李康順 ，徐福梅，張文生，湯銘端

(1. 江西理工大學(xué) 信息工程學(xué)院，江西 贛州，341000；2. 華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息學(xué)院，廣東 廣州，510642；3. 中國(guó)科學(xué)院 自動(dòng)化研究所，北京，100190；4. 航天科工集團(tuán) 第二研究院，北京，100854)

蟻群算法最初是由意大利學(xué)者Dorigo等[1-3]提出，它是一種模擬昆蟲(chóng)王國(guó)中螞蟻群體智能行為的仿生優(yōu)化算法，具有較強(qiáng)的魯棒性、優(yōu)良的分布式計(jì)算機(jī)制、易于與其他方法相結(jié)合等優(yōu)點(diǎn)。這種作為一種近年提出的新型優(yōu)化算法，還沒(méi)有像遺傳算法、模擬退火算法等那樣形成系統(tǒng)的分析方法和堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，許多問(wèn)題如算法搜索時(shí)間較長(zhǎng)、在運(yùn)行過(guò)程中容易出現(xiàn)收斂過(guò)早或停滯現(xiàn)象、不能擴(kuò)大解的搜索范圍等[4-8]有待解決。針對(duì)這些缺陷，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)蟻群算法提出大量的改進(jìn)方法[9-13]，如Dorigo提出的Ant colony system (ACS)[1-2]，由 Stutzle和 Hoos提出的Max-min ant system(MMAS)[3]以及李士勇等[4]提出的最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)Best-worst ant system(BWAS)，這些改進(jìn)算法對(duì)提高螞蟻系統(tǒng)(AS)的計(jì)算性能起到一定的促進(jìn)作用。目前，人們對(duì)蟻群算法的研究已經(jīng)由最初單一的旅行商問(wèn)題(TSP)領(lǐng)域滲透到了多個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域，由解決一維靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題發(fā)展到解決多維動(dòng)態(tài)組合優(yōu)化問(wèn)題。對(duì)這種算法的研究結(jié)果表明，它具有廣闊的發(fā)展前景和實(shí)用價(jià)值[14-15]。在此，本文作者在最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出一種基于啟發(fā)式演化算法的最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)。

1 旅行商問(wèn)題(TSP)

旅行商問(wèn)題(TSP)就是指給定 n個(gè)城市和兩兩城市之間的距離，要求確定1條經(jīng)過(guò)各城市當(dāng)且僅當(dāng)1次的最短路線。其圖論描述為：給定圖G=(V, A)，其中V為頂點(diǎn)集，A為各頂點(diǎn)相互連接組成的邊集，已知各頂點(diǎn)間的邊接距離，要求確定 1條長(zhǎng)度最短的Hamilton回路，即遍歷所有頂點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)1次的最短回路。

TSP是典型的易于描述卻難以大規(guī)模處理的NP-hard問(wèn)題，研究如何有效地解決TSP具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。研究TSP的方法有很多，如窮舉搜索法、貪婪法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和遺傳算法等，它們都存在求解效率低、搜索時(shí)間長(zhǎng)，不能利用反饋信息等缺點(diǎn)。蟻群算法是最早應(yīng)用到求解TSP的一種方法，具有分布計(jì)算、信息正反饋和啟發(fā)式搜索的特征，是進(jìn)化算法中一種新型的啟發(fā)式優(yōu)化算法。但是，它同樣存在一些缺點(diǎn)，如算法搜索時(shí)間較長(zhǎng)、運(yùn)行過(guò)程中容易出現(xiàn)收斂過(guò)早或停滯現(xiàn)象、不能擴(kuò)大解的搜索范圍等。受演化算法的啟發(fā)，在最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，本文作者提出一種基于啟發(fā)式演化算法的最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)(IEABWAS)來(lái)求解復(fù)雜TSP的算法，一方面，在該算法中加入啟發(fā)式演化算子，在每次迭代中將最優(yōu)螞蟻與次優(yōu)螞蟻執(zhí)行啟發(fā)式交叉操作，并將這種使用啟發(fā)式演化操作產(chǎn)生的更優(yōu)個(gè)體替代系統(tǒng)中的最差螞蟻，以達(dá)到快速收斂的目的；另一方面，將最優(yōu)-最差螞蟻的更新方式進(jìn)行適應(yīng)性調(diào)整，使搜索更加集中于最優(yōu)解附近，從而提高算法的全局搜索能力。

