李郝林 應(yīng)杏娟

上海理工大學(xué),上海,200093

0 引言

數(shù)控機(jī)床的誤差源主要有幾何誤差、熱誤差、伺服控制誤差和切削力誤差四大類,其中熱變形誤差和幾何誤差為最主要的誤差,分別占總誤差的45%和20%,所以減小這兩種誤差,特別是減小熱誤差是提高機(jī)床加工精度的關(guān)鍵,而且越是精密的機(jī)床,熱誤差占總誤差的比例越大。因此,研究機(jī)床的熱變形誤差測(cè)量與補(bǔ)償技術(shù)對(duì)于提高機(jī)床的加工精度有著極其重要的作用[1-5]。數(shù)控機(jī)床誤差補(bǔ)償?shù)倪^程一般分為誤差測(cè)量、建模和補(bǔ)償三個(gè)階段。機(jī)床的熱誤差和機(jī)床的溫度場(chǎng)有關(guān),而機(jī)床的溫度場(chǎng)是隨時(shí)間變化的,因此,對(duì)于機(jī)床熱誤差的補(bǔ)償必須采取實(shí)時(shí)測(cè)量和補(bǔ)償?shù)姆椒?建立能夠?qū)φ`差進(jìn)行精確預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行熱誤差補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵。

數(shù)控機(jī)床熱誤差數(shù)學(xué)模型的建立,一般需在機(jī)床熱誤差測(cè)量的基礎(chǔ)上,通過分析機(jī)床不同位置溫度傳感器測(cè)量值與機(jī)床熱變形的關(guān)系,建立溫度-熱誤差關(guān)系數(shù)學(xué)模型[6-7]。然而,如何選擇機(jī)床溫度測(cè)量點(diǎn)是該項(xiàng)工作的難點(diǎn)與關(guān)鍵,機(jī)床上溫度測(cè)量點(diǎn)越多,所建立的熱誤差模型也就越精確,但數(shù)據(jù)處理量會(huì)隨之大大增加。另外,溫度測(cè)量點(diǎn)布置過密,會(huì)使相鄰測(cè)點(diǎn)輸出信號(hào)具有較大的相關(guān)性。為了從眾多測(cè)量點(diǎn)中選擇出適當(dāng)數(shù)目的測(cè)量點(diǎn),文獻(xiàn)[8]提出了溫度點(diǎn)的分組選擇方法,以減少溫度變量之間的相關(guān)性對(duì)誤差模型精度的影響。文獻(xiàn)[9-12]也對(duì)該問題進(jìn)行了研究,所采用的方法是依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn),選擇機(jī)床溫度敏感點(diǎn)(如絲桿的溫度、主軸溫度、床身溫度等處)安裝大量的溫度傳感器,然后再采用相關(guān)分析、聚類分析等方法選出少量的傳感器測(cè)量值用于溫度誤差的建模,所提出的方法均未解決最優(yōu)溫度測(cè)量點(diǎn)位置的確定問題。

信息論所建立的互信息概念[13],給出了定量計(jì)算兩序列之間的互信息方法,文獻(xiàn)[14]闡述了互信息概念在數(shù)據(jù)處理中多方面的應(yīng)用方法,其概念可用于描述某溫度測(cè)量點(diǎn)所提供的關(guān)于機(jī)床熱變形信息量的大小。本文基于信息論,在對(duì)機(jī)床熱誤差有限元分析的基礎(chǔ)上,提出了一種對(duì)溫度測(cè)量的測(cè)點(diǎn)位置進(jìn)行優(yōu)化的計(jì)算方法,這些測(cè)點(diǎn)包含機(jī)床熱變形誤差互信息量最大點(diǎn);給出了評(píng)判溫度測(cè)量位置優(yōu)劣的評(píng)價(jià)指標(biāo);通過主軸熱誤差測(cè)量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

