劉江波 吳杰峰 文 軍 文 偉

中國科學(xué)院等離子體物理研究所，合肥，230031

0 引言

管內(nèi)電纜導(dǎo)體（cable－in－conduit conductor，CICC）因具有冷卻良好、高電壓絕緣、電流大、損耗低、多股絞纜完全換位、工藝性能好等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于制作超導(dǎo)托卡馬克裝置的線圈。采用這種導(dǎo)體制作線圈的方法主要有拉彎和滾彎，其中拉彎為張力繞制，是在導(dǎo)體上先加一個(gè)軸向拉力，然后依靠模具和拉力的作用，進(jìn)行彎曲成形；滾彎為無張力繞制，不需要預(yù)加拉力，而是靠有動(dòng)力的滾輪帶動(dòng)導(dǎo)體滾彎成形，一般采用三輥或四輥機(jī)構(gòu)，其程序?yàn)轭A(yù)彎、滾圓、矯圓、入模。與拉彎相比，滾彎成形后產(chǎn)生的殘余應(yīng)力較小，較易滿足預(yù)彎、連繞、成形的繞制要求［1－2］。

由中國科學(xué)院等離子體物理研究所研制的全超導(dǎo)托卡馬克裝置EAST在線圈制造過程中采用了滾彎成形技術(shù)，但在繞制過程中采用的是人工調(diào)整彎曲壓下量的方法，這種方法適應(yīng)性較差，所研制的繞線機(jī)不能實(shí)現(xiàn)線圈繞制過程的自動(dòng)化。本文以EAST線圈繞制過程為基礎(chǔ)，討論了滾彎成形繞線機(jī)自動(dòng)控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)過程中的一些問題。

1 數(shù)學(xué)模型及動(dòng)態(tài)仿真

1.1 線圈繞制過程的分析與簡化

線圈繞制總體過程如圖1所示，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)放纜結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行放纜，中間導(dǎo)體經(jīng)過矯直、校正后，以線速度v到達(dá)線圈繞制部分進(jìn)行連續(xù)繞制成形，在某一時(shí)刻繞線模相對初始位置的旋轉(zhuǎn)角度為α，旋轉(zhuǎn)角速度為ω。

圖1 線圈繞制系統(tǒng)示意圖

在連續(xù)繞制過程中任一時(shí)刻需要以導(dǎo)體與繞線模的切點(diǎn)即預(yù)彎點(diǎn)為支點(diǎn)對導(dǎo)體進(jìn)行彎曲。因此需要對某一導(dǎo)體進(jìn)給速度下預(yù)彎點(diǎn)的變化軌跡以及繞線模的旋轉(zhuǎn)角度和角速度進(jìn)行研究。

在EAST線圈繞制過程中，工程技術(shù)人員通過實(shí)驗(yàn)獲得了彎曲成形后導(dǎo)體中心線曲率半徑ρ′與彎曲時(shí)預(yù)彎機(jī)構(gòu)壓下量x之間的數(shù)學(xué)關(guān)系［3］：

式中，ρ為回彈前導(dǎo)體中心線的曲率半徑，mm；k為材料因子；εs為彎曲應(yīng)力，Pa；E 為材料彈性模量，Pa；t為導(dǎo)體沿壓下方向的厚度，mm。

國際熱核聚變實(shí)驗(yàn)堆ITER線圈繞制與EAST線圈繞制條件相似，式（1）經(jīng)過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證調(diào)整后也可以運(yùn)用。由于式（1）表達(dá)的是彎曲成形后導(dǎo)體中心線曲率半徑與彎曲時(shí)預(yù)彎機(jī)構(gòu)壓下量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，因此在對線圈的整個(gè)繞制過程進(jìn)行分析時(shí)，可以將矩形截面導(dǎo)體簡化為其中心線。

