鄭惠江 王太勇 何改云

天津大學(xué)，天津，300072

0 引言

在機(jī)檢測(cè)系統(tǒng)是在加工中心原功能的基礎(chǔ)上增加了產(chǎn)品質(zhì)量檢測(cè)的功能，建立起無(wú)需脫離生產(chǎn)環(huán)境即可完成加工—檢驗(yàn)—再加工的閉環(huán)制造系統(tǒng)。在該系統(tǒng)中，根據(jù)CAD模型數(shù)據(jù)，按照采樣策略進(jìn)行采樣點(diǎn)的選擇和布局后，進(jìn)行測(cè)量軌跡的規(guī)劃，是在機(jī)檢測(cè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)其基本功能的重要基礎(chǔ)之一。

在機(jī)檢測(cè)過(guò)程是采用接觸式測(cè)頭從工件表面點(diǎn)集的總體中選擇若干樣本來(lái)對(duì)總體情況進(jìn)行評(píng)估的一種離散采樣過(guò)程。其中，采樣點(diǎn)的規(guī)模直接影響到檢測(cè)過(guò)程花費(fèi)的時(shí)間，離散采樣的誤差直接影響到檢測(cè)質(zhì)量［1］。因此，如何選擇樣本，使其既能準(zhǔn)確地反映總體情況，又能減少采集的數(shù)據(jù)量，從而降低生產(chǎn)成本［2］是在機(jī)檢測(cè)必須要考慮的重要因素之一，也是判別采樣策略好壞的重要標(biāo)準(zhǔn)。

常用的采樣方法有均勻采樣法、隨機(jī)采樣法、Hammersley序列采樣法和Halton序列采樣法等。均勻采樣法［3－5］只有當(dāng)采樣數(shù)量足夠多時(shí)，才能較好地反映采樣面的情況，但所需采樣時(shí)間過(guò)長(zhǎng)；而當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)量較少時(shí)，會(huì)造成測(cè)量結(jié)果與實(shí)際結(jié)果相差很遠(yuǎn)，不具備參考性［6－8］。隨機(jī)采樣法由于采用純粹偶然的方法從總體中選取樣本，使得測(cè)量過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)不一［7］。隨后發(fā)展的拉丁超立方體抽樣（latin hypercube sampling，LHS）方法所獲得總均值的方差比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方差要?。?］。其后提出的 Hammersley序列采樣法和Halton序列采樣法可以有效地降低采樣密度，并且能保證測(cè)量精度［1－3，10］。另外，董玉德等［7］在深入分析了Halton采樣法的基礎(chǔ)上，針對(duì)具體的幾何體給出相應(yīng)的采樣算法，并驗(yàn)證了Halton序列采樣策略比隨機(jī)采樣策略具有更均勻的采樣點(diǎn)分布。

本文利用CVT（centroidal voronoi tessellation）結(jié)構(gòu)的特性，提出了基于CVT結(jié)構(gòu)的可展面采樣策略。

1 基于CVT結(jié)構(gòu)的可展面采樣策略

1.1 CVT結(jié)構(gòu)采樣方法

圖1 隨機(jī)Voronoi圖和CVT圖

CVT是Voronoi結(jié)構(gòu)的一種特殊形式，具有很多良好的特性，在圖像壓縮、聚類(lèi)分析和數(shù)值積分優(yōu)化等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用［11－12］。CVT結(jié)構(gòu)采樣法就是在在機(jī)檢測(cè)（或其他坐標(biāo)檢測(cè)）的過(guò)程中，選擇適當(dāng)?shù)拿芏群瘮?shù)ρ（y），將檢測(cè)區(qū)域Ω按照上述方法進(jìn)行細(xì)分后，再以為采樣點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行采樣。

1.2 可展面采樣策略

Hammersley序列和Halton序列特別適合矩形平面，對(duì)于如圓、圓錐等其他幾何體必須進(jìn)行相應(yīng)的變形才可以計(jì)算出各種幾何體的采樣點(diǎn)分布情況［8］。