1 基于信息論的溫度測(cè)點(diǎn)位置優(yōu)化方法

設(shè)機(jī)床上溫度測(cè)量點(diǎn)的待定位置為X,X={x1,x 2,…,xn},通過有限元分析獲得這些位置上的溫度隨時(shí)間的變化量 T,T={T1(t),T2(t),…,Tn(t)},機(jī)床變形量隨時(shí)間的變化量為Y(t),各測(cè)量位置溫度值的值域?yàn)閇Tmin,Tmax],機(jī)床變形量的值域?yàn)閇D min,D max]。將[T min,T max]區(qū)間劃分為N等份,[D min,D max]區(qū)間劃分為M等份。分別統(tǒng)計(jì)Ti(t)與Y(t)落入各個(gè)小區(qū)間的樣本數(shù),計(jì)算概率分布PTi(j)與PY(k),i=1,2,…,n;j=1,2,…,N;k=1,2,…,M。根據(jù)信息論,各個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)位置溫度變化的不確定度可用熵函數(shù)H(Ti)表示為

機(jī)床變形量的不確定度可用熵函數(shù)H(Y)表示為

建立數(shù)控機(jī)床熱誤差模型的目的就是要通過盡量少的溫度傳感器獲得準(zhǔn)確的機(jī)床變形量的信息。根據(jù)信息論,某溫度測(cè)點(diǎn)測(cè)量值 Ti(t)所提供的機(jī)床變形量的互信息量可表示為

其中,聯(lián)合離散概率分布P(Y k Ti(j))可以通過將Ti(t)與Y(t)張成二維空間,然后等分為N×M個(gè)小區(qū)間,統(tǒng)計(jì)落入這些小區(qū)間的樣本數(shù)計(jì)算得到。

根據(jù)式(3),分別計(jì)算每一個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)與機(jī)床變形量Y的互信息量I(Y;Ti),取最大的I(Y;Ti)值,即可確定包含機(jī)床變形量最大互信息量的溫度測(cè)量點(diǎn),此位置即為最優(yōu)的溫度測(cè)量點(diǎn)位置。然而,僅僅一個(gè)溫度測(cè)量點(diǎn)的信息往往不能完全消除機(jī)床變形量的不確定度,還需要計(jì)算其他溫度測(cè)量點(diǎn)所提供的機(jī)床變形量Y(t)的互信息量I(Y;Ti),使得其提供的互信息量能夠獲得足夠準(zhǔn)確的機(jī)床變形量Y(t)的信息。m個(gè)溫度傳感器所提供的機(jī)床變形量Y(t)的互信息量可表示為

值得指出的是,當(dāng)計(jì)算最優(yōu)的多個(gè)溫度傳感器測(cè)量位置時(shí),其傳感器組合內(nèi)并不一定包含機(jī)床變形量最大互信息量的傳感器。因此,為了確定最優(yōu)的m個(gè)溫度傳感器位置,應(yīng)該按照式(4)遍歷計(jì)算所有可能的傳感器組合方式。當(dāng)所計(jì)算的溫度傳感器數(shù)目較多時(shí),傳感器安裝備選位置組合數(shù)將呈指數(shù)增大,給式(4)的計(jì)算帶來困難。為了有效解決該問題,可采用遺傳算法,分別計(jì)算出最優(yōu)的2個(gè)、3個(gè)、…、m個(gè)溫度傳感器的組合,并根據(jù)機(jī)床變形量的計(jì)算精度,確定出最少的溫度傳感器組合作為溫度誤差建模使用的變量。

2 主軸系統(tǒng)溫度場(chǎng)和熱變形有限元分析

主軸系統(tǒng)的熱變形是高精度數(shù)控機(jī)床熱變形的重要因素之一,本文以一種數(shù)控螺紋磨床的主軸系統(tǒng)為例來說明所提出計(jì)算方法的有效性。該主軸部件由主軸、主軸箱、前后軸承等組成,主要熱源是前后滾動(dòng)軸承的摩擦發(fā)熱。

