劉世清

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 前 言

在超聲振動切削、超聲冷拔絲及拉管等功率超聲應用技術領域[1-2]，通常使用大功率縱向復合超聲換能器系統(tǒng).徑向振動大功率管(柱)形超聲換能器具有輻射面積大、輻射效率高以及徑向輻射均勻無指向性等特點，在大容量工業(yè)超聲清洗、超聲波污水處理、生物柴油制備以及超聲化學和超聲藥物成分萃取等液態(tài)介質處理領域獲得廣泛的應用[3-6].

目前,廣泛使用的大功率徑向振動超聲換能器主要有德國Hielscher公司的UIP16000系列大功率柱形超聲換能器；美國Crest Group公司的push-pull管形超聲換能器等[7].國內(nèi)一些研究機構對此類換能器振動模態(tài)及輻射聲場特性也開展了深入的研究[8-9].上述大功率柱形超聲換能器主要通過縱-徑振動耦合來獲得徑向振動的能量輸出.由于振動耦合的復雜性，常借助于有限元數(shù)值方法進行分析與設計.

文獻[10]對復合管壓電超聲換能器振動特性進行了研究.該復合管超聲換能器通過直接驅動金屬管內(nèi)部的徑向極化壓電陶瓷管來產(chǎn)生徑向振動，因而具有較高的機電轉換及聲輻射效率.然而，理論得到的復合管換能器共振及反共振頻率方程為含有一階一類和二類Bessel函數(shù)的復雜超越方程，只能得到數(shù)值解.由于頻率方程涉及特殊函數(shù)而且參數(shù)多，求解過程相當復雜，必須借助于計算機來完成，工程設計極為不便.

事實上，工程應用中為提高復合管換能器的輻射效率和有效機電耦合系數(shù)，其外部金屬預應力管通常為薄壁管.為簡化這類換能器的工程設計，本文主要從彈性力學理論出發(fā)，對這種薄壁預應力管結構復合壓電換能器振動特性進行了進一步的分析.依據(jù)機電類比原理，建立薄壁預應力管徑向復合壓電換能器的等效電路模型，得出其共振和反共振頻率方程的完全解析式，并進行了實驗驗證.

圖1 徑向復合管壓電超聲換能器示意圖

1 預應力管復合壓電換能器徑向振動分析

圖1所示為徑向復合管壓電換能器，由壓電陶瓷圓管與薄壁金屬預應力管徑向復合而成.其內(nèi)部的壓電陶瓷圓管為徑向極化，外部的金屬預應力管為壓電陶瓷管提供足夠大的徑向預應力，以增大換能器的功率密度及功率容量.使用中的壓電陶瓷管通常為薄壁短圓管，管壁厚度遠小于其直徑.圖1中:r0表示內(nèi)部壓電陶瓷管的平均半徑；a，b分別表示外部金屬預應力管的外半徑和內(nèi)半徑；換能器的高度為h，并甚小于管直徑，即換能器徑長比較大，因而可不計其徑長振動耦合；E3表示徑向激勵電場.若外部激勵電場使換能器達到徑向機械諧振狀態(tài)，則此時換能器管壁厚度及其長度方向的振動可忽略而只認為其作平面徑向振動.下面的理論分析均基于上述假設.

圖2 薄壁金屬圓管徑向振動示意圖

1.1 薄壁預應力管徑向振動機電類比等效電路

(1)

由方程式(1)，并利用關系式Tθ=ESθ及Sθ=ξr/R0，考慮到圓管受到內(nèi)部壓電陶瓷管的簡諧驅動力F1=Fmaxexp(jωt)作用，進一步可得管的徑向振動方程為

(2)

式(2)中，M=2πR0ρht及CM=R0/(2πhtE)分別為圓管的等效質量及彈性柔性常數(shù).對于簡諧振動，徑向振動位移可表示為

ξr=ξmaxexp(jωt).

(3)

(4)

圖3 薄壁短圓管徑向振動機電類比等效電路

圖4 薄壁預應力管復合壓電超聲換能器等效電路

1.2 換能器等效電路

對于薄壁壓電短圓管的徑向振動等效電路，筆者在文獻[10]中進行了研究.不計損耗，利用壓電陶瓷管與金屬預應力管接觸面處徑向力與振動速度連續(xù)的邊界條件，可得徑向復合管壓電超聲換能器的徑向振動等效電路如圖4所示.

2 換能器頻率方程

工程應用中，由于換能器的負載通常難以確定，在設計時便將換能器當作無負載的自由振動處理，相當于換能器機械端短路.由等效電路圖4可得復合管壓電超聲換能器輸入導納為

(5)

式(5)中，ω為換能器徑向振動圓頻率.換能器共振條件為Im(1/Yin)=0.由式(5)得復合換能器的徑向共振頻率方程為

(6)

反共振頻率方程為

(7)

式(6)～式(7)中：ωr=2πfr;ωa=2πfa;fr,fa分別為換能器的徑向共振及反共振頻率.

