許鑫，何涇沙，石恒華

(1. 北京工業(yè)大學(xué) 計算機(jī)學(xué)院，北京，100124；2. 北京工業(yè)大學(xué) 軟件學(xué)院，北京，100124)

網(wǎng)絡(luò)透視(Network tomography)[1]作為新興的網(wǎng)絡(luò)測量方法已受到很多研究機(jī)構(gòu)[2-7]的關(guān)注。其基本思想是利用統(tǒng)計學(xué)方法，分析端到端的網(wǎng)絡(luò)路徑級屬性信息并推斷網(wǎng)絡(luò)鏈路級屬性信息，以更好地檢測網(wǎng)絡(luò)行為及診斷網(wǎng)絡(luò)的性能變化。Chen等[8]認(rèn)為這種方法將成為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)性能診斷和評估中最受關(guān)注的方法之一。在對基于網(wǎng)絡(luò)透視的鏈路延遲分布推斷研究中，Lo等[9]提出使用端到端多播測量法建立基于邏輯多播樹的離散延遲推斷模型。Shih等[10]提出使用端到端單播測量法建立有限的混合模型，采用最大似然估計(Maximum likelihood estimation, MLE)和期望最大化(Expectation maximization, EM)算法來推斷網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲情況。Xia等[11]對固定和隨機(jī)這2種網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲情況分別進(jìn)行了研究，并對隨機(jī)情況采用混合指數(shù)模型進(jìn)行建模。雖然這些方法可以較精確地推斷出網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲情況，但是，這些都是針對單一發(fā)送端的情況進(jìn)行研究的，對于復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)鏈路性能研究還較少。Bu等[12]提出采用最小方差權(quán)值平均(Minimum variance weighted average, MVWA)方法對多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)鏈路丟包率和延遲分布進(jìn)行研究。通過對每一個邏輯多播樹進(jìn)行單獨(dú)推斷，根據(jù)所獲得的探測包數(shù)量進(jìn)行加權(quán)得到融合結(jié)果。然而，這種方法沒有充分利用來自各邏輯多播樹的路徑數(shù)據(jù)，忽略了其中的關(guān)聯(lián)關(guān)系，造成最終推斷結(jié)果不精確。Rabbat等[13]通過研究網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化，探測包到達(dá)序列及時間同步等來對復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)鏈路丟包率進(jìn)行推斷，該方法的分析過程較復(fù)雜且實(shí)現(xiàn)較困難。由于多播測量能有效節(jié)省帶寬且易于統(tǒng)計推斷[9]，本文作者采用端到端多播測量法進(jìn)行推斷研究。在盡可能充分利用路徑數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，提出一種簡單易行的針對多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲推斷方法。在滿足網(wǎng)絡(luò)平穩(wěn)性、網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲的時間獨(dú)立性和空間獨(dú)立性的假設(shè)下，將復(fù)雜的多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)分解成多個分解單元，并根據(jù)各分解單元所含鏈路數(shù)量的升序依次推斷各分解單元中的網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲分布。

1 多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分解

在滿足網(wǎng)絡(luò)平穩(wěn)性、網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲的時間獨(dú)立性和空間獨(dú)立性的假設(shè)下，本文作者提出分解排序法，即提出將多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)分解為多個單發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的分解單元，并按照各分解單元所含鏈路數(shù)量的升序進(jìn)行排序。