2 蟻群算法

設(shè)有n個(gè)城市組成的集合C[6]，螞蟻數(shù)目為m，用di,j(i, j=1, 2, …, n)表示城市i和城市j之間的距離，τij表示在t時(shí)刻城市i和城市j之間的路徑上的殘留信息素強(qiáng)度，以此來(lái)模擬實(shí)際螞蟻的分泌物。螞蟻 k(k=1, 2, …, m)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，根據(jù)各條路徑上的信息量決定其轉(zhuǎn)移方向，同時(shí)用禁忌表tabuk(k=1, 2, …, n)來(lái)記錄螞蟻k當(dāng)前所走過(guò)的城市，集合隨著tabuk進(jìn)化過(guò)程進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。在搜索過(guò)程中，螞蟻根據(jù)各條路徑上的信息量及路徑的啟發(fā)信息來(lái)計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。P表示在t時(shí)刻螞蟻k由城市i轉(zhuǎn)移到城市j的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，其表達(dá)式為：

式中：allowedk={C-tabuk}，表示螞蟻k下一步允許選擇的城市；α表示信息啟發(fā)式因子，表示軌跡的相對(duì)重要性，反映螞蟻在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所積累的信息在螞蟻運(yùn)動(dòng)時(shí)所起的作用，其值越大，則該螞蟻越傾向于選擇其他螞蟻經(jīng)過(guò)的路徑，螞蟻之間的協(xié)作性越強(qiáng)；β為期望啟發(fā)式因子，表示能見(jiàn)度的相對(duì)重要性，反映螞蟻在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中啟發(fā)信息在螞蟻選擇路徑中的受重視程度，其值越大，則該狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率越符合貪心規(guī)則；ηij(t )為啟發(fā)函數(shù)，其表達(dá)式為：

為了避免殘留信息素過(guò)多導(dǎo)致殘留信息淹沒(méi)啟發(fā)信息，在每只螞蟻?zhàn)咄?步或者完成對(duì)所有n個(gè)城市的遍歷后，要對(duì)殘留信息進(jìn)行局部更新處理。由此，在t+n時(shí)刻，在城市i和j之間的路徑上的信息量可按如下規(guī)則進(jìn)行調(diào)整：

式中：ρ∈(0,1)表示信息素含量τil( t )隨時(shí)間的推移而衰減的程度；(t)表示本次循環(huán)中城市i和j之間路徑上的信息素增量，初始時(shí)刻 Δ τ(0 )=0，(t)是

ij螞蟻k在本次循環(huán)中在城市i和城市j之間路徑上留下的信息素。

所有螞蟻?zhàn)咄耆砍鞘幸院?，僅對(duì)最優(yōu)路徑上的信息素按式(3)進(jìn)行更新。信息素全局更新公式為：

其中：Lb為本次循環(huán)中最優(yōu)路徑的長(zhǎng)度。

根據(jù)信息素更新策略的不同，Dorigo等[1-2]給出3種不同的基本蟻群算法模型，分別稱為蟻周系統(tǒng)(Ant-cycle system)、蟻量系統(tǒng)(Ant-quantity system)和蟻密系統(tǒng)(Ant-density system)，計(jì)算公式分別見(jiàn)式(4)～(6)。

在蟻周系統(tǒng)(Ant-cycle system)中，

式中：Q為常數(shù)，表示每只螞蟻周游1遍留下的信息總量；Lk為螞蟻k在本次循環(huán)中所走路徑的長(zhǎng)度；

在蟻量系統(tǒng)(Ant-quantity system)中，

在蟻密系統(tǒng)(Ant-density system)中，

蟻密和蟻量系統(tǒng)利用的是局部信息，即螞蟻完成1步更新路徑上的信息素，而蟻周系統(tǒng)用的是整體信息，即螞蟻完成1個(gè)循環(huán)后更新所有路徑上的信息素，在求解TSP中，蟻周系統(tǒng)的性能較好。因此，通常采用蟻周系統(tǒng)作為蟻群算法的基本模型。

3 傳統(tǒng)的最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)

