彭劍秋 劉成龍 彭 攀 劉 林

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 四川成都 610031)

1 概述

鐵路建設(shè)不僅指新線建設(shè)同時(shí)還包括既有線的改建,而既有線的改建就涉及到鐵路實(shí)際線形的測(cè)量,目前通常采用軌檢尺結(jié)合全站儀的方法得到鐵路的相對(duì)線形。而鐵路實(shí)際線形的測(cè)量應(yīng)該包括鐵路絕對(duì)線形和相對(duì)線形的測(cè)量,只有這樣才能全面評(píng)價(jià)鐵路線路的實(shí)際狀態(tài)和平順性。鐵路線路實(shí)際線形的測(cè)量與計(jì)算,一直是鐵路建設(shè)和管理的重要問題,也是鐵路線路測(cè)量技術(shù)中倍受關(guān)注的問題之一。為了得到既有鐵路的實(shí)際線形,需要建立全線統(tǒng)一的測(cè)量控制網(wǎng),再在統(tǒng)一的測(cè)量控制網(wǎng)中測(cè)量線路離散點(diǎn)的坐標(biāo)。有了鐵路線路直線段、圓曲線段和緩和曲線段的離散點(diǎn)坐標(biāo),就可以采用最小二乘原理,擬合出鐵路線路直線段、圓曲線段和緩和曲線段的實(shí)際線形,從而實(shí)現(xiàn)整條線路實(shí)際線形的測(cè)量和擬合計(jì)算。下面介紹按照上述思路進(jìn)行鐵路線路實(shí)際線形測(cè)量和計(jì)算的原理。

2 軌道線形測(cè)量控制網(wǎng)的建立

軌道線形測(cè)量控制網(wǎng)是鐵路軌道線形測(cè)量的基礎(chǔ),它關(guān)系到軌道實(shí)際線形測(cè)量的方法和精度。目前軌道線形測(cè)量控制網(wǎng)普遍采用分級(jí)布網(wǎng)的原則布設(shè),一般情況下應(yīng)分三級(jí)布設(shè),分別為CPⅠ、CPⅡ和CPⅢ網(wǎng)。CPⅠ是軌道線形測(cè)量的首級(jí)平面控制網(wǎng),點(diǎn)對(duì)間距一般為4 000 m左右,測(cè)量精度為GPS C級(jí)網(wǎng)；CPⅡ是軌道線形測(cè)量的二級(jí)平面控制網(wǎng),點(diǎn)間距一般為1 000 m左右,測(cè)量精度為GPS D級(jí)網(wǎng)或四等附合導(dǎo)線,CPⅡ應(yīng)附合到CPⅠ上；CPⅢ是軌道線形測(cè)量的三級(jí)平面控制網(wǎng),對(duì)有砟鐵路而言點(diǎn)間距宜在150～200 m之間,測(cè)量精度為五等附合導(dǎo)線,CPⅢ應(yīng)附合到CPⅡ上。CPⅢ控制點(diǎn)宜埋設(shè)在路肩上,以方便軌道的線形測(cè)量，軌道線形測(cè)量控制網(wǎng)宜在軌道線形測(cè)量前建網(wǎng)。有砟鐵路線形測(cè)量三級(jí)平面控制網(wǎng)布設(shè)如圖1所示。

圖1 有砟鐵路線形測(cè)量三級(jí)平面控制網(wǎng)示意(單位：m)

3 軌道點(diǎn)坐標(biāo)的測(cè)量及其精度

為了反映既有軌道的實(shí)際線形,必須采集既有軌道上特定點(diǎn)的坐標(biāo)。由于鐵路軌道的軌距定義為左右兩軌道頂面內(nèi)側(cè)下方16 mm處的距離,因此既有軌道特定點(diǎn)的坐標(biāo),應(yīng)該是軌道頂面內(nèi)側(cè)下方16 mm處的坐標(biāo)。為了測(cè)量軌道頂面內(nèi)側(cè)下方16 mm處的坐標(biāo),必須設(shè)計(jì)制作專用的軌道坐標(biāo)測(cè)量棱鏡支架,如圖2所示。將專用的軌道坐標(biāo)測(cè)量棱鏡支架卡在軌道頂面,則圓棱鏡與軌道內(nèi)側(cè)接觸的地方,剛好是軌道頂面內(nèi)側(cè)下方16 mm處。由于圓棱鏡的半徑值是固定的已知值,因此只要測(cè)量出軌道上多個(gè)圓棱鏡中心的坐標(biāo),就可以反映所測(cè)軌道的線形。