1.1 假設(shè)條件

基于如下假設(shè)[2,9-10]對網(wǎng)絡(luò)延遲分布進(jìn)行推斷研究：

(1) 網(wǎng)絡(luò)平穩(wěn)性。每次測量時網(wǎng)絡(luò)保持平穩(wěn)。

(2) 時間獨(dú)立性。不同數(shù)據(jù)包在同一鏈路上的延遲統(tǒng)計獨(dú)立，并且同分布。

(3) 空間獨(dú)立性。同一數(shù)據(jù)包在不同鏈路上的延遲統(tǒng)計獨(dú)立。

網(wǎng)絡(luò)流量突發(fā)或長時間發(fā)生延遲會造成不同數(shù)據(jù)包之間發(fā)生關(guān)聯(lián)，此時，時間獨(dú)立性不成立；經(jīng)過同一路徑的不同數(shù)據(jù)流會發(fā)生相互影響，此時，空間獨(dú)立性不成立。然而，Lo等[9,14]證明了當(dāng)上述假設(shè)條件不能滿足時，對網(wǎng)絡(luò)性能推斷的影響程度很小。同時，這些假設(shè)又有助于分析網(wǎng)絡(luò)屬性和結(jié)構(gòu)信息，因此，本文作者基于上面的假設(shè)條件進(jìn)行推斷研究。

1.2 分解單元

選擇邏輯多播樹[9]作為研究多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的基本分解單元。定義邏輯多播樹為T = (V, L)(其中：V為節(jié)點(diǎn)集；L為鏈路集)。發(fā)送端節(jié)點(diǎn)作為邏輯多播樹的唯一根節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)對(k, j)表示從節(jié)點(diǎn) k到節(jié)點(diǎn) j的鏈路j。這里，鏈路j對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)就是節(jié)點(diǎn)j，節(jié)點(diǎn)k是節(jié)點(diǎn)j的父節(jié)點(diǎn)。

分解單元如圖1所示，其中：節(jié)點(diǎn)0是發(fā)送端節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)1是分支節(jié)點(diǎn)，并且是節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3的父節(jié)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3是互為兄弟的葉節(jié)點(diǎn)。發(fā)送端鏈路1與鏈路2和鏈路3分別組成路徑1和路徑2。因此，基于網(wǎng)絡(luò)透視的延遲分布推斷模型 Y=AX[2]，根據(jù)可測的路徑i上的延遲Yi(i=1, 2)和已知的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)A，來推斷鏈路j上的延遲Xj(j=1, 2, 3)。

圖1 分解單元Fig.1 Decomposition unit

1.3 分解排序法

設(shè)多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中的發(fā)送端節(jié)點(diǎn)個數(shù)為M，接收端節(jié)點(diǎn)個數(shù)為R，節(jié)點(diǎn)集為V，鏈路集為L。該網(wǎng)絡(luò)將分解出M個分解單元，每個分解單元都包括唯一發(fā)送端鏈路和多個數(shù)據(jù)流共享鏈路。多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分解過程如圖2所示，具有4個發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)將會被分解為4個分解單元，其中：節(jié)點(diǎn)對(S1, 1)，(S2, 1)，(S3, 1)和(S4, 3)分別為發(fā)送端鏈路 S1，S2，S3和S4。由于發(fā)送端節(jié)點(diǎn)S1，S2和S3均向接收端節(jié)點(diǎn)2，4，5，7和8發(fā)送數(shù)據(jù)流，發(fā)送端節(jié)點(diǎn)S4向接收端節(jié)點(diǎn) 4，5，7和 8發(fā)送數(shù)據(jù)流，因此，鏈路j(j=2, …, 8)為數(shù)據(jù)流共享鏈路。節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)3為網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)流匯聚節(jié)點(diǎn)。

設(shè)Sm(m=1, …, M)表示發(fā)送端節(jié)點(diǎn)，Rm表示發(fā)送端節(jié)點(diǎn)Sm發(fā)送的數(shù)據(jù)包所到達(dá)的接收端節(jié)點(diǎn)個數(shù)，且Rm≤R，Tm表示以 Sm為發(fā)送端節(jié)點(diǎn)的分解單元，Vm表示分解單元Tm的節(jié)點(diǎn)集，Lm表示分解單元Tm的鏈路集，并且 Vm?V，Lm?L，Cm表示 Lm中鏈路個數(shù)。分解排序法描述如下：

步驟1 標(biāo)記發(fā)送端節(jié)點(diǎn)并確定分解單元個數(shù)M。

步驟2 劃分出M個分解單元。對于每個發(fā)送端節(jié)點(diǎn)Sm進(jìn)行如下操作：從Sm出發(fā)，尋找由Sm發(fā)送的數(shù)據(jù)包達(dá)到對應(yīng)的所有 Rm個接收端節(jié)點(diǎn)所經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)集Vm和鏈路集Lm，即得到分解單元Tm= (Vm, Lm)。