3.1 最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)概念

最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)[6]在蟻群算法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步增強(qiáng)搜索過(guò)程的指導(dǎo)性，使得螞蟻的搜索更集中于到當(dāng)前循環(huán)為止所找出的最優(yōu)路徑的領(lǐng)域內(nèi)。蟻群算法的任務(wù)就是引導(dǎo)問(wèn)題的解向著全局最優(yōu)的方向不斷進(jìn)化。這種引導(dǎo)機(jī)制建立的基礎(chǔ)是解決方案越好，越可能在它的附近找出更優(yōu)的解。因此，將搜索集中于所找出的最優(yōu)解附近是合理的。算法的思想就是對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行更大限度的增強(qiáng)，而對(duì)最差解進(jìn)行削弱，使得屬于最優(yōu)路徑的邊與屬于最差路徑的邊之間的信息素量差異進(jìn)一步增大，從而使得螞蟻的搜索更集中于最優(yōu)解附近。該算法主要修改蟻群系統(tǒng)中的全局更新公式。當(dāng)所有的螞蟻完成1次循環(huán)后，增大對(duì)最差螞蟻路徑的信息素更新。若(i,j)為最差螞蟻路徑中的 1條邊，且不是最優(yōu)螞蟻路徑中的邊，則該邊上的信息素按下式更新：

其中：ε為引入的參數(shù)；Lworst為當(dāng)前循環(huán)中最差螞蟻中路徑長(zhǎng)度；Lbest為當(dāng)前循環(huán)中最優(yōu)螞蟻的路徑長(zhǎng)度；為城市i和城市j之間的信息素軌跡量。

3.2 傳統(tǒng)最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)的不足

傳統(tǒng)最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)對(duì)最差螞蟻所執(zhí)行的全局更新可以改善算法的性能，從而使得最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)的收斂速度比蟻群系統(tǒng)的快，但其存在一定的不足：首先，由于各路徑上的初始信息素相同，螞蟻創(chuàng)建的第1條路徑的引導(dǎo)信息主要是城市間的距離信息，這樣，螞蟻在所經(jīng)過(guò)的路徑上所留下的信息素不一定能反映最優(yōu)路徑的方向，特別是群體中個(gè)體數(shù)目較少或者所計(jì)算的路徑組合較多時(shí)，就更不能保證螞蟻創(chuàng)建的第1條路徑能引導(dǎo)蟻群走向全局最優(yōu)解；其次，在初始階段，最差路徑中可能存在最優(yōu)路徑中沒(méi)有搜索到較好的若干路段。若在初始階段就對(duì)最差螞蟻的路徑信息素進(jìn)行削弱，將會(huì)影響搜索的全局性，阻礙螞蟻搜索到全局最優(yōu)解。

4 基于啟發(fā)式演化算法的最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)(IEABWAS)

為提高算法的全局搜索能力，加快最優(yōu)解的收斂速度，在文獻(xiàn)[6, 8]的基礎(chǔ)上，針對(duì)以上傳統(tǒng)最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)算法的不足，提出以下改進(jìn)措施。

(1) 采用在每次循環(huán)后加入一種啟發(fā)式交叉算子的方式[8]。這種方式不只是單純地進(jìn)行隨機(jī)交叉，而是綜合父代基因，再根據(jù)各個(gè)城市之間的連接關(guān)系的一種啟發(fā)式交叉方式。將最優(yōu)路徑和次優(yōu)路徑進(jìn)行交叉，通過(guò)這種交叉得到的子代有效地繼承父代較好的基因，從而有利于發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解，加快算法的收斂速度。

(2) 在螞蟻運(yùn)行的初始階段，不對(duì)最差螞蟻信息素進(jìn)行削弱，而是在螞蟻運(yùn)行若干代以及大致確定進(jìn)化方向之后，再對(duì)最差螞蟻的信息素進(jìn)行更新，從而削弱最差路徑上的信息量。

將以上2種措施相結(jié)合，對(duì)最差螞蟻信息素實(shí)施調(diào)整，使得搜索更集中于最優(yōu)解附近，并通過(guò)加入啟發(fā)式演化交叉算子得到可行解，有效地繼承父代優(yōu)秀的基因，更進(jìn)一步加強(qiáng)在最優(yōu)解附近的搜索能力，達(dá)到最終加快收斂速度、盡快找到全局最優(yōu)解的目的。