圖2 軌道坐標(biāo)測(cè)量棱鏡支架示意(單位：mm)

軌道點(diǎn)坐標(biāo)的測(cè)量,可以依據(jù)軌道線形測(cè)量控制網(wǎng),即在CPⅢ控制點(diǎn)上架設(shè)全站儀,用極坐標(biāo)法測(cè)量出軌道上各點(diǎn)的平面坐標(biāo)。下面分析極坐標(biāo)法得到的軌道點(diǎn)坐標(biāo)的測(cè)量精度。

由極坐標(biāo)測(cè)量公式可知,軌道上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)xi、yi可以表示為

(1)

式中：XCPⅢ、YCPⅢ為測(cè)站點(diǎn)的坐標(biāo)；S為測(cè)站點(diǎn)到棱鏡點(diǎn)的水平距離；A為設(shè)站點(diǎn)到后視點(diǎn)的坐標(biāo)方位角；α為測(cè)站上測(cè)量得到的后視與前視方向間的夾角。

由式(1)微分并整理得

(2)

式中,ρ=206 265″。由誤差傳播定律可知,軌道點(diǎn)xi、yi，坐標(biāo)的中誤差mxi、myi可以表示為

(3)

若不顧及CPⅢ控制點(diǎn)的點(diǎn)位誤差、后視方位角的中誤差、儀器對(duì)中和整平誤差,式(3)可以表示為

(4)

則實(shí)測(cè)軌道點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差為

(5)

結(jié)合式(4)、式(5),當(dāng)A+α=45°或135°時(shí),sin2(A+α)=cos2(A+α),此時(shí)mxi=myi。

若以測(cè)角標(biāo)稱精度為2″、測(cè)距標(biāo)稱精度為2 mm+2×10-6D的普通全站儀測(cè)量軌道點(diǎn)坐標(biāo),同時(shí)考慮到CPⅢ控制點(diǎn)的點(diǎn)間距最大為200 m,把上述有關(guān)數(shù)據(jù)帶入式(4)、式(5),可計(jì)算出軌道點(diǎn)點(diǎn)位中誤差最大為±3.09 mm。

通過上面分析和精度估算可知,在CPⅢ控制點(diǎn)上設(shè)站,采用全站儀極坐標(biāo)法測(cè)量鐵路軌道坐標(biāo)實(shí)際上是可行的,而且測(cè)量精度較高,為鐵路的實(shí)際線形計(jì)算打下了良好的基礎(chǔ)。

4 軌道實(shí)際線形的計(jì)算原理

任意一條鐵路都是由直線、圓曲線、緩和曲線三種線元構(gòu)成的,三種線元都可以視為不完整緩和曲線的特例。軌道實(shí)際線形的計(jì)算,就是采用上面介紹的方法,在線路坐標(biāo)系下采集軌道某一線元上若干離散點(diǎn)的坐標(biāo),然后通過采集到的若干測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo),擬合出該線元的線形,以及整條線路的線形。

下面將逐一介紹直線、圓曲線和緩和曲線三種線元線形擬合計(jì)算的數(shù)學(xué)模型。

4.1 直線線形擬合計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

鐵路線路中最簡(jiǎn)單的線元為直線,直線的線形擬合可按以下方法進(jìn)行。由直線線元上采集得到的軌道點(diǎn)坐標(biāo)以及數(shù)學(xué)公式可知,直線線元上某一點(diǎn)的誤差方程可寫為

yi=kxi+b+vi(i=1,2,…,n)

(6)

或

vi=yi-(kxi+b) (i=1,2,…,n)

(7)

由于直線線元上各點(diǎn)的觀測(cè)方程是按誤差方程的形式開列的,因此應(yīng)采用間接平差的方法求出直線線元的擬合系數(shù)。由直線線元上采集的各點(diǎn)坐標(biāo)及其誤差方程,可組成間接平差誤差方程的矩陣形式為

(8)

按最小二乘法原理[3],可得法方程為

(9)

