效剛度和阻尼的在線測試方法,并進行了實驗,取得了與理論分析十分相近的結(jié)果。

1 等效剛度和等效阻尼的理論表達式

主動電磁懸浮系統(tǒng)不管是采用什么樣的控制策略,最終表現(xiàn)出來的支承特性可以用支承的剛度和阻尼來表示。對于一個單自由度的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng),系統(tǒng)的運動方程為

式中,F為物體所受到的外激勵力;m為質(zhì)量;k、c分別為系統(tǒng)的剛度和阻尼系數(shù)。

將式(1)進行拉普拉斯變換,可得其頻率特性方程為

同樣考慮一個單自由度的主動電磁懸浮系統(tǒng),如果不考慮其他外阻尼的影響,在線性條件下其運動方程為

式中,fAMB為主動電磁懸浮系統(tǒng)產(chǎn)生的電磁力;kx、ki分別為系統(tǒng)的位移剛度和電流剛度系數(shù);i為控制電流。

如果將控制電流與懸浮位移之間的關(guān)系表示為傳遞函數(shù)的形式,即 I(s)=G(s)X(s)。G(s)為主動電磁懸浮控制系統(tǒng)整體的傳遞函數(shù),一般是位移傳感器、輸入AD、控制器算法、輸出DA、功率放大器等各個控制環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的總和。將此式代入式(3)并經(jīng)拉普拉斯變換,其頻率特性方程形式為

比較式(2)、式(4),容易得出電磁懸浮系統(tǒng)相對于質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的等效剛度K e和等效阻尼C e的表達式：

式中,Re(G(jω))、Im(G(jω))分別為控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的實部和虛部。

顯然,如果已知控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的表達式,那么就能夠容易地對主動電磁懸浮系統(tǒng)的等效剛度K e和阻尼C e進行理論計算。但事實上由于許多控制系統(tǒng)無法歸結(jié)出一個傳遞函數(shù)表達式,因此就難以對其等效剛度和阻尼特性進行理論分析。為此,本文提出一種不依賴系統(tǒng)傳遞函數(shù)的等效剛度和阻尼的在線測定方法。

2 等效剛度和等效阻尼在線測量

圖1所示為無外阻尼的單自由度主動電磁懸浮控制結(jié)構(gòu)圖。F(t)為外激勵力,X(t)為轉(zhuǎn)子相應(yīng)的位移響應(yīng)。為討論方便,設(shè)參考信號R=0。根據(jù)模型等效原則,圖1可簡化為圖2所示的等效結(jié)構(gòu)。

圖2 電磁懸浮控制結(jié)構(gòu)簡化

由式(4)、式(5)可知,求解電磁懸浮系統(tǒng)的等效剛度和阻尼值,實質(zhì)上就是求解圖2中k i G(s)-k x部分的傳遞函數(shù)特性。系統(tǒng)的等效剛度就等于kiG(s)-kx的實部,其虛部除以ω就是等效阻尼。很自然,最直觀的想法是通過測試G(s)的傳遞函數(shù)特性,從而換算得到系統(tǒng)的等效剛度和阻尼。雖然這樣的想法在理論和仿真中是可行的,但由于需要控制系統(tǒng)脫離電磁懸浮系統(tǒng)單獨進行測試,實際測試難度較大。

從圖2可知,外激勵力與位移響應(yīng)之比具有剛度的量綱,被稱為復(fù)剛度或動剛度,用K v表示為

復(fù)剛度K v通常用復(fù)數(shù)形式或幅值相角形式表示,描述在不同頻率下,外激勵力與位移響應(yīng)在復(fù)平面上的幅值關(guān)系和相位關(guān)系。|K v|隨頻率變化的關(guān)系就是前面講到的“浴盆”曲線。由式(6)可知,復(fù)剛度實質(zhì)上是從外力到位移響應(yīng)閉環(huán)頻率特性的倒數(shù)。閉環(huán)頻率特性可以通過實驗直接測得,文獻[3,8]就是基于這樣的原理提出實驗測量復(fù)剛度的方法。與復(fù)剛度含義不同,等效剛度和等效阻尼是將電磁懸浮支承等效成傳統(tǒng)的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)后所對應(yīng)的剛度的阻尼值。復(fù)剛度和等效剛度及阻尼都是描述系統(tǒng)剛度特性的量,只是描述的角度不同,因此應(yīng)用領(lǐng)域也不同。在電磁軸承轉(zhuǎn)子動力學(xué)研究中通常用等效剛度和等效阻尼描述軸承的支承特性。