在最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，對(duì)最差螞蟻實(shí)施的信息素更新方式作適應(yīng)性調(diào)整，并且在算法中加入一種啟發(fā)式交叉算子。這種改進(jìn)后的新算法不但加快算法的收斂速度，而且增強(qiáng)尋找全局最優(yōu)解的能力。

4.1 IEABWAS信息素更新

在算法的初始階段執(zhí)行蟻群算法，對(duì)每次循環(huán)后的最差螞蟻不更新信息素。當(dāng)算法運(yùn)行到一定代時(shí)，方向已基本確定(取最大循環(huán)代數(shù)的 1/4，此時(shí)進(jìn)化方向已經(jīng)大致確定)，路徑圖中各條邊上的信息素基本與距離成正比。將最差螞蟻按公式(7)進(jìn)行信息素更新，削弱最差路徑中的信息量，使得螞蟻更傾向于選擇最優(yōu)路徑附近的邊，從而快速地搜索到最優(yōu)解。

4.2 IEABWAS啟發(fā)式交叉算子

在演化計(jì)算中，常見(jiàn)的交叉算子有部分匹配交叉算子PMX、順序交叉算子OX、循環(huán)交叉算子CX等。這些交叉算子帶有很大的隨機(jī)性，不能很好地利用父?jìng)€(gè)體的優(yōu)良性能，最終不能提高尋優(yōu)的速度。因此，本文作者采用一種啟發(fā)式交叉算子。該交叉算子考慮城市之間的連接關(guān)系并很好地繼承父代的優(yōu)秀基因，從而提高尋優(yōu)的速度，加快收斂到全局最優(yōu)解[8]。交叉方式如下：

隨機(jī)選擇2個(gè)父代個(gè)體X=( x1, x2, …, xn)，Y=(y1,y2, …, yn)，將編碼串看作一個(gè)環(huán)行回路[12]。通過(guò)啟發(fā)式交叉算子產(chǎn)生子代child的過(guò)程為：

(1) 隨機(jī)選定1個(gè)城市xi作為交叉的起點(diǎn)，將xi加入到子代child中。

(2) 記當(dāng)前城市c為xi，分別找到X和Y中城市xi的下1個(gè)城市 xi+1和 yj+1，如果 xi+1和 yj+1均不在子代中，并且有d(xi, xi+1)≤d(yi, yi+1)，就將xi+1加入到child中，記當(dāng)前城市c為xi+1，否則，將yi+1加入到child中，并記當(dāng)前城市c為yi+1。

(3) 若xi+1已經(jīng)在子代中，而yj+1不在子代中，則將yj+1作為當(dāng)前城市并加入到子代中；若yi+1已經(jīng)在子代中，而xj+1不在子代中，則將xj+1作為當(dāng)前城市并加入到子代中；若xi+1和yj+1均在子代中，則比較d(xi, xi+2)和 d(yi, yi+2)。

(4) 重復(fù)執(zhí)行步驟(2)，直到完整地生成子代為止。

這種交叉方式得到的子代是可行的，雖然不能保證得到的子代一定比父代優(yōu)，但在很大程度上繼承了父代優(yōu)秀的基因，達(dá)到交叉的目地。實(shí)驗(yàn)表明：此交叉方式對(duì)小規(guī)模的TSP求得最優(yōu)解的效果最明顯，而且能顯著提高收斂速度。對(duì)于大規(guī)模的TSP，此交叉算子也能很快地找到近似最優(yōu)解，并且解的質(zhì)量較好。該交叉方式同樣適用于其他演化算法。

4.3 IEABWAS算法的實(shí)現(xiàn)步驟

根據(jù)以上分析，改進(jìn)的基于啟發(fā)式演化交叉算子的最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下。

(1) 參數(shù)初始化。令時(shí)間t=0和循環(huán)次數(shù)Nc=0，設(shè)置最大循環(huán)次數(shù)Nmax，將m只螞蟻置于n個(gè)城市上，令每條邊上的初始信息量τil(t)=const(其中，const為常數(shù))，且初始時(shí)刻