步驟3 依照每個分解單元Tm所包含的鏈路個數(shù)Cm的升序方式排列各分解單元，完成分解排序過程。

由于C4＜C1=C2=C3，按照上面的分解排序法，圖2中的分解單元排序?yàn)門4T1T2T3。每個數(shù)據(jù)包都標(biāo)記其發(fā)送端節(jié)點(diǎn)，同時，保證其接收端節(jié)點(diǎn)能確認(rèn)該數(shù)據(jù)包的發(fā)送端地址；因此，在多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)中，每個分解單元Tm都可以采集到對應(yīng)Rm條路徑延遲數(shù)據(jù)。通過分析這些路徑延遲數(shù)據(jù)來計算出分解單元Tm的網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲分布。除對第1個分解單元計算外，其余分解單元的計算都是基于前面計算結(jié)果依次進(jìn)行的。在使用相同測量次數(shù)的延遲數(shù)據(jù)時，分解單元Tm含有鏈路個數(shù)Cm越少，計算結(jié)果越精確；因此，采用鏈路個數(shù)較少的分解單元作為最先推斷對象，使得后續(xù)計算能在較好的計算基礎(chǔ)上進(jìn)行修正。

2 分解單元的鏈路延遲分布計算方法

采用離散延遲模型[10]對網(wǎng)絡(luò)中的各分解單元進(jìn)行鏈路延遲分布的計算。在對分解單元中的所有鏈路進(jìn)行拓?fù)浜喕?，使用最大似然估計法[15-16]對該分解單元中的網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲分布參數(shù)進(jìn)行估計。

2.1 離散延遲模型

設(shè)q為離散延遲模型中的量化單元，主要用來量化所有鏈路 j上的延遲 Xj(j=1, …, J)。當(dāng)延遲 Xj在內(nèi)時，則該延遲被量化為dq。其中：量化索引d=0, …, D；D為1個正整數(shù)。當(dāng)d=0時，量化區(qū)間為 ( 0 , 0.5q]。

2.2 分解單元的計算方法

2.2.1 拓?fù)浜喕?/p>

圖2 多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分解Fig.2 Decomposition of multiple-source topology

為便于對分解單元中的各條鏈路延遲分布進(jìn)行參數(shù)估計，提出1種拓?fù)浜喕▉矸治龊吞幚砀麈溌吩谒鶎俜纸鈫卧械耐負(fù)浣Y(jié)構(gòu)。即對于某條鏈路，在其所屬分解單元中尋找通過該鏈路的所有路徑，通過進(jìn)行拓?fù)浜喕沟妹織l鏈路只屬于該分解單元中的某一條路徑。若僅有1條路徑通過，則不需要進(jìn)行拓?fù)浜喕幚怼?/p>

對于某條鏈路j的拓?fù)浜喕枋鋈缦隆?/p>

步驟1 尋找子孫節(jié)點(diǎn)。尋找并標(biāo)記鏈路j對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的所有子孫節(jié)點(diǎn)。

步驟 2 自底向上，逐步合并。在這些子孫節(jié)點(diǎn)中，從深度最大(距離鏈路 j所對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的跳數(shù)最多)的葉節(jié)點(diǎn)開始，先對同父的兄弟節(jié)點(diǎn)進(jìn)行合并，然后，與其父節(jié)點(diǎn)合并。依此類推，直至下一個將合并的節(jié)點(diǎn)為鏈路j對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)為止，此時得到1條路徑。

