敖銀輝

廣東工業(yè)大學(xué),廣州,510090

0 引言

與串聯(lián)機(jī)構(gòu)類似,并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置控制可分為開環(huán)和閉環(huán)控制。開環(huán)控制一般是根據(jù)末端執(zhí)行器的軌跡要求基于機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析得到主動鉸需輸出的位置,該方法簡單易用,但其精度難以保證[1]。因此對并聯(lián)機(jī)構(gòu),通常采用基于位置和速度反饋的閉環(huán)控制方法,其中基于關(guān)節(jié)的反饋誤差進(jìn)行簡單PID調(diào)節(jié)的獨(dú)立關(guān)節(jié)控制方法,不需要針對具體的控制對象,計(jì)算比較簡單,但控制精度不高、適應(yīng)性差、抗干擾能力不強(qiáng)[2],因此有必要研究以動力學(xué)模型為基礎(chǔ)的、可不斷調(diào)節(jié)模型參數(shù)的自適應(yīng)控制方法,這也是并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的一個(gè)關(guān)鍵問題[3]。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模時(shí)難以獲得以主動鉸為變量顯式表達(dá)的動力學(xué)方程,故只能在任務(wù)空間里實(shí)施動力學(xué)控制,常需要進(jìn)行正向運(yùn)動學(xué)求解,但是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的前向運(yùn)動學(xué)求解困難,對冗余鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)尤其如此。文獻(xiàn)[4]采用了簡化的動力學(xué)模型控制冗余驅(qū)動的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[5]提出了基于最小跟蹤誤差的自適應(yīng)控制器,使用了由Slotin和Li提出的前饋控制結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)控制器,但是需要利用實(shí)際的鉸坐標(biāo)速度來計(jì)算逆動力學(xué)模型,而文獻(xiàn)[5-6]中的自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu)是基于串聯(lián)機(jī)構(gòu)的,沒有考慮到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)。在文獻(xiàn)[4]基礎(chǔ)上,本文提出一種基于計(jì)算力矩結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)控制器,該控制方法同時(shí)具有前饋控制的特點(diǎn),不需要在線計(jì)算逆動力學(xué)問題,另外算法考慮到并聯(lián)機(jī)構(gòu)正向運(yùn)動學(xué)的求解難題,對反饋補(bǔ)償項(xiàng)進(jìn)行了修正,以回避求解正向運(yùn)動學(xué)問題。

1 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型

圖1所示的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)可視為由兩條支鏈所構(gòu)成,兩條支鏈分別由桿件 li、ri(i=1,2)組成。其中點(diǎn)C(x,y)為此機(jī)構(gòu)的末端執(zhí)行器安裝位置。該機(jī)構(gòu)自由度為2,因此在固定位置安裝2個(gè)驅(qū)動電機(jī)(圖1中A1、A2),B1、B2關(guān)節(jié)是被動鉸鏈。將機(jī)構(gòu)從鉸鏈C處斷開,形成兩條完全相同的兩桿串聯(lián)機(jī)構(gòu) 。定義 ：θi=(ai,bi)T,τi=(τAi,τBi)T,i=1,2,τi是關(guān)節(jié) Ai、Bi處的力矩矢量 ,因此可使用拉格朗日方程對兩條相同的串聯(lián)支鏈建立動力學(xué)方程：

圖1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)

式中,Mi、Ci、Ni分別為相應(yīng)串聯(lián)支鏈對應(yīng)的質(zhì)量矩陣、阻尼系數(shù)矩陣和與重量有關(guān)的矩陣。

根據(jù)變分原理,所有約束力與對應(yīng)變分的乘積之和為零,即

此方程中存在未知的被動關(guān)節(jié)變量b1、b2,不便于實(shí)施控制,因此可轉(zhuǎn)換到任務(wù)空間q e=(x,y)T內(nèi),表示為

式中,Ji(i=1,2)為支鏈的鉸坐標(biāo)θi到任務(wù)坐標(biāo)qe的雅可比矩陣,(Ji)-T表示Ji逆矩陣的轉(zhuǎn)置;τa為主動力矩矢量,τa=(τa1,τa2)T。

如對圖2所示的冗余鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)建模,只需將三條支鏈的動力學(xué)方程用變分原理復(fù)合起來即得：

J-Tv的任務(wù)是將主動鉸空間q a=(a1,a2,a3)T的力矩輸入變換到任務(wù)空間內(nèi)的力輸入F=(Fx,Fy)T。仿照串聯(lián)機(jī)構(gòu)的映射關(guān)系,可以將J v定義為冗余鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣。

圖2 冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)

