桂 華

中位數(shù)與眾數(shù)是統(tǒng)計與概率中新增的教學(xué)內(nèi)容，在日常聽課中發(fā)現(xiàn)許多教師往往把教學(xué)重點放在它們的定義和求法上，而對其在統(tǒng)計學(xué)上的意義和作用很少提及。因此，常常出現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)后會說什么是中位數(shù)與眾數(shù)；會求中位數(shù)與眾數(shù)，卻不能很好根據(jù)生活實際選擇和運用。在教學(xué)中如何把握住中位數(shù)與眾數(shù)是一種反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量的本質(zhì)進行教學(xué)?如何將算法的理解與統(tǒng)計學(xué)水平的理解整合起來?關(guān)鍵是要抓住這些概念作為統(tǒng)計量的本質(zhì)含義設(shè)計教學(xué)和提問。現(xiàn)將“秀峰課堂”活動中對北師大版五年級下冊的《中位數(shù)和眾數(shù)》進行的前后兩次教學(xué)實踐片段進行比較與分析。我們會對這點可能有更為直觀的認識。

片段一：為什么學(xué)習(xí)中位數(shù)與眾數(shù)

[原教學(xué)]

小王看到一則招聘廣告：

“大地超市工作人員月平均工資1000元，現(xiàn)招工作人員，有意者請面談!”(見表1)

仔細觀察表1，你發(fā)現(xiàn)了什么?

教師概括得出結(jié)論：因受兩個極端數(shù)據(jù)的影響，平均數(shù)1000不能真實地反映超市工作人員的月工資水平。

[調(diào)整后的教學(xué)]

學(xué)校隨機抽了五(1)和五(2)班各11名同學(xué)進行跳繩比賽。要知道哪一組的跳繩水平高，怎么辦?

1.根據(jù)統(tǒng)計跳繩的個數(shù)，算出平均數(shù)(四舍五入)。

五(1)班平均數(shù)101個；五(2)班平均數(shù)100個。

結(jié)論：五(1)班水平高。

2.下面是兩組的跳繩成績情況(見表2、表3)：

你現(xiàn)在的想法還和剛才一樣嗎?為什么?

平均數(shù)表示的是什么水平?(平均水平)分別有多少個人達到了這個水平呢?為什么會這樣呢?(引出中位數(shù)和眾數(shù)。)

[思考]中位數(shù)和眾數(shù)是在現(xiàn)實需要的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和學(xué)習(xí)的統(tǒng)計量。因此必須把中位數(shù)和眾數(shù)放在有意義的現(xiàn)實情景中進行教學(xué)。教師設(shè)計的看廣告找工作的問題情景。雖有其可取之處。但“平均數(shù)代表的是怎樣的水平?”“應(yīng)該尋找怎樣的數(shù)據(jù)來代表這組數(shù)據(jù)水平呢?”其意義的“聯(lián)結(jié)點”對學(xué)生而言是很難直接建立的。我們把備課的焦點落到平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)是一種反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量的本質(zhì)上。在調(diào)整后的教學(xué)設(shè)計中，讓學(xué)生比較兩組跳繩水平高低的情景，該設(shè)計不僅貼近學(xué)生的生活實際和認知水平，更為重要的是凸顯了平均數(shù)作為統(tǒng)計量的意義。為學(xué)生理解中位數(shù)和眾數(shù)也是一種統(tǒng)計量的學(xué)習(xí)埋下了伏筆。精心設(shè)計的兩組跳繩數(shù)據(jù)讓學(xué)生一眼便可以看出實際上是五(2)班的跳繩水平高，與原有認知產(chǎn)生了矛盾。教師并沒有急于讓學(xué)生去尋找用哪個數(shù)來表示他們的跳繩水平，而是設(shè)計了幾個提問：平均數(shù)101或100表示的是什么水平?有多少個人達到了這個水平呢?為什么會這樣呢?引發(fā)學(xué)生對平均數(shù)不能代表跳繩水平問題的深入思考，體驗到平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)概念的本質(zhì)：它們都是用來表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，哪種特征數(shù)能代表這組數(shù)據(jù)的絕大多數(shù)。就選用它來說明、評價、分析實際問題。幫助學(xué)生建立起了尋找新的數(shù)據(jù)來代表這組數(shù)據(jù)水平的“聯(lián)結(jié)點”，解決了教學(xué)的難點。

片段二：什么是中位數(shù)與眾數(shù)

[原教學(xué)]

1.你想用哪個數(shù)來表示工作人員月工資水平呢?

(請大家觀察這些數(shù)據(jù)的特點，小組討論交流，說說你們的意見。)

2.講解中位數(shù)和眾數(shù)。

學(xué)生有多種方法，當學(xué)生匯報出取中間那個數(shù)650，老師馬上給予肯定，并請同學(xué)們?nèi)∫粋€名字叫中位數(shù)，解釋將一組數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列。中間的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。眾數(shù)教法同上。

這三個數(shù)都表示這組數(shù)據(jù)的特征。但是作為應(yīng)聘者，你們應(yīng)該關(guān)注哪個數(shù)據(jù)更合適呢?