計(jì)算中使用有限元分析軟件建立了經(jīng)過簡(jiǎn)化的有限元模型,如圖1所示[15-17]。設(shè)定環(huán)境溫度為20℃,當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速為2000r/min時(shí),計(jì)算得到前后軸承的發(fā)熱量分別為147W 和112.6W,將軸承發(fā)熱量作為熱源邊界條件以生熱率的形式施加到主軸有限元模型上。主軸與空氣間的對(duì)流換熱系數(shù)可按努謝爾特準(zhǔn)則方程計(jì)算,本例中,當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速取2000r/min時(shí),計(jì)算得到對(duì)流傳熱系數(shù)為89W/(m2?K),箱壁自由換熱表面的對(duì)流傳熱系數(shù)取10 W/(m2?K)。在主軸系統(tǒng)的熱分析過程中,按如下順序加載：?jiǎn)?dòng)機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)600s→停止300s→重新啟動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)1200s→停止300s→再啟動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)直到時(shí)間滿2h。

圖1 主軸部件有限元模型

在上述邊界條件下計(jì)算主軸系統(tǒng)在空載狀態(tài)下運(yùn)轉(zhuǎn)2h的瞬態(tài)溫度場(chǎng),圖2為主軸箱和主軸在熱平衡狀態(tài)下的溫度分布云圖,主軸箱的最高溫升為26.8℃,出現(xiàn)在前軸承內(nèi)圈處。圖3所示為主軸箱體側(cè)面16個(gè)測(cè)點(diǎn)的溫升隨時(shí)間變化曲線(圖3中溫度曲線編號(hào)與圖1測(cè)點(diǎn)序號(hào)對(duì)應(yīng)),測(cè)點(diǎn)在箱體的3個(gè)側(cè)面靠近主軸線方向均勻分布,如圖1所示,其中上側(cè)面右方因?yàn)橄潴w有立柱因而不能安裝傳感器,所以該面只能分布4個(gè)測(cè)點(diǎn)。從圖3測(cè)點(diǎn)溫度—時(shí)間曲線中可以發(fā)現(xiàn)溫度的滯后效應(yīng)：靠近熱源的測(cè)點(diǎn)在升降溫過程中響應(yīng)迅速而且溫升變化較大;而遠(yuǎn)離熱源的測(cè)點(diǎn),升降溫響應(yīng)滯后一段時(shí)間,且溫升變化較小。

圖2 主軸系統(tǒng)溫度分布云圖

圖3 測(cè)點(diǎn)溫度—時(shí)間曲線

以主軸瞬態(tài)溫度場(chǎng)作為載荷,加上主軸系統(tǒng)的位移約束條件,進(jìn)行主軸系統(tǒng)的“熱—結(jié)構(gòu)”耦合分析,得到主軸系統(tǒng)瞬態(tài)熱變形結(jié)果。關(guān)于主軸熱變形誤差的評(píng)定指標(biāo)一般有：軸線角度誤差(包括傾斜、偏轉(zhuǎn))以及主軸在X軸、Y軸和Z軸方向的位移。而軸線角度誤差是主軸熱變形誤差的綜合性指標(biāo),因此本文選擇軸線角度誤差作為熱變形誤差評(píng)定參數(shù)。