有效機電耦合系數(shù)是表征壓電換能器機電轉換能力的重要參數(shù)，其定義為

(8)

式(8)中:fp,fs分別表示壓電超聲換能器的并聯(lián)和串連諧振頻率；fmax,fmin分別為換能器的最大和最小導納頻率.當換能器的機械品質因素較高、機械損耗較小時，近似地有fmax≈fr及fmin≈fa.

由式(6)～式(8)可得，復合管壓電換能器有效機電耦合系數(shù)的解析表達式為

(9)

顯然，頻率方程式(6)、反共振頻率方程式(7)以及換能器有效機電耦合系數(shù)表達式(9)均為初等代數(shù)式，且完全解析.它們反映了換能器的徑向共振和反共振頻率以及有效機電耦合系數(shù)與換能器幾何尺寸及材料參數(shù)之間的關系，是換能器設計的理論依據(jù).

作為算例，對常用的鋼、鈦及鋁材料預應力管復合換能器徑向振動諧振頻率及其有效機電耦合系數(shù)與預應力管半徑比的關系進行了理論計算，結果如圖5、圖6所示.材料參數(shù)分別為：

2) 鋼:ρ=7 800 kg/m3,E=2.09×1011N/m2,v=0.28;

3) 鋁:ρ=2 700 kg/m3,E=7.15×1010N/m2,v=0.34;

4) 鈦:ρ=4 500 kg/m3,E=1.16×1011N/m2,v=0.32.

預應力管內(nèi)半徑b=26 mm，外半徑a=γb，γ為半徑比，長度均為40 mm.

從圖5可以看出，徑向復合壓電換能器的徑向共振頻率并非隨其外部預應力管壁厚度增加而單調(diào)下降，而是存在一共振頻率峰.此外，該頻率峰對應的半徑比值以鋼制預應力管復合換能器最大，鋁制預應力換能器管最小.這是由于鋼的彈性常數(shù)較大的緣故.而換能器的有效機電耦合系數(shù)隨預應力管外殼半徑比的增大而單調(diào)減小，在同樣半徑比情況下，鋁制預應力管換能器有效機電耦合系數(shù)比鈦制預應力管換能器高，如圖6所示.

圖5 換能器徑向共振頻率與預應力管半徑比的關系

圖6 換能器有效機電耦合系數(shù)與預應力管半徑比的關系

3 實 驗

為驗證本文理論，設計制作了一些不同尺寸的復合管換能器樣品.金屬預應力管材料均為鋁；徑向極化壓電陶瓷管材料為PZT-4，其高度和內(nèi)、外徑分別為30，42及52 mm.

利用阻抗分析儀PV70A對樣品進行掃頻，測得復合管換能器徑向共振基頻如表1所示.表1中：ft1為文獻[10]中頻率方程算得的結果；ft2為本文頻率方程式(6)算得的結果；fmax為實驗測量值;Δ=(fmax-ft2)/fmax為本文理論與實驗誤差.

從表1可以看出，對于薄壁預應力管復合壓電換能器，利用本文理論算得的復合管壓電換能器徑向共振頻率與實驗結果吻合較好.與利用文獻[10]中的頻率方程算得的共振頻率相比誤差更小.誤差一方面是由于在理論分析中忽略了徑長振動耦合；另一方面材料標準值與實際會有差別.

圖7為本文理論與文獻[10]的理論計算得到的換能器徑向共振基頻及測量結果與預應力管半徑比的關系.從圖7可以發(fā)現(xiàn)，當預應力管的半徑比γ較小時(此處約小于1.5)，本文理論結果與文獻[10]的數(shù)值結果差別很小.但隨著預應力金屬管半徑比γ的增大，兩者之間的差異逐漸變大，這是因為偏離了薄壁假設條件.

表1 換能器徑向共振基頻理論與測量結果

圖7 換能器共振頻率理論與實驗對比

4 結 論

建立了薄壁預應力管徑向復合壓電換能器的徑向振動機電類比等效電路模型，給出了換能器徑向共振與反共振頻率方程以及有效機電耦合系數(shù)的表達式，并探討了換能器共振頻率及有效機電耦合系數(shù)與其預應力管半徑比的關系.所得理論結果是完全解析的，初等的.用于工程設計極為便利.

對于薄壁短圓管彈性振子，其純徑向振動模式時可完全等效為一個集中參數(shù)的彈簧質量振動系統(tǒng)模型，即相當于一個徑向彈簧.此外，要獲得較高的有效機電耦合系數(shù)，徑向復合換能器的預應力外殼應選用輕金屬材料.

理論與實驗表明，當換能器的預應力管外徑與內(nèi)徑之比小于1.5，即預應力管壁厚小于其半徑的1/3時，換能器徑向共振頻率的實驗誤差小于5%，滿足工程應用需要.

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