在控制系統(tǒng)的分析中,常見情況是知道系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,來求解系統(tǒng)閉環(huán)后的頻率特性。本文的思路正好相反,試圖通過先對 F(s)和X(s)進行閉環(huán)頻域測試,然后反向推算其中k i G(s)-k x部分的開環(huán)特性,得到系統(tǒng)的等效剛度和等效阻尼。

首先,分析F(s)到X(s)閉環(huán)頻率特性和等效剛度阻尼的關(guān)系,整理式(4)和式(6)得

根據(jù)式(7),可求得kiG(s)-kx的開環(huán)頻域特性。由于從外力到位移響應(yīng)閉環(huán)頻率特性的倒數(shù)就是復(fù)剛度。因此,復(fù)剛度的實部中加上 mω2即為kiG(s)-kx的實部,就是主動電磁懸浮系統(tǒng)在ω頻率下的等效剛度值;復(fù)剛度的虛部除以 ω就是等效阻尼。在不同ω的外激振下,可以得到一組閉環(huán)頻率特性值,進而計算出一系列不同頻率下的等效剛度和阻尼值。

理論上講,當(dāng)線性系統(tǒng)輸入正弦激振信號時,其輸出也為正弦。但在實際系統(tǒng)中,由于被測系統(tǒng)的非線性和隨機干擾,其輸出信號不可避免地混雜有其他頻率的雜波干擾。如何從輸出信號中提取相應(yīng)的輸入響應(yīng)是測量等效剛度和阻尼的關(guān)鍵。設(shè)在輸入信號U r(t)=U sinω0t的作用下,系統(tǒng)的輸出信號Uc(t)為

式中,A0為被檢信號中直流分量;A sin(ω0t+θ0)為基波分量;u(t)為噪聲分量;Ansin(nω0t+θn)為各階高次諧波分量。

式(8)中,只有基波成分是激振響應(yīng)成分。為了從這些混雜信號中提取我們所需要的頻率成分,采用了信號解調(diào)的原理。首先在輸出信號U c(t)上分別乘以一個與Ur(t)頻率相同的單位幅值的正弦和余弦信號sinω0 t、cosω0t,然后在基波整倍數(shù)周期內(nèi)積分并求平均值：

由于正弦函數(shù)的正交性和相關(guān)性原理,故當(dāng)N值取較大時,式(9)可以寫為

把式(10)中的X表示為ω的函數(shù)形式：

同樣地

這樣,就可以從被測信號中提取出基波分量。在實際應(yīng)用中,為了增強抗干擾性能,一般取N ＞5。

為了測試電磁懸浮系統(tǒng)的等效剛度和阻尼,必須對系統(tǒng)施加一定的外激振力。施加激振一般有兩種途徑。其一,采用專門的激振設(shè)備,此方法可以完全把被測系統(tǒng)作為“黑箱”處理,即在無需知道被測系統(tǒng)任何參數(shù)的情況下測得系統(tǒng)的剛度和阻尼,該方法甚至適用于電磁懸浮系統(tǒng)以外的剛度和阻尼測試對象。但對于電磁懸浮系統(tǒng),必須采用非接觸式的激振力,否則激振器會對主動電磁懸浮系統(tǒng)動力特性產(chǎn)生明顯影響。因此,可以利用電磁懸浮系統(tǒng)本身的特點,通過在勵磁線圈中疊加正弦電流,從而產(chǎn)生正弦激振力。此方法簡單,不附加額外設(shè)備,對被測對象的附加影響小,但需要知道電磁線圈的電流系數(shù)k i才能完成電流到激振力的換算。

3 PID控制的等效剛度和阻尼的理論計算

為了對比實驗結(jié)果與理論計算結(jié)果,選擇標準的PID控制器作為算例,分析控制參數(shù)對電磁懸浮支承特性的影響?？刂破鱾鬟f函數(shù)為K p+K i/s+K d s,其中 K p、K i、K d 分別為控制器中的PID參數(shù)。設(shè)功率放大器倍數(shù)為Kw,位移傳感器轉(zhuǎn)換倍率為K c,系統(tǒng)的整體滯后時間常數(shù)為T,則整個控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)可表示為