主軸受熱變形后,其軸線的變形傾斜情況如圖4所示,圖中虛線、實(shí)線分別為主軸變形前和變形后位置。變形后截面圓心位置發(fā)生了改變：O1→O′1,O2 →O′2,軸線的角度誤差為 α。利用前述模擬計(jì)算結(jié)果提取這些點(diǎn)變形前的坐標(biāo)值(x0,y0,z0)和熱變形位移值(Δx,Δy,Δz),通過擬合并利用幾何關(guān)系計(jì)算出主軸軸線對(duì)應(yīng)每一個(gè)模擬分析時(shí)間段的角度誤差α。從而得到角度誤差α隨時(shí)間的變化曲線。圖5分別為主軸軸線沿x方向的偏轉(zhuǎn)角誤差和y方向的傾斜角誤差隨時(shí)間的變化曲線?？梢钥吹?主軸軸線沿x方向的偏轉(zhuǎn)角誤差αx在升降溫過程中有明顯的變化,而沿y方向的傾斜角誤差αy非常小,這是由于主軸部件在y方向結(jié)構(gòu)基本是軸對(duì)稱的,所以軸線在y方向基本不會(huì)偏轉(zhuǎn)。因此,以下分析過程僅考慮主軸在x方向的偏轉(zhuǎn)角誤差αx。

圖4 主軸軸線熱變形角度示意圖

圖5 主軸偏轉(zhuǎn)/傾斜角誤差-時(shí)間曲線

3 溫度測(cè)點(diǎn)位置優(yōu)化選擇

根據(jù)上述計(jì)算得到的隨時(shí)間變化的溫度和熱變形誤差的數(shù)據(jù),提取16個(gè)測(cè)點(diǎn)的溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù) T,T={T1(t),T2(t),…,Ti(t),…,T16(t)}和主軸偏轉(zhuǎn)角度αx隨時(shí)間的變化數(shù)據(jù)αx(t),按照式(3)和式(4),可求得溫度測(cè)量點(diǎn)所提供的機(jī)床主軸熱變形的互信息量。溫度和變形量樣本數(shù)量、溫度值域[T min,T max]和變形量值域[D min,D max]區(qū)間等分?jǐn)?shù)N、M的選取應(yīng)能夠保證概率分布的穩(wěn)定性,計(jì)算中取樣本數(shù)100,區(qū)間等分?jǐn)?shù)N、M取20～40。計(jì)算得到待定測(cè)溫點(diǎn)所提供的主軸熱變形的互信息量。為了提高熱變形的計(jì)算精度,可以根據(jù)式(4)增加溫度測(cè)量點(diǎn)的數(shù)量,本文以兩個(gè)溫度測(cè)量點(diǎn)組合為例采用遺傳算法進(jìn)行了溫度測(cè)點(diǎn)位置優(yōu)化的計(jì)算。表1列出了單個(gè)溫度測(cè)量點(diǎn)和兩個(gè)溫度測(cè)量點(diǎn)組合的互信息量值最大的3個(gè)點(diǎn)。

表1 互信息量

表1的計(jì)算結(jié)果說明,溫度測(cè)量點(diǎn)2提供的互信息量最大,可以確定其為一個(gè)測(cè)溫點(diǎn)的最優(yōu)敏感熱源點(diǎn)。當(dāng)其殘差不能滿足要求時(shí),需要增加溫度測(cè)量點(diǎn),當(dāng)采用兩個(gè)傳感器時(shí),2號(hào)和12號(hào)溫度測(cè)量點(diǎn)組合是互信息量最大的測(cè)點(diǎn)組合。2號(hào)和12號(hào)溫度測(cè)量點(diǎn)組合比單獨(dú)2號(hào)溫度測(cè)量點(diǎn)的預(yù)報(bào)精度高。測(cè)點(diǎn)2位于箱體上側(cè)面距前軸承熱源中心x=0.20L 0處,測(cè)點(diǎn)12位于箱體下側(cè)面距前軸承熱源中心x=0.24L 0處(L0是前、后軸承熱源中心之間的距離)。