以圖2分解單元T1中的鏈路3為例，拓?fù)浜喕^程如圖 3所示。在步驟 1中尋找鏈路 3的子孫節(jié)點(diǎn)，鏈路3對應(yīng)節(jié)點(diǎn)3，節(jié)點(diǎn)3的所有子孫節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)4、5，6，7和8。在步驟2中，先合并兄弟葉節(jié)點(diǎn)7和8為節(jié)點(diǎn)(7, 8)，然后，與其父節(jié)點(diǎn)6合并為節(jié)點(diǎn)(6, (7, 8))，再與節(jié)點(diǎn)6的兄弟節(jié)點(diǎn)4，5合并為節(jié)點(diǎn)(4, 5, (6, (7, 8)))，此時，它們的父節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)3，是所求鏈路3的對應(yīng)節(jié)點(diǎn)。可見，中止拓?fù)浜喕?，得到路徑S1-1-3-(4, 5, (6, (7, 8)))。

圖3中節(jié)點(diǎn)(4, 5, (6, (7, 8)))對應(yīng)鏈路的延遲概率可以表達(dá)為：

其中：dj為鏈路j上延遲的量化索引；y1，y2，y3和y4分別為到葉節(jié)點(diǎn) 4，5，7和 8的路徑延遲值，函數(shù)index(x)表示延遲值為x時所對應(yīng)的量化索引。

2.2.2 參數(shù)估計

采用最大似然估計法[15-16]對該分解單元中的網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲分布進(jìn)行參數(shù)估計。

令Y為可測的端到端路徑延遲數(shù)據(jù)。第j條鏈路上延遲Xj的概率為：

因此，在給定完整延遲數(shù)據(jù)X1, …, XT的情況下，X的對數(shù)似然函數(shù)表示為：

通過EM算法求解網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲分布的最大似然估計值。

令 )(k

α 表示第k次估計，最大化第k+1次目標(biāo)方程為：

計算出第 k+1次估計值 α(k+1)，循環(huán)計算，直至得到滿足一定精度的網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲分布的估計值為止。

3 多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲推斷方法

對于整體的多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，提出的推斷過程描述如下。

步驟 1 按照分解排序法分解多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)，得到分解單元的排序；

步驟2 依次選擇分解單元Tm，按照分解單元計算方法對Tm中所有鏈路進(jìn)行拓?fù)浜喕褂闷鋵?yīng)的Rm條路徑延遲數(shù)據(jù)進(jìn)行最大似然估計，計算發(fā)送端鏈路和數(shù)據(jù)流共享鏈路的延遲分布，此時，將數(shù)據(jù)流共享鏈路的延遲分布作為計算下一個分解單元延遲分布的初始值，即下一次計算過程是修正前面的計算結(jié)果。

圖3 拓?fù)浜喕疐ig.3 Topology simplification

步驟3 重復(fù)步驟2，直到完成對所有分解單元的計算為止，從而得到多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中所有鏈路的延遲分布情況。

其中，發(fā)送端鏈路只包含于1個分解單元中，因此，只使用所在分解單元的路徑延遲數(shù)據(jù)進(jìn)行1次計算，而數(shù)據(jù)流共享鏈路可以使用包含它的所有分解單元的路徑延遲數(shù)據(jù)進(jìn)行多次計算。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)平臺

使用 OPNET仿真軟件進(jìn)行多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)延遲實(shí)驗(yàn)。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淙鐖D4所示。節(jié)點(diǎn)對(S1, 1)，(S2, 1)，(S3, 1)和(S4, 3)分別為發(fā)送端鏈路 S1，S2，S3和S4，其余鏈路均為數(shù)據(jù)流共享鏈路。

4.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

圖4中各鏈路的數(shù)據(jù)傳送速率如表1所示，各發(fā)送端節(jié)點(diǎn)發(fā)送的數(shù)據(jù)包屬性如表2所示。實(shí)驗(yàn)仿真時間為1 000 s，選擇量化單元q=0.1，共有40個量化區(qū)間。在每條鏈路上采集1 000個點(diǎn)作為該鏈路延遲的真實(shí)值，并采用同一量化單元q=0.1進(jìn)行量化，統(tǒng)計得到各鏈路延遲的真實(shí)分布情況，用于與本文作者提出的方法的推斷結(jié)果進(jìn)行對比。