根據(jù)式(5),PID控制系統(tǒng)的等效剛度和阻尼表達式為

將本文的實驗數(shù)據(jù)代入式(14)、式(15),K w=1A/V,K c=7083V/m,k i=100 N/A,k x=0.2MN/m,T=0.4ms,頻率為 1～ 1000Hz。PID控制器K p、K i、K d參數(shù)對主動電磁懸浮等效剛度和阻尼影響的計算結(jié)果如圖3～圖8所示。

從圖3可知,在100Hz以下的頻率較低區(qū)域,主動電磁懸浮等效剛度隨比例參數(shù)Kp值改變的變化較大,而隨頻率的變化基本不變。對照式(14),由于系統(tǒng)慣性滯后時間T非常小(10-4數(shù)量級),在低頻區(qū)K i T項和K d Tω2項都很小,1+ω2T2項可近似等于1。因此在頻率較低時,Kp項成為等效剛度的主要決定因素。隨著頻率逐漸增大,K d Tω2項的作用漸漸增大,使等效剛度隨頻率ω逐漸增大。K p值在PID控制中對等效阻尼的影響如圖4所示,對照式(15),由于系統(tǒng)慣性滯后時間T非常小,使得K p變化對等效阻尼在整個頻率區(qū)域的影響都很小。在100Hz以下的低頻區(qū)域,等效阻尼基本保持恒值。隨著頻率逐漸增大,分母項1+ω2T2隨之增大,導(dǎo)致等效阻尼在高頻區(qū)域逐漸減小。

圖3 K p值在PID控制中對等效剛度的影響

圖4 K p值在PID控制中對等效阻尼的影響

從圖5可知,在100Hz以下的低頻區(qū)域,微分參數(shù)K d對等效剛度無明顯影響。在高頻區(qū)域,由于K d Tω2項的作用,K d對等效剛度影響逐漸增大。如圖6中的Kd對等效阻尼有明顯的影響,在整個頻率范圍內(nèi),等效阻尼都起決定作用。在頻率較高時,由于分母項1+ω2T2的影響,K d對等效阻尼的影響稍稍減弱。

從圖7所示可知,積分參數(shù)K i對等效剛度幾乎無影響。圖8顯示,K i會使得等效阻尼在低頻區(qū)域大幅減小。Ki=0時,低頻區(qū)的等效阻尼基本保持恒值。K i越大,等效阻尼在低頻區(qū)的減小幅度也越大。

圖5 K d值在PID控制中對等效剛度的影響

圖6 K d值在PID控制中對等效阻尼的影響

圖7 K i值在PID控制中對等效剛度的影響

圖8 K i值在PID控制中對等效阻尼的影響

4 剛度阻尼的在線識別實驗

4.1 實驗裝置

實驗在圖9a所示的杠桿式單自由度主動電磁懸浮實驗臺上進行。杠桿的一端與鉸鏈相連,另一端由主動電磁懸浮支承。由于鉸鏈支承和杠桿的剛度遠遠大于電磁懸浮系統(tǒng)所提供的剛度,所以可以將杠桿機構(gòu)等效成圖9b所示的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng),系統(tǒng)的等效質(zhì)量為M=(l/a)2m。實驗采用標準的離散PID控制,采樣頻率為10k Hz,測試頻率范圍為1～1000Hz。

圖9 杠桿式單自由度主動電磁懸浮系統(tǒng)實驗臺

4.2 PID參數(shù)對剛度和阻尼影響的實驗

圖10 ～圖15所示是在激勵力的振幅為18.75N,Kp分別選取 0.8、1.0、1.2,Ki分別選取0、0.0005、0.0010 、0.0050、0.0100,K d 分別選取20、40、60的條件下,在線識別出的主動電磁懸浮系統(tǒng)的等效剛度和等效阻尼隨頻率的變化曲線。

把圖10～圖15分別與圖3～圖8對應(yīng)比較,可以得到如下結(jié)論：

(1)對于等效剛度,實驗結(jié)果與理論結(jié)果在低頻區(qū)和中頻區(qū)頗為一致,數(shù)值非常接近。但頻率超過500Hz后,實驗數(shù)據(jù)與理論計算值的誤差逐漸增大,在圖12中導(dǎo)致微分參數(shù)K d在高頻區(qū)域?qū)Φ刃偠鹊挠绊懖幻黠@。