此外，在圖1中，由于L?｜R－r｜，因此可以將某一時(shí)刻繞線模與沿水平方向進(jìn)給導(dǎo)體的切點(diǎn)視為預(yù)彎點(diǎn)，而所需繞制線圈的各段中心線均為一次、二次曲線段，于是問題可以抽象為下述數(shù)學(xué)問題，即分析一次、二次曲線段以一定角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，該曲線段與水平方向直線的切點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程。從圖2中可以直觀看出任意一段曲線在旋轉(zhuǎn)過程中與水平直線的切點(diǎn)的變化過程。

1.2 數(shù)學(xué)模型的建立

一般二次曲線段方程為

圖2 一般二次曲線段與水平線的切點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中的變化

式中，M、N、P、Q分別為所定義曲線段上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的最小值和最大值。

下面求該曲線段繞任一點(diǎn)O（a，b）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α∈［θ1，θ2］）后的曲線方程。

假定旋轉(zhuǎn)后的曲線上任一點(diǎn)（x，y），它對應(yīng)原曲線上一點(diǎn)（x′，y′），由旋轉(zhuǎn)變化公式可得

進(jìn)一步得到

將式（4）代人式（2）整理得到

式中，M′、N′、P′、Q′分別為新曲線段上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的最小值和最大值。

式（5）即為旋轉(zhuǎn)后所得新曲線段的方程。［M′，N′］，［P′，Q′］要根據(jù)實(shí)際情況具體計(jì)算。

對式（5）令dy／dx＝0，并做極小點(diǎn)判斷后求得極小點(diǎn)坐標(biāo)（φ（α），ψ（α）），該點(diǎn)即為新曲線段與水平直線的切點(diǎn)。導(dǎo)體的進(jìn)給速度即為切點(diǎn)沿水平方向的分速度：

1.3 角度、角速度隨時(shí)間變化的關(guān)系

將角度、角速度隨時(shí)間變化的關(guān)系轉(zhuǎn)化為對常微分方程初值問題的求解：

由于微分方程f（α，t）的形式會(huì)比較復(fù)雜，因此難以得到甚至可能不存在解析解。此處考慮采用數(shù)值方法進(jìn)行求解。

繞線模外形曲線封閉，繞線模旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間t0可由下式求出：

等號左邊的積分為線圈繞制一圈完成后的長度，由于線圈由許多分段曲線構(gòu)成，具體求解時(shí)應(yīng)進(jìn)行分段積分。

取步長h＝t0／N，采用四階Runge－Kutta法［4］對式（7）進(jìn)行求解，求解公式如下：

由式（9）可以得到不同時(shí)刻繞線模旋轉(zhuǎn)角度的離散值αk。利用兩點(diǎn)法進(jìn)行數(shù)值微分，即可得到角速度ω：

四階Runge－Kutta方法是一種求解常微分方程的數(shù)值方法，比Euler和改進(jìn)的Euler方法精確度高，但計(jì)算復(fù)雜度要大。由于此處對算法的實(shí)時(shí)性沒有要求，而對精度要求更高，因此Runge－Kutta方法更加合適。

1.4 線圈繞制過程的MATLAB動(dòng)態(tài)仿真

為了更加直觀地理解線圈繞制過程中切點(diǎn)的變化過程，采用MATLAB語言編程對繞制過程進(jìn)行了動(dòng)態(tài)仿真，仿真算法結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 動(dòng)態(tài)仿真算法流程圖

2 具體線圈繞制成形過程的計(jì)算及仿真

ITER矯正場線圈分為兩種形式［5－6］：一種為SCC（side correction coil）， 呈瓦片狀；一種為B／TCC（bottom／top correction coil），呈扇形狀，其整體布局如圖4所示。

上述兩種線圈都由CICC滾彎成形。下面選取形狀比較復(fù)雜的B／TCC線圈，運(yùn)用以上數(shù)學(xué)模型和仿真方法進(jìn)行分析計(jì)算。由于B／TCC線圈比較復(fù)雜，在運(yùn)用上述方法之前需先進(jìn)行必要的簡化。