(2) 對(duì)每只螞蟻隨機(jī)選擇1個(gè)初始位置；

(3) 按式(1)計(jì)算尚未走過(guò)的城市轉(zhuǎn)移概率，采用輪盤(pán)賭方式選擇策略為每只螞蟻選擇下1個(gè)要轉(zhuǎn)移的位置，按式(2)執(zhí)行局部信息素更新；

(4) 重復(fù)步驟(2)，直到所有螞蟻都完成1次遍歷為止；

(5) 計(jì)算每只螞蟻的路徑長(zhǎng)度并排序，分別找到最優(yōu)、次優(yōu)和最差螞蟻并記錄；

(6) 對(duì)最優(yōu)螞蟻按式(3)執(zhí)行全局信息素更新規(guī)則，若算法運(yùn)行到最大循環(huán)代數(shù)的1/4，則對(duì)最差螞蟻按式(7)執(zhí)行信息素更新規(guī)則，否則，不執(zhí)行信息素更新；

(7) 將最優(yōu)螞蟻和次優(yōu)螞蟻路徑執(zhí)行啟發(fā)式演化交叉得到另一條新路徑，并對(duì)所有螞蟻重新排序，將最差螞蟻排除；

(8) 記錄到目前為止最短的路徑，若 Nc＜Nmax，則清空禁忌表繼續(xù)下1輪循環(huán)，否則，輸出最優(yōu)路徑。

表1 不同算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison results of different algorithms

5 數(shù)據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證改進(jìn)的IEABWAS算法對(duì)全局最優(yōu)解的搜索能力和收斂速度，選用國(guó)際通用的 TSP測(cè)試庫(kù)TSPLIB中的Oliver30，Att48，Eil51和Eil75這4個(gè)實(shí)例，用 VC++對(duì)不同的算法進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)，分別進(jìn)行測(cè)試比較。

實(shí)驗(yàn)中設(shè)置的參數(shù)分別為：螞蟻數(shù)目與城市數(shù)目相同，最大循環(huán)代數(shù)為3 000次，啟發(fā)因子α=1，期望因子β=5，信息素?fù)]發(fā)度ρ=0.7，最差螞蟻更新參數(shù)ε=10，總信息量 Q=100。對(duì)各個(gè)實(shí)例分別運(yùn)行 20次，測(cè)試結(jié)果如表1所示，其中ACS算法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)[2]，BWAS算法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)[4]。運(yùn)用 IEABWAS算法，得到 Oliver30，Att48，Eil51和Eil75這4個(gè)實(shí)例的最優(yōu)路徑分別如圖1～4所示。

從表1可以看出，IEABWAS算法無(wú)論是在解的質(zhì)量上還是在求解的速度上，都明顯優(yōu)于傳統(tǒng)蟻群(ACS)算法和最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)(BWAS)算法，表明改進(jìn)算法具有更強(qiáng)的全局搜索最優(yōu)解的能力，而且在收斂速度上也有較大的提高，算法的性能得到提高。

圖1 Olive30的最優(yōu)路徑示意圖Fig.1 Optimal path sketch map of Olive 30

圖2 Att48的最優(yōu)路徑示意圖Fig.2 Optimal path sketch map of Att48

圖3 Eil51的最優(yōu)路徑示意圖Fig.3 Optimal path sketch map of Eil51

圖4 Eil75的最優(yōu)路徑示意圖Fig.4 Optimal path sketch map of Eil75

6 結(jié)論

(1) 提出一種基于啟發(fā)式演化算法的最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)(IEABWAS)算法。與傳統(tǒng)的最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)算法相比，IEABWAS算法的性能得到明顯改善，并具有更強(qiáng)的全局搜索能力和較快的收斂速度。

(2) 算法自適應(yīng)地對(duì)最差螞蟻實(shí)施信息素調(diào)整，以削弱最差解，使搜索更集中于較優(yōu)解附近，從而有效地引導(dǎo)了螞蟻的路徑，提高了算法的全局搜索能力。

(3) 算法在迭代過(guò)程中加入啟發(fā)式演化交叉算子，將這種交叉算子得到的較優(yōu)解來(lái)替代較差解，從而進(jìn)一步加強(qiáng)了對(duì)最優(yōu)解附近的搜索能力。

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