CVT采樣方法不僅適用于矩形平面的采樣，而且對(duì)于平面采樣的形狀沒(méi)有具體的要求，適用于多種平面形狀區(qū)域的采樣（圖2）［13，15］，因此其使用范圍十分廣泛。

圖2 幾種不同平面區(qū)域中采用CVT法采樣點(diǎn)布局結(jié)果

根據(jù)經(jīng)典微分幾何，對(duì)于給定的參數(shù)曲面S（u，v），可以定義其Gauss曲率為

當(dāng)K＝0時(shí)，稱該曲面為可展曲面，可展曲面是一種特殊的直紋曲面。在飛機(jī)、船體、汽車(chē)、風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片等重大裝備的設(shè)計(jì)和制造等工程應(yīng)用中，可展曲面是一類(lèi)非常重要的曲面。因此，其加工質(zhì)量的檢驗(yàn)及采樣點(diǎn)布局策略也是制造業(yè)中研究的一個(gè)重要內(nèi)容。

由于可展曲面可以嚴(yán)格展開(kāi)成平面，則存在映射f：R3→ R2，使 得（x，y）＝f（x′，y′，z′）成立，其中（x′，y′，z′）表示可展曲面上的任意一點(diǎn)坐標(biāo)，（x，y）表示其展開(kāi)到平面坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。顯然，同時(shí)存在映射f－1：R2→ R3，使得（x′，y′，z′）＝f－1（x，y）成立。利用以上兩個(gè)映射，可采用圖3所示的采樣策略選取可展曲面的采樣點(diǎn)集。

圖3 可展曲面CVT采樣策略流程圖

1.3 計(jì)算實(shí)例

以圓柱面為實(shí)例，將圓柱面按圖3所示的算法過(guò)程展成平面，在該平面內(nèi)按照基于CVT結(jié)構(gòu)的采樣策略進(jìn)行采樣點(diǎn)分布。這里采用直角坐標(biāo)系表示圓柱面上的點(diǎn)坐標(biāo)，則映射f和f－1由式（4）和式（5）分別來(lái)定義：

式中，（x，y，z）為圓柱表面的直角坐標(biāo)；（x′，y′）為展開(kāi)的平面坐標(biāo)

若采樣點(diǎn)分布在300×300的平面上，采樣點(diǎn)數(shù)N 分別為16、64、169和256，使用MATLAB6.5按照上述可展曲面CVT采樣策略對(duì)計(jì)算實(shí)例進(jìn)行運(yùn)算，得到的圓柱面的采樣點(diǎn)分布結(jié)果如圖4所示。

圖4 基于CVT結(jié)構(gòu)采樣策略的采樣點(diǎn)布局

2 采樣策略對(duì)檢測(cè)結(jié)果的影響分析

考慮到隨機(jī)過(guò)程可很好提供加工表面一階、二階以及更高階的統(tǒng)計(jì)量的情況，可通過(guò)構(gòu)建相應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程來(lái)對(duì)不同粗糙度的加工表面進(jìn)行數(shù)值模擬仿真［1，10-11］。

本文采用各向同性隨機(jī)過(guò)程來(lái)模擬加工表面：

其中，u（m，n）～N（0，1），該表面又可稱為高斯表面［10］，其數(shù)值模擬實(shí)例如圖5所示。

圖5 高斯表面實(shí)例

分別采用Hammersley序列采樣法、Halton序列采樣法和基于CVT結(jié)構(gòu)的采樣方法進(jìn)行采樣，對(duì)采樣點(diǎn)的分布進(jìn)行對(duì)比。采樣點(diǎn)同樣分布在300×300的平面上，采樣點(diǎn)數(shù)N仍分別為16、64、169和256，各種采樣點(diǎn)的分布結(jié)果如圖6～圖9所示。然后分別計(jì)算不同采樣點(diǎn)數(shù)下各種采樣方法采樣點(diǎn)的采樣誤差均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差值，3種采樣方法對(duì)檢測(cè)結(jié)果影響的具體情況如表1所示。