圖4 ITER矯正場線圈布置圖

對B／TCC線圈以不影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和有效性為前提條件進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象后，得到線圈的幾何尺寸即繞線模輪廓曲線的幾何尺寸，如圖5所示（單位：mm）。以兩段大圓弧的圓心為原點(diǎn)，線圈對稱軸為Y軸，建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系。

以圖形幾何中心O′（0，6466.1mm）為旋轉(zhuǎn)中心，假定實(shí)際導(dǎo)體水平向右進(jìn)給，繞線?？傮w旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，則在正圓弧段（該段圓弧段的圓心與旋轉(zhuǎn)中心位于該圓弧段的同側(cè)時(shí)稱為正圓弧段，如圖5中的圓弧段c3；反之則稱為反圓弧段，如圖5中的圓弧段c6）部分，繞線模應(yīng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，切點(diǎn)為該圓弧段的相應(yīng)極小點(diǎn)；在反圓弧段部分，繞線模應(yīng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，切點(diǎn)為該圓弧段的極大點(diǎn)。當(dāng)直線段部分與X軸平行時(shí)，該直線段上所有點(diǎn)都處于整條輪廓曲線的極小位置，這時(shí)取該直線段的左端點(diǎn)為極小點(diǎn)。于是可按按上述通用方法進(jìn)行處理。

根據(jù)EAST線圈制造中的經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)體進(jìn)給速度為200～400mm／min時(shí)能得到比較高的精度和工作效率。在此取導(dǎo)體進(jìn)給速度為恒定值250mm／min，即v（t）＝250mm／min。通過計(jì)算，可得到工作臺的旋轉(zhuǎn)角度和角速度曲線，如圖6所示。線圈繞制過程中繞線模的位置變化，以及預(yù)彎點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖7所示（圖7中的坐標(biāo)系與圖5一致）。

圖6 B／TCC繞線模的角度和角速度（v（t）＝250mm／min）

從圖6可以看出，在導(dǎo)體均勻進(jìn)給的條件下，繞線模在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的角速度會(huì)存在突變，會(huì)產(chǎn)生剛性沖擊，對繞線機(jī)的控制過程不利，因此必須對導(dǎo)體進(jìn)給速度函數(shù)進(jìn)一步優(yōu)化。

3 結(jié)束語

本文建立了管內(nèi)電纜導(dǎo)體滾彎成形的數(shù)學(xué)模型與動(dòng)態(tài)仿真方法。該數(shù)學(xué)模型與仿真方法具有一定的通用性，對最終實(shí)現(xiàn)線圈繞制過程的精確自動(dòng)控制可以起到很好的指導(dǎo)作用，但還需要結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的調(diào)整與改進(jìn)。

圖7 B／TCC繞線模的變化過程以及預(yù)彎點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡（v（t）＝250mm／min）

［1］ 郁杰.HT－7U超導(dǎo)托卡馬克裝置CICC縱場實(shí)驗(yàn)線圈的研制［D］.合肥：中國科學(xué)院等離子體物理研究所，1999.

［2］ 郁杰，高大明，文軍，等.HT－7U超導(dǎo)專用繞線機(jī)預(yù)彎成形功能的設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)［J］.機(jī)電工程，1999，16（5）：181－183.

［3］ Gao Daming，Yu Jie，Zhu Wenhua，et al.Development of Special Winding Machine for HT－7USuperconducting Tokamak［J］.Plasma Science and Technology，2000，2（1）：133－140.

［4］ 程正興，李水根.數(shù)值逼近與常微分方程［M］.西安：西安交通大學(xué)出版社，2000.

［5］ Foussat A.Update on Correction Coil Design［R］.Hefei：Task Meeting at ASIPP，2008.

［6］ 曾文彬，吳維越.ITER校正場線圈的結(jié)構(gòu)分析［J］.核聚變與等離子體物理，2009，29（3）：264－269.