2 自適應(yīng)控制

式(1)中的質(zhì)量陣M、阻尼陣C等包含大量的未知參數(shù)。這些參數(shù)與機(jī)構(gòu)的尺寸、摩擦等相關(guān)。有些參數(shù)可以通過實(shí)際測量、計(jì)算或系統(tǒng)辨識得到,但其與實(shí)際值之間存在誤差,由此確定的驅(qū)動力矩與實(shí)際需要不符,將產(chǎn)生跟蹤誤差。自適應(yīng)控制器能實(shí)時(shí)生成驅(qū)動力矩,并根據(jù)誤差對系統(tǒng)未知參數(shù)進(jìn)行在線更新,從而使初始系統(tǒng)參數(shù)不斷接近其實(shí)際值而達(dá)到減小誤差的目的。

式(1)可改寫成關(guān)于參數(shù)P的線性函數(shù)：

式中,P為機(jī)構(gòu)的基本動力學(xué)參數(shù);φ為與基本動力學(xué)參數(shù)相對應(yīng)的回歸矩陣。

根據(jù)計(jì)算力矩結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)控制方法對式(2)實(shí)施如下的力矩：

將式(5)與式(8)相加得主動驅(qū)動力矩矢量：

參數(shù)矢量P的自適應(yīng)修正律按基于最小跟蹤誤差的自適應(yīng)方法得到：

式中,η為一個(gè)由學(xué)習(xí)因子構(gòu)成的正定矩陣。

式(9)和式(10)即為冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基于逆動力學(xué)模型的控制律及參數(shù)自適應(yīng)律。P的初始值通過測量機(jī)構(gòu)參數(shù)得到。對于給定的末端執(zhí)行器的期望目標(biāo),計(jì)算其逆運(yùn)動學(xué)問題可得到期望的驅(qū)動空間的鉸鏈值,進(jìn)一步得到)P及M′,此過程不需要驅(qū)動鉸的實(shí)際值,也無需計(jì)算正向運(yùn)動學(xué)問題。反饋加速度項(xiàng)則由式(7)通過比較理想的與實(shí)際的鉸鏈位置及速度后進(jìn)行PD調(diào)節(jié)得到。將由式(9)計(jì)算得到的力矩輸出到三個(gè)主動電機(jī)的驅(qū)動器上,同時(shí)對參數(shù) P按照式(10)進(jìn)行更新。

基于逆動力學(xué)模型的自適應(yīng)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)自適應(yīng)控制框圖

3 算法的穩(wěn)定性分析

將式(9)代入動力學(xué)方程式(1),并注意到本例中的N=0,則有

定義控制誤差e=qed-qe,則有

整理后得

對圖2的冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的建模過程分析可知,矩陣M、C均為正定矩陣,因此只要選擇的反饋控制系數(shù)K P、K D均為正定矩陣,就可使得式(13)只有零解,即e→0。因此圖3所實(shí)施的自適應(yīng)控制算法可保證并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置跟蹤誤差趨于零。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)裝置分為控制平臺、電控制箱、機(jī)械本體三部分。控制平臺包括PC機(jī)、插在PC機(jī)PCI插槽上的GT-400四軸運(yùn)動控制器。電控制箱主要包含電源和信號轉(zhuǎn)接板、電動機(jī)驅(qū)動器等。機(jī)械本體包括交流伺服電動機(jī)、諧波齒輪減速器、冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)本體(圖4)。

圖4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)本體照片

我們分別用傳統(tǒng)的PID方法、PID參數(shù)可在線調(diào)整的模糊PID方法[7],以及本文的自適應(yīng)控制算法對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行控制,使末端點(diǎn)沿直線軌跡運(yùn)動,如圖5所示。圖6和7顯示了自適應(yīng)控制跟蹤誤差與PID和模糊PID算法的對比效果,表1具體比較了三種控制方法的誤差。其中PID控制下的x向誤差方差為0.0086mm2,而自適應(yīng)控制的x向誤差方差與模糊PID類似,只有PID方法的1/5。

圖5 實(shí)驗(yàn)時(shí)用的位移跟蹤曲線

圖6 PID控制與自適應(yīng)控制時(shí)的誤差比較

表1 各種控制策略誤差對比 mm2

圖7 模糊PID控制與自適應(yīng)控制的誤差比較

5 結(jié)束語

針對一個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型的特點(diǎn),本文提出一個(gè)基于計(jì)算力矩結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)控制器,該控制方法不需要在線計(jì)算逆動力學(xué)問題?？紤]到并聯(lián)機(jī)構(gòu)正向運(yùn)動學(xué)的求解難題,對反饋補(bǔ)償項(xiàng)進(jìn)行了修正,可回避正向運(yùn)動學(xué)問題。與PID及參數(shù)可調(diào)的模糊PID算法的對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文提出的改進(jìn)自適應(yīng)控制方法可獲得更好的跟蹤效果和適應(yīng)能力。

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