圖6 不同采樣方法16個(gè)采樣點(diǎn)布局比較

圖7 不同采樣方法64個(gè)采樣點(diǎn)布局比較

圖8 不同采樣方法169個(gè)采樣點(diǎn)布局比較

圖9 不同采樣方法256個(gè)采樣點(diǎn)布局比較

表1 不同采樣方法的采樣點(diǎn)誤差均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差值

從表1的數(shù)據(jù)中可以看出，在不同的采樣點(diǎn)數(shù)目下，CVT采樣方法的采樣點(diǎn)誤差的值均小于Hammersley序列采樣法和Halton序列采樣法，其總體的平均值比其他兩種采樣方法分別小約19.3%和28.5%，其總體的標(biāo)準(zhǔn)偏差值也分別降低約67.1%和78.9%，表明其采樣過(guò)程中的采樣結(jié)果穩(wěn)定性更好。另外，CVT采樣方法整體采樣結(jié)果＾μr值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比其他兩種采樣方法分別降低了約86%和83.1%。說(shuō)明在加工表面存在粗糙度的采樣過(guò)程中，CVT采樣方法表現(xiàn)出更為準(zhǔn)確的采樣精度和更為穩(wěn)定的采樣結(jié)果。因此，在同樣采樣精度的要求下，CVT采樣方法可以有效降低采樣點(diǎn)的數(shù)量，從而有效提高采樣效率。

3 采樣策略對(duì)采樣點(diǎn)分布均勻性的影響分析

文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［11］提出用采樣點(diǎn)在采樣面上的分布均勻性來(lái)評(píng)價(jià)采樣策略的優(yōu)劣。而采樣點(diǎn)均勻性可以從三個(gè)方面來(lái)描述：①在采樣空間中，采樣點(diǎn)與其他采樣點(diǎn)是否相近；②采樣點(diǎn)的密度均勻性是否能夠覆蓋整個(gè)采樣空間；③采樣點(diǎn)布局是否具有各向同性。為此分別定義變量dis和dev來(lái)考察Hammersley序列采樣法、Halton序列采樣法和基于CVT結(jié)構(gòu)的采樣方法的采樣點(diǎn)分布的均勻性情況。

可以給出如下兩個(gè)定義：

表2 不同采樣方法的采樣點(diǎn)分布均勻度比較

從圖6～圖9中可直觀看出，CVT采樣方法相對(duì)于Hammersley序列采樣法和Halton序列采樣法有著較為均勻的采樣點(diǎn)分布。而且，隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加，CVT采樣法的采樣點(diǎn)分布均勻性更好。表2的數(shù)據(jù)中也很好地證明了這一點(diǎn)，在4種不同采樣點(diǎn)數(shù)下，CVT采樣法的dis值均大于其他兩種采樣方法dis值，其平均值分別比Hammersley序列采樣法和Halton序列采樣法高出近52%和21%；同時(shí)，在相同采樣點(diǎn)數(shù)下，CVT采樣法的采樣點(diǎn)間最小距離的標(biāo)準(zhǔn)偏差值dev比其他兩種采樣方法都小，平均要小35.53%，其中最大值為62.44%，表明CVT算法可以較大幅度地提高采樣點(diǎn)的分布均勻性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文討論了在機(jī)檢測(cè)測(cè)量過(guò)程中的采樣問(wèn)題，對(duì)常用的采樣方法和策略進(jìn)行了分析，給出了基于CVT結(jié)構(gòu)的采樣方法。利用可展曲面的空間坐標(biāo)映射關(guān)系，提出了基于CVT結(jié)構(gòu)的可展曲面采樣取點(diǎn)策略。將各種采樣策略的采樣結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，對(duì)比結(jié)果表明基于CVT結(jié)構(gòu)的采樣策略比其他采樣方法具有更好的穩(wěn)定性、均勻性和更準(zhǔn)確的采樣精度。該方法同樣可應(yīng)用于各種可展曲面的采樣過(guò)程中。

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