3.引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)中發(fā)現(xiàn)問題，進一步探究中位數(shù)和眾數(shù)。

[調(diào)整后的教學(xué)]

1.你想用哪個數(shù)來表示五(1)班同學(xué)的跳繩水平?你是怎樣想的?

(學(xué)生說，教師記錄學(xué)生的數(shù)據(jù)。)

除了平均數(shù)外，數(shù)學(xué)上還有兩種統(tǒng)計量可以表示一組數(shù)據(jù)的特征，那就是中位數(shù)和眾數(shù)。

2.初步認識中位數(shù)和眾數(shù)。

①引導(dǎo)學(xué)生抓住“中位”和“眾”字與剛才的情景相結(jié)合，讓學(xué)生自己得出什么是中位數(shù)和眾數(shù)。

②找出兩個班跳繩成績的中位數(shù)和眾數(shù)。

3.思考：①這三個數(shù)都可以表示一組數(shù)據(jù)的特征，要比較這兩組同學(xué)的跳繩水平，你會選用哪種數(shù)?

②如果要用平均數(shù)表示這兩組數(shù)據(jù)特征，你會對這兩組數(shù)據(jù)分別做怎樣的改動?數(shù)據(jù)變動后，中位數(shù)和眾數(shù)有什么變化嗎?

4.質(zhì)疑。大家初步了解了這兩個數(shù)據(jù)，你對這兩種數(shù)還有什么疑問嗎?

和全班同學(xué)一起來研究解決：①遇到一組數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)的數(shù)列怎么找中位數(shù)?②出現(xiàn)多個重復(fù)的數(shù)據(jù)而且重復(fù)次數(shù)一樣的，怎么確定眾數(shù)?

[思考]兩次教學(xué)教師沒有直接給出中位數(shù)和眾數(shù)的概念，而是讓學(xué)生在觀察、分析、討論的基礎(chǔ)上逐步得出。但第一次教學(xué)教師關(guān)注的是引出中位數(shù)和眾數(shù)，對學(xué)生提出的常用方式：例如去掉極端數(shù)求平均數(shù)的方法沒有給予肯定，老師精心設(shè)計的幾組數(shù)據(jù)，看似以學(xué)生為主體的教學(xué)設(shè)計，但猶如一道道陷阱牽制著學(xué)生的思維。調(diào)整后的教學(xué)，教師對學(xué)生提出想用哪個數(shù)來表示跳繩水平給予記錄，并對好的方法及時肯定。接著用規(guī)范的語言告訴學(xué)生：數(shù)學(xué)上還有兩種統(tǒng)計量可以表示一組數(shù)據(jù)的特征，那就是中位數(shù)和眾數(shù)。明確點出了其統(tǒng)計學(xué)的意義。再讓全班學(xué)生在具體情景中去尋找和理解。特別是其中的提問：“眾數(shù)說明的是一種什么現(xiàn)象?中位數(shù)能反映什么情況?”引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)據(jù)的代表”本質(zhì)意義上去理解中位數(shù)和眾數(shù)。在進一步探索中位數(shù)和眾數(shù)時僅用了一個簡單的問題：你對這兩種數(shù)還有什么疑問嗎?激起了學(xué)生思維的漣漪。我們在設(shè)計中也有顧慮，學(xué)生能提出問題嗎?然而在實際教學(xué)中，學(xué)生雖不會用規(guī)范的語言描述：“遇到一組數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)的數(shù)列怎么找中位數(shù)?”但仍是那樣的精彩。“萬一是1、2、3、4、5、6、7、8怎么找中間哪個數(shù)呢?”……簡單的提問給了學(xué)生更大的思維空間，促使學(xué)生自主地圍繞“中位數(shù)和眾數(shù)”的概念去思考。為了能讓學(xué)生進一步體驗平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各自的特點，我們還設(shè)計了讓學(xué)生改變數(shù)據(jù)使平均數(shù)能很好地代表跳繩水平的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體驗到平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個數(shù)據(jù)均有關(guān)系，其中任何數(shù)據(jù)的變動都會相應(yīng)引起平均數(shù)的變動。中位數(shù)則僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動對它沒有影響；眾數(shù)著眼于對各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)的考察，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分數(shù)據(jù)有關(guān)。

從上述的教學(xué)片段比較分析中，我們可以看到調(diào)整后的教學(xué)始終從平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的概念本質(zhì)進行教學(xué)的設(shè)計和提問，取得了很好的教學(xué)效果，絕大部分學(xué)生不僅能很好根據(jù)問題選擇和運用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，并能用自己的語言從統(tǒng)計量的意義來闡述理由。

(責(zé)編林劍)