杜玲玲

(杭州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，浙江 杭州 310036)

0 引 言

譜估計(jì)理論中的一個(gè)基本問題是如何估計(jì)power spectrum.由于此問題在理論上的重要性和實(shí)際應(yīng)用的廣泛性，其數(shù)值解法研究已成為計(jì)算數(shù)學(xué)和優(yōu)化領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一[1-4].原問題可以表述為一個(gè)無限維的優(yōu)化問題，其求解是一個(gè)難題.進(jìn)一步，求解帶上界約束的譜估計(jì)問題顯得更為困難.一類重要求解思想是通過對(duì)偶原理將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限維問題，并進(jìn)一步歸結(jié)為一個(gè)含有mid被積函數(shù)的非線性方程組問題[5].類似的積分函數(shù)也同樣出現(xiàn)在由半無限變分不等式轉(zhuǎn)化的、等價(jià)的方程形式中.本文針對(duì)文獻(xiàn)[5]中引進(jìn)的一類積分函數(shù)，主要研究其半光滑(強(qiáng)半光滑)性，它們?cè)谒惴ㄊ諗啃苑治鲋衅痍P(guān)鍵作用.利用這些性質(zhì)，可以建立關(guān)于求解原問題Newton型算法的超線性(二次)收斂性[6].

1 預(yù)備知識(shí)

先介紹半光滑函數(shù)概念.

設(shè)G:Rn→Rm在Rn上Lipschitz連續(xù)，則易知G的Clarke意義下的廣義Jacobian ?G(x)均存在[7].

2)對(duì)任意h→0和Q∈?G(x+h),都有‖G(x+h)-G(x)-Qh‖=o(‖h‖).

‖H(x+h)-H(x)-Qh‖=O(‖h‖1+p),

2 主要結(jié)果

考慮

F(λ)=(F1(λ),F2(λ),…,Fn(λ))T.

(1)

式(1)中,

其中:λ=(λ1,λ2,…,λn)T∈Rn;Φ(x)=(φ1(x),φ2(x),…,φn(x))T;mid函數(shù)定義為

記fix(λ)=Ψx(λ)φi(x),則

|fix(λ+h)-fix(λ)|= |Ψx(λ+h)-Ψx(λ)||φi(x)|≤

|(λ+h)TΦ(x)-λTΦ(x)||φi(x)|≤‖Φ(x)‖|φi(x)|‖h‖.

(2)

記:

Ω1(λ)={x∈Ω:λTΦ(x)<0

Ω2(λ)={x∈Ω:0

Ω3(λ)={x∈Ω:0<λTΦ(x)

Ω4(λ)={x∈Ω:λTΦ(x)=0};

Ω5(λ)={x∈Ω:λTΦ(x)=B(x)}.

不難知道，

(3)

所以，由式(2)和式(3)知

(4)

進(jìn)一步，有如下結(jié)果:

定理1設(shè){φ1(x),φ2(x),…,φn(x)}在Ω上線性無關(guān),且λ∈Rn{0}滿足μ(Ω5(λ))=0,則F(5)在λ處可導(dǎo)，且

(5)

其中Ξ(x)=Φ(x)Φ(x)T.

證明 因?yàn)閧φ1(x),φ2(x),…,φn(x)}線性無關(guān)且λ≠0，故μ(Ω4(λ))=0.進(jìn)一步，由式(4)和條件μ(Ω5(λ))=0，得到Fi(5)在λ處可導(dǎo)，且

由此知F(5)在λ處可導(dǎo)且式(5)成立.定理1證畢.

定理2F(5)在λ∈Rn處半光滑.

證明 只需證明對(duì)?i∈{1,2,…,n}，F(xiàn)i(5)在λ處半光滑即可.易知，對(duì)?x∈Ω，fix(λ)=Ψx(λ)φi(x)關(guān)于λ為半光滑的.進(jìn)一步，對(duì)?x∈Ω和λ∈Rn，

由此易知?fix(λ)關(guān)于(x,λ)為上半連續(xù)的.進(jìn)一步，從

|fix(λ+h)-fix(λ)|≤‖Φ(x)‖|φi(x)|‖h‖

和‖Φ(x)‖|φi(x)|在緊集Ω上的有界性,知fix(5)在λ處(關(guān)于x∈Ω一致地)Lipschitz連續(xù).由文獻(xiàn)[11]中命題 2.1知，F(xiàn)(λ)在λ處半光滑.定理2證畢.

另一方面，由

和

知

定理4設(shè)Φ(x)=(φ1(x),φ2(x),…,φn(x))T是一基向量，且φi(x)(i=1,2,…,n)在Ω上至少n-1-階連續(xù)可導(dǎo).設(shè)φ1(x)≡1,B(x)≡B. 如果對(duì)?x∈Ω4(λ)∪Ω5(λ)，

det(Φ(x),Φ(1)(x),Φ(2)(x),…,Φ(n-1)(x))≠0,

(6)

由此

(7)

(8)

(9)

所以，由式(7),式(8)和式(9)有

(10)

另一方面， 對(duì)?x∈Ω4(λ)∪Ω5(λ)，有det(Φ(x),Φ(1)(x),Φ(2)(x),…,Φ(n-1)(x))≠0.顯然，對(duì)?x∈Ω4(λ)，存在kx≤n-1,使得

(11)

對(duì)?x∈Ω5(λ)，存在kx≤n-1,使得

(12)

(13)

參考文獻(xiàn)：

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