文超斌 李世平 趙建華 劉如峰 宋 兵

(第二炮兵工程學(xué)院302教研室1，陜西 西安 710025;西安工業(yè)大學(xué)電信學(xué)院2，陜西 西安 710032)

0 引言

受頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響，直接通過FFT變換頻譜得到的信號頻率參數(shù)存在一定的誤差，因此，需要對其進(jìn)行校正。目前，比較經(jīng)典的校正方法有能量重心校正法、比值法(內(nèi)插法)、FFT+DFT頻譜連續(xù)細(xì)化分析傅里葉變換法、相位差法和相位差+單點(diǎn)FT校正法等［1－2］。但這些校正方法存在的共同缺點(diǎn)是在建模時均未考慮同一信號負(fù)頻譜成分的泄漏干涉以及各個信號頻譜之間的泄漏影響［3］，而只是簡單地把多頻率信號抽象成單個頻率信號逐個校正求解;且受所用經(jīng)典窗函數(shù)的特性限制。因此，這些方法均不能進(jìn)行頻率的高精度校正。

針對以上問題，本文提出了一種基于卷積窗的優(yōu)化新算法，即在信號加卷積窗函數(shù)的情況下建立考慮負(fù)頻譜響應(yīng)的頻域非線性最優(yōu)化理論模型，并應(yīng)用非線性最優(yōu)化模型求解理論與相關(guān)成熟的求解軟件對建立的模型進(jìn)行分析，從而實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)基波頻率的高精度測量。

1 卷積新窗的特性分析

1.1 定義

定義1 在區(qū)間［－T/2P，T/2P］上的對稱窗函數(shù)w(t)函數(shù)，其Fourier變換定義為:

1.2 P階卷積窗函數(shù)

根據(jù)卷積運(yùn)算的性質(zhì)可知，兩個時間函數(shù)卷積的傅里葉變換等于兩個時間函數(shù)分別進(jìn)行傅里葉變換的復(fù)數(shù)乘積，再結(jié)合式(2)可知卷積新窗函數(shù)(t)對應(yīng)的頻域響應(yīng)為:

另外，為求得卷積構(gòu)造新窗函數(shù)的定義域，先給出以下定理及其證明。

定理1 設(shè)函數(shù)X(t)、Y(t)分別為區(qū)間［－T1/2，T1/2］、［－T2/2，T2/2］上的連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)G(t)=Y(t)*X(t)為區(qū)間［－(T1+T2)/2，(T1+T2)/2］上的連續(xù)函數(shù)。

由此可見，在構(gòu)造新窗函數(shù)的過程當(dāng)中，雖然所得新窗函數(shù)的頻域表達(dá)式(f)可以由式(3)通過原來窗函數(shù)的頻域表達(dá)式W(f)直接計(jì)算出，但卷積運(yùn)算擴(kuò)大了原來窗函數(shù)時域定義域，使其變?yōu)樵瓉淼腜倍，文獻(xiàn)［4］～［5］在研究卷積運(yùn)算構(gòu)造窗函數(shù)的性質(zhì)時也提到了這個問題。

在構(gòu)造新窗函數(shù)的過程中，為了真實(shí)全面反映卷積運(yùn)算構(gòu)造窗函數(shù)的優(yōu)良特性，下面以矩形卷積窗(以下敘述中約定名稱為RCW)和Hanning卷積窗(以下敘述中約定名稱為HCW)為例，將各階卷積新窗限定在一樣長度的情況下，比較說明卷積運(yùn)算構(gòu)造新窗函數(shù)的優(yōu)良特性［4－5］。

同理，定義在同樣區(qū)間上的Hanning窗函數(shù)時域表達(dá)式為:

由Hanning窗函數(shù)按照定義2進(jìn)行卷積所得P階Hanning卷積窗函數(shù)(t)為定義在區(qū)間［－T/2，T/2］上的對稱窗函數(shù)頻域，其表達(dá)式為:

1.3 卷積新窗的頻域特性

為抑制頻譜泄漏和降低柵欄效應(yīng)，窗函數(shù)設(shè)計(jì)過程中主要考慮主瓣寬度、旁瓣峰值電平和旁瓣衰減速率這三個指標(biāo)。窗函數(shù)頻譜的主瓣越窄，頻率分辨率越高;旁瓣越小，泄漏越少;旁瓣衰減越快，對泄漏抑制越強(qiáng)［1］。

RCW和HCW對數(shù)幅頻圖如圖1所示，它描述了符合定義1描述的P個矩形窗函數(shù)和P個Hanning窗函數(shù)，通過定義2卷積運(yùn)算構(gòu)造的P(P=1～4)階卷積窗函數(shù)(t)的對數(shù)幅頻圖。

圖1 RCW和HCW對數(shù)幅頻圖Fig.1 Logarithmic amplitude frequency diagram for RCW and HCW

由圖1可知，卷積新窗的旁瓣均隨著階數(shù)的升高而迅速降低，這說明卷積運(yùn)算可大幅度降低窗函數(shù)的旁瓣峰值電平，提高旁瓣衰減速率;卷積運(yùn)算所得各階新窗函數(shù)的主瓣寬度隨著階數(shù)P變大而變大。

在工程應(yīng)用中，通過頻譜校正方法分析多頻率信號頻率時，如果各個信號頻率成分離得比較遠(yuǎn)，那么窗函數(shù)主瓣寬度的增加完全不會影響測頻結(jié)果;相反，由于卷積運(yùn)算將頻譜能量集中到了主瓣內(nèi)，致使主瓣內(nèi)譜線數(shù)目增多，譜線頻譜值變大，而泄漏減少，這樣有利于通過各種頻譜校正方法提高測頻精度;如果各個信號頻率成分離得較近，窗函數(shù)主瓣寬度的增加會對測頻結(jié)果造成影響。

由于在離散頻譜分析過程中，信號頻率分辨率Δf=fs/N，所以在采樣頻率fs不變的情況下，通過增加FFT變換分析的數(shù)據(jù)長度N即可將頻率分辨率Δf變小，這樣各個信號頻率成分頻譜離得較遠(yuǎn)，運(yùn)用本文新窗函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)就能突顯出來。

2 優(yōu)化算法推導(dǎo)

2.1 考慮負(fù)頻響應(yīng)的頻譜模型

余弦波模型x(t)如下:

式中:f0、A、θ分別為信號的頻率、幅值和相位三個參數(shù)。

假設(shè)w(t)是定義在區(qū)間［－T/2，T/2］上且長度為T的窗函數(shù)，其對應(yīng)的傅里葉變換頻譜函數(shù)為W(f)，把該窗函數(shù)平移至區(qū)間［0，T］得到窗函數(shù)wT(t)。用窗函數(shù)wT(t)對信號x(t)進(jìn)行截斷，則該截斷信號的傅里葉變換頻譜函數(shù)XT(f)為頻率f的連續(xù)函數(shù)，XT(f)的表達(dá)式為:

由傅里葉變換時移特性有:

由式(9)～(11)并結(jié)合傅里葉變換頻移特性，建立考慮負(fù)頻響應(yīng)的頻譜模型為:

2.2 算法推導(dǎo)

對余弦波模型信號x(t)=A cos(2πf0t+θ)進(jìn)行采樣，則采樣信號可表示為:

對于FFT變換所得離散頻譜的任意一條譜線X(K)，設(shè)該譜線對應(yīng)的頻率值為fk，將fk代入式(12)，即可得到譜線X(K)對應(yīng)的理論頻譜值為:

信號x(t)的參數(shù)應(yīng)使得由式(12)理論計(jì)算和經(jīng)FFT離散變換分別得到的頻譜值最大程度地逼近，于是可將求信號參數(shù)問題轉(zhuǎn)化成求解關(guān)于如下ε函數(shù)的非線性最優(yōu)化問題［6］:

式中:QT，Re(fK)、QT，Ie(fK)分別為復(fù)數(shù) QT(fk)的實(shí)部與虛部;XRe(K)、XIe(K)分別為信號進(jìn)行FFT變換復(fù)數(shù)譜值X(K)的實(shí)部與虛部。

由此可見，該模型為典型的無約束條件下非線性最優(yōu)化極小值模型，它直接運(yùn)用比值校正法或相位差校正法求解出信號頻率、幅值和相位作為優(yōu)化算法迭代初值;隨后由Matlab優(yōu)化工具箱中的fminunc或者fminsearch函數(shù)程序自動選擇合適的收斂算法，確定迭代方向矢量與搜索步長;接著產(chǎn)生下一個新的點(diǎn);重復(fù)以上步驟，直至ε值接近設(shè)定的誤差范圍而停止運(yùn)算［6］。這樣通過求解最優(yōu)化模型即可獲得被測信號的頻率參數(shù)f0。

3 仿真分析

按照式(18)電力系統(tǒng)中的諧波信號模型生成原始數(shù)據(jù)。

被測諧波信號基波頻率f0從45 Hz掃描到55 Hz，掃描步長為0.25 Hz;各次諧波信號相位角全部為0;參照我國電力系統(tǒng)中諧波畸變率THD在5%之內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)［7－9］，令 K=1(THD=5%)，取式(18)相應(yīng)的幅值參數(shù)，樣本大小N=5000、采樣頻率fs=50000 Hz。

利用本文所提出的最優(yōu)化方法，在諧波信號分別加P(P=1～4)階RCW與HCW的情況下，得到的加RCW時和加HCW時的測頻誤差曲線分別如圖2和圖3所示。

圖2 加RCW時的測頻誤差曲線Fig.2 Frequency measurement error by using RCW

圖3 加HCW時的測頻誤差曲線Fig.3 Frequency measurement error by using HCW

由圖2和圖3可以看出，新算法測頻精度在mHz數(shù)量級以上，四階HCW測頻精度最高達(dá)到了nHz數(shù)量級，完全可以滿足工程實(shí)踐中對頻率的高精度測量［7］。

利用本文所述優(yōu)化算法測頻，對應(yīng)于同一窗函數(shù)階次P，信號加HCW效果優(yōu)于加RCW;無論哪一種窗函數(shù)通過卷積運(yùn)算構(gòu)造的新窗函數(shù)加在信號上，測頻精度都會隨著階數(shù)P的變大而提高，階數(shù)P每提高1，對應(yīng)的測頻誤差就能提高1～2個數(shù)量級。

利用卷積窗優(yōu)化算法除了自身的旁瓣性能提高之外，主瓣內(nèi)譜線的增多也為優(yōu)化算法提供了更多的建模信息;而優(yōu)化算法通過考慮負(fù)頻響應(yīng)的頻譜建模，有效地減少了信號加卷積窗函數(shù)的負(fù)頻譜泄漏，從而使二者優(yōu)勢互補(bǔ)，實(shí)現(xiàn)了頻率的高精度測量，具有很高的工程應(yīng)用價值。

4 結(jié)束語

本文給出了一種基于非線性最優(yōu)化理論的改進(jìn)方法，并且在信號處理中加入了一類性質(zhì)優(yōu)良的卷積窗函數(shù)，就諧波信號基波頻率在工頻信號周圍波動時進(jìn)行了仿真研究。結(jié)果表明，由于新算法在頻譜建模中不但考慮了更多的頻譜信息，同時，通過運(yùn)用卷積窗函數(shù)，有效減少了頻譜泄漏對測頻精度的影響，最終實(shí)現(xiàn)了頻率的高精度測量，完全滿足工程需要，具有廣泛的應(yīng)用前景。

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