根據(jù)分解排序法，得到分解單元的推斷順序?yàn)門4T1T2T3，即：首先計算分解單元T4得到鏈路S4及數(shù)據(jù)流共享鏈路4，5，6，7和8上的延遲分布估計值；將這些數(shù)據(jù)流共享鏈路上的延遲分布估計值作為計算分解單元T1中對應(yīng)鏈路上的延遲分布初始值，以得到鏈路S1及數(shù)據(jù)流共享鏈路2，3，4，5，6，7和8上的延遲分布估計值；將這些數(shù)據(jù)流共享鏈路上的延遲分布估計值作為下一個分解單元 T2中對應(yīng)鏈路上的延遲分布初始值。依此類推，計算得出所有鏈路上的延遲分布估計值。

圖4 多發(fā)送端的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)銯ig.4 Multiple-source network topology

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.3.1 有效性驗(yàn)證

選擇非數(shù)據(jù)流共享鏈路 S1以及數(shù)據(jù)流共享鏈路2，4和8作為代表鏈路進(jìn)行分析。圖5所示為這4條鏈路上的延遲分布真實(shí)值和估計值的對比結(jié)果。

如圖5(a)所示，對于非數(shù)據(jù)流共享鏈路S1，只使用分解單元T1進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲分布估計，雖然沒有多次估計修正過程，但是網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲分布估計值已經(jīng)能較好模擬真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的變化情況。

設(shè)Pd和Qd分別表示當(dāng)量化索引為d時數(shù)據(jù)流共享鏈路 j上的延遲分布真實(shí)值和估計值，根據(jù)計算鏈路j的Pd和Qd之間的差異，其中，數(shù)據(jù)流共享鏈路4和8共進(jìn)行了4次估計，結(jié)果如表3所示。

表1 各鏈路上數(shù)據(jù)傳送速率Table 1 Data rate of each link

表2 各發(fā)送端節(jié)點(diǎn)發(fā)送的數(shù)據(jù)包屬性Table 2 Packet properties of each source

圖5 鏈路延遲分布真實(shí)值和估計值的對比Fig.5 Comparisons between true and estimated values of links delay distribution

對于數(shù)據(jù)流共享鏈路，對真實(shí)值與多次修正的估計值進(jìn)行對比，結(jié)果如圖 5(b)～(d)所示?？梢姡好看涡拚Y(jié)果總體上都更趨近于真實(shí)的延遲分布情況。鏈路4和鏈路8上的延遲真實(shí)值和估計值之間的差異如表3所示，可見：鏈路4和8的每次估計都使得真實(shí)值和估計值的差異減小。圖5也顯示出每次修正后的變化趨勢。

表3 鏈路4和鏈路8上的延遲真實(shí)值和估計值之間的差異Table 3 Difference between true and estimated values of delay for Link 4 and Link 8

在對多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲分布進(jìn)行推斷研究時，要充分考慮所有分解單元中的數(shù)據(jù)流對網(wǎng)絡(luò)性能的影響。從圖4可見：該網(wǎng)絡(luò)中的4個發(fā)送端節(jié)點(diǎn)所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)流共同影響其數(shù)據(jù)流共享鏈路，因此，只使用其中某個分解單元的路徑數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，則推斷結(jié)果只是受該分解單元中數(shù)據(jù)流影響的粗略估計值。但是，若在滿足網(wǎng)絡(luò)平穩(wěn)性、網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲時間獨(dú)立性和空間獨(dú)立性的假設(shè)條件下，使用其余分解單元的路徑延遲數(shù)據(jù)對該分解單元的粗略估計值進(jìn)行多次迭代修正，則會使推斷結(jié)果更符合網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的真實(shí)情況。

4.3.2 與MVWA方法的比較

采用本文作者提出的方法與 MVWA方法[12]所得的鏈路延遲分布比較結(jié)果如圖6所示。鏈路延遲分布概率越大，精度越高。從圖6可見：作者提出的方法優(yōu)于MVWA方法。由于MVWA方法只是通過對每個邏輯多播樹進(jìn)行單獨(dú)計算，雖然考慮了所有數(shù)據(jù)流的影響，但是，這種較簡單的通過加權(quán)得到估計值的方法卻降低了精度。而作者提出的方法在沒有增加計算復(fù)雜度的情況下，充分利用了路徑數(shù)據(jù)，通過多次估計修正達(dá)到較高的精度。