圖10 K p值在PID控制中對等效剛度實際影響測試

圖11 K p值在PID控制中對等效阻尼實際影響測試

圖12 K d值在PID控制中對等效剛度實際影響測試

圖13 K d值在PID控制中對等效阻尼實際影響測試

圖14 K i值在PID控制中對等效剛度實際影響測試

圖15 K i值在PID控制中對等效阻尼實際影響測試

(2)對于等效阻尼,同樣在低頻區(qū)和中頻區(qū)實驗識別結(jié)果與理論結(jié)果有很好的一致性。隨著頻率升高,兩種結(jié)果的等效阻尼都在100Hz后開始逐漸減小。但實驗識別出的等效阻尼值減小比理論計算值下降得更快,并且在300Hz左右又觸底反彈,形成一個V形谷底。谷底反彈后,在600Hz后又與理論計算值基本一致。為了分析形成谷底的原因,我們計算了實驗懸浮結(jié)構(gòu)的固有頻率。懸浮杠桿結(jié)構(gòu)的固有頻率ω0=264.6Hz,這個值與實驗測得的谷底頻率基本一致。實驗中出現(xiàn)V形谷底的原因,是由于在固有頻率點引起了系統(tǒng)的共振,加劇了振動的幅度,導(dǎo)致等效剛度K e和等效阻尼C e的識別值減小。從圖10～圖15中可以觀察到,無論是等效剛度還是等效阻尼,在固有頻率點都出現(xiàn)了V形拐點,并且隨著PID參數(shù)的不同,形成的谷底深度也不同。

4.3 激勵振幅對測試效果的影響

如果是一個理想的線性系統(tǒng),激振力的大小不會對等效剛度及阻尼的識別結(jié)果產(chǎn)生影響。但是,實際系統(tǒng)往往具有非線性,對于本實驗而言,振幅選擇過小,同頻的位移振動難以檢出,識別出的剛度和阻尼的誤差較大。振幅選擇過大,會影響到主動電磁懸浮的電流線性化和位移線性化條件,同樣會造成誤差。為了測試不同大小的激振力對等效剛度和阻尼識別效果的影響,實驗分別在6.25N、12.50N、18.75N、25.00N、31.25N、37.50N 6種激勵力振幅下進行了相關(guān)的測試。

在不同激勵力下,1～1000Hz頻率范圍的等效剛度和阻尼變化測試結(jié)果如圖16、圖17所示。在中低頻區(qū)域,激振力大小對等效剛度和阻尼的識別結(jié)果基本沒有影響。值得注意的是,在系統(tǒng)的固有頻率點,激振力越大,形成的V形谷底越深。

圖16 不同激勵力對等效剛度影響的測試結(jié)果

圖17 不同激勵力對等效阻尼影響的測試結(jié)果

根據(jù)實驗經(jīng)驗,當(dāng)主動電磁懸浮控制系統(tǒng)能很好平緩低頻的小幅激勵時,會使得同頻位移信號難以檢出,導(dǎo)致識別結(jié)果不穩(wěn)定。因此對于激振幅度的選擇,在測量10Hz以下的低頻剛度阻尼時,需要增大激振力幅度,使振動響應(yīng)達到可測的水平。對于10Hz以上的頻率,激振力幅度的可選范圍無具體限制,只要能穩(wěn)定地保持懸浮狀態(tài)且振動尚可,均能正常測得系統(tǒng)的等效剛度和阻尼值。

5 結(jié)論

本文提出的主動電磁懸浮系統(tǒng)支承特性測試方案,能夠在線地實時檢測主動電磁懸浮系統(tǒng)在不同頻率下的等效剛度和等效阻尼,并能更真實地反映等效剛度和阻尼的實際變化情況。雖然,為了與理論計算比較,實驗中仍采用傳統(tǒng)的PID控制算法,但是很顯然該測試方法與電磁懸浮的控制策略無關(guān)。

實驗結(jié)果表明,本文提出的主動電磁懸浮系統(tǒng)的支承剛度和阻尼的測試方案是可行的,測試結(jié)果無論從數(shù)值和變化趨勢都與理論分析結(jié)果相一致,能夠方便地在未知控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)情況下對主動電磁懸浮系統(tǒng)的支承等效剛度和阻尼進行測定,其結(jié)果可以作為主動電磁懸浮系統(tǒng)動力學(xué)特性研究的依據(jù),具有較強的實用意義。

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