4 主軸系統(tǒng)的熱誤差實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述所選擇的最優(yōu)敏感熱源點(diǎn)的有效性,使用SK7520H數(shù)控螺紋磨床進(jìn)行了主軸旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)。該機(jī)床具有較高的幾何精度和定位精度,運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的熱誤差成為影響加工精度的主要因素,實(shí)驗(yàn)時(shí)在主軸箱體側(cè)面不同位置安裝了16個(gè)溫度傳感器。為了檢測(cè)軸線的傾斜和偏轉(zhuǎn)角度,在軸端安裝砂輪部位放置了5個(gè)非接觸式電容位移傳感器,其中2個(gè)位移傳感器測(cè)量徑向(x向)熱誤差,另2個(gè)測(cè)量徑向(y向)熱誤差,1個(gè)測(cè)量軸向(z向)誤差。溫度和位移傳感器具體安裝位置見圖6。

設(shè)定主軸轉(zhuǎn)速為2000r/min,按兩種方式(兩種實(shí)驗(yàn)條件)加載：①主軸啟動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)2h;②啟動(dòng)主軸運(yùn)轉(zhuǎn)600s→停止300s→重新啟動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)1200s→停止300s→再啟動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)直到時(shí)間滿2h。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算,得到主軸軸線偏轉(zhuǎn)角αx隨最優(yōu)敏感熱源點(diǎn)測(cè)點(diǎn)2以及測(cè)點(diǎn)12的溫度的變化曲線,兩種實(shí)驗(yàn)條件下的誤差-溫度曲線分別如圖7所示。

利用有限元計(jì)算得到的溫升和熱變形誤差數(shù)據(jù),可以通過多元線性回歸得到溫升和熱變形誤差之間的誤差預(yù)報(bào)模型回歸方程。計(jì)算得到最優(yōu)敏感熱源點(diǎn)(測(cè)點(diǎn)2)的主軸軸線偏轉(zhuǎn)角誤差αx的熱誤差模型為

圖6 溫度傳感器和位移傳感器安裝圖

圖7 主軸熱誤差角度—溫度曲線

測(cè)點(diǎn)2和測(cè)點(diǎn)12最優(yōu)組合熱源點(diǎn)的主軸軸線傾斜角誤差αx的熱誤差模型為

熱誤差模型的有效性可以用殘差作為評(píng)價(jià)指標(biāo),可用下式表示：

式中,Eresidual為殘存熱誤差即殘差;E為熱誤差計(jì)算值;Ereal為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的熱誤差值;l為代表樣本號(hào)。

計(jì)算得到單個(gè)熱關(guān)鍵點(diǎn)和2個(gè)熱關(guān)鍵點(diǎn)的熱變形引起的角度誤差預(yù)報(bào)模型的殘差值,見表2。

表2 殘存熱誤差值 (rad)

從表2可以看出：

(1)使用2個(gè)熱關(guān)鍵點(diǎn)的預(yù)報(bào)模型精度要比一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的模型精度高;

(2)對(duì)于實(shí)驗(yàn)條件①,偏轉(zhuǎn)角度的殘差較小,表明所選擇的熱關(guān)鍵點(diǎn)可以用來建立精確的熱誤差模型;

(3)對(duì)于實(shí)驗(yàn)條件②,由于溫度變化經(jīng)歷了升降溫過程,溫度-熱變形曲線有轉(zhuǎn)折(圖7b),用式(5)線性模型來建模導(dǎo)致的殘差比較大,為了減小這種誤差,可以用二次擬合模型來代替線性模型,例如：α2x=-5.95×10-9+1.49×10-11θ2p,計(jì)算得到殘差為2.2×10-5(°),雖然精度有所提高,但誤差相對(duì)還是較大。所以,為了減小機(jī)床的熱誤差,機(jī)床使用過程中要盡量避免主軸的反復(fù)啟動(dòng)。

5 結(jié)束語

本文給出了數(shù)控機(jī)床最優(yōu)熱誤差測(cè)量系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法,通過數(shù)控螺紋磨床主軸系統(tǒng)的計(jì)算說明了具體的計(jì)算方法。計(jì)算結(jié)果表明,該方法可以在有限元分析的基礎(chǔ)上,計(jì)算出最優(yōu)的溫度測(cè)點(diǎn)位置以及多個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)的最優(yōu)組合。

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