圖6 本文方法與MVWA方法鏈路延遲分布概率的比較Fig.6 Comparisons of probability of links delay distribution between method in this paper and MVWA method

5 結(jié)論

(1) 提出一種網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲分布推斷方法來解決復(fù)雜的多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部延遲推斷問題。該方法將復(fù)雜的多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)分解成多個簡單的分解單元，并按照各分解單元所含鏈路個數(shù)的升序計算各分解單元網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲分布。

(2) 每個分解單元的計算是在完成拓?fù)浜喕幚砗?，使用最大似然估計法進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)鏈路延遲分布的估計。由于對每個分解單元的數(shù)據(jù)流共享鏈路延遲分布的計算，都是基于前面估計結(jié)果進(jìn)行修正，因此，數(shù)據(jù)流共享鏈路延遲分布的真實(shí)值和估計值之間的差異逐漸減小，即推斷結(jié)果逐漸趨近于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的真實(shí)情況。

(3) 與MVWA方法相比，本文作者所提出的方法能更精確地推斷出多發(fā)送端拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部鏈路延遲情況，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

[1] Vardi Y. Network tomography: estimating source-destination traffic intensities from link data[J]. American Statistical Association, 1996, 91: 365-377.

[2] Castro R, Coates M J, LIANG Gang, et al. Network tomography:recent developments[J]. Statistical Science, 2004, 52(3):499-517.

[3] Duffield N G. Network tomography of binary network performance characteristics[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(12): 5373-5388.

[4] Shih M, Hero A O. Hierarchical inference of unicast network topologies based on end-to-end measurements[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55(5): 1708-1718.

[5] JIN Xing, TU Wang-qing, Gary Chan S H. Scalable and efficient end-to-end network topology inference[J]. IEEE Transaction on Parallel and Distributed System, 2008, 19(6): 837-850.

[6] Duffield N G, Lo Presti F, Paxson V, et al. Network loss tomography using striped unicast probes[J]. IEEE/ACM Transaction on Networking, 2006, 14(4): 691-710.

[7] Sharma G, Jaggi S, Dey B K. Network tomography via network coding[C]//Masimo F. IEEE Information Theory and Applications Workshop. Piscataway: IEEE, 2008: 151-157.

[8] CHEN Ai-you, CAO Jin, BU Tian. Network tomography:identifiability and Fourier domain estimation[C]//IEEE INFOCOM. Anchorage: IEEE, 2007: 1875-1883.

[9] Lo P F, Duffield N G, Horowitz J, et al. Multicast-based inference of network-internal delay distributions[J]. IEEE/ACM Transactions on Networking, 2002, 10(6): 761-775.

[10] Shih M, Hero A O. Unicast-based inference of network link delay distributions with finite mixture models[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2003, 51(8): 2219-2228.

[11] Xia Y, Tse D. Inference of link delay in communication networks[J]. IEEE Journal on Selected Areas in Communications,2006, 24(12): 2235-2248.

[12] Bu T, Duffield N G, Lo Presti F, et al. Network tomography on general topologies[C]//Richard M. Proceeding of the ACM SIGMETRICS. Marina Del Rey: ACM Press, 2002: 21-30.

[13] Rabbat M G, Coates M J, Nowak R D. Multiple-source Internet tomography[J]. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 2006, 24(12): 2221-2234.

[14] Caceres R, Duffield N G, Horowitz J, et al. Multicast-based inference of network-internal loss characteristics[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1999, 45(7): 2462-2480.

[15] LIANG Gang, YU Bin. Maximum pseudo likelihood estimation in network tomography[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2003, 51(8): 2043-2053.

[16] Tsang Y, Nowak R. Network tomography in theory and practice[D]. Houston: Rice University. Department of Electrical and Computer Engineering, 2005.