式中,N=BTB,其秩為R(N)=R(B)=t,亦即N非奇異,存在凱利逆N-1,所以法方程的解唯一為

(10)

那么,待求直線線元參數(shù)的最優(yōu)解為

(11)

4.2 圓曲線線形擬合計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

鐵路線路需要轉(zhuǎn)變方向時(shí),最主要的曲線線元是圓曲線,下面介紹圓曲線線形的擬合方法。由數(shù)學(xué)公式可知,圓曲線上任一點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(x-XO)2+(y-YO)2=R2

(12)

其中,(XO,YO)為圓心O的坐標(biāo)；R為圓曲線的設(shè)計(jì)半徑。

長(zhǎng)期的自我封閉，讓留守兒童厭惡與人交往，出現(xiàn)問題都藏在心底，不愿意參加集體活動(dòng)，導(dǎo)致性格孤僻冷淡。從家庭的角度分析，只有強(qiáng)化父母的法定監(jiān)護(hù)責(zé)任，完善監(jiān)護(hù)制度，減少父母對(duì)孩子的無形傷害，才能切實(shí)保護(hù)留守兒童的身心健康發(fā)展。

圓曲線上第i個(gè)測(cè)量點(diǎn)p(xi,yi)i∈(1,2,…n)到圓心的距離為

(13)

則Ri與R的差值為di=Ri-R,也即

[(xi-Xo)2+(yi-Yo)2]-R2=

(Ri+R)(Ri-R)=(Ri+R)di≈2Rdi

(14)

將上式整理后得

(15)

令上式中

上式中R0為圓曲線半徑R的近似值,則式(15)為

di=axi+byi+c-li

(16)

由圓曲線線元上測(cè)量的各點(diǎn)坐標(biāo)及其上式,可組成圓曲線線形擬合計(jì)算誤差方程的矩陣形式(見式(8))。

根據(jù)最小二乘法原理和式(8),可求解出a、b、c；因而,可進(jìn)一步求解出半徑R與圓心O的坐標(biāo)(XO,YO)

(17)

4.3 緩和曲線線形擬合計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

鐵路線路在直線和圓曲線之間,一般要加設(shè)緩和曲線。我國(guó)鐵路緩和曲線采用的參數(shù)方程為[1]

(18)

其中：xi、yi為緩和曲線上任意點(diǎn)i在以直緩點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、以直緩點(diǎn)的切線方向?yàn)閤軸和與x軸相垂直且方向指向曲線內(nèi)側(cè)為y軸的局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo),li為該點(diǎn)到直緩點(diǎn)的緩和曲線長(zhǎng),l0為緩和曲線的全長(zhǎng)。

根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]以及有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí),緩和曲線上任一點(diǎn)i在局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)yi,也可以表示為

(19)

其中,Xi、Yi為緩和曲線上第i點(diǎn)在線路坐標(biāo)系下的坐標(biāo),k、b為線路坐標(biāo)系下過直緩點(diǎn)切線的斜率與切距。由式(19)可知,在獲得緩和曲線上任一點(diǎn)的線路坐標(biāo)和過直緩點(diǎn)切線的斜率以及切距的情況下,就可以知道該點(diǎn)在局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)yi。

根據(jù)式(18)中的第二式,緩和曲線上任一點(diǎn)i以及該點(diǎn)的下一點(diǎn)(i+1)的y坐標(biāo)[1],還可以表示為

(20)

為開列誤差方程以及運(yùn)用最小二乘擬合出緩和曲線的最佳線形,可將式(20)中的兩式整理為

(21)

(22)

將緩和曲線上采集的各點(diǎn)坐標(biāo)及其曲線長(zhǎng)近似值代入上式,就可組成緩和曲線線形擬合誤差方程的矩陣形式(見式(8))。

按最小二乘法原理,可得緩和曲線長(zhǎng)的最優(yōu)解為

按照上述方法測(cè)量和計(jì)算出鐵路線路直線、圓曲線和緩和曲線三個(gè)線元的線形,就可以得到整條線路的實(shí)際線形。

5 應(yīng)用實(shí)例

基于上述鐵路實(shí)際線形的測(cè)量和計(jì)算原理,采用visual C#2003計(jì)算機(jī)語言編制了鐵路線路線形擬合計(jì)算程序。該程序在讀取線路上測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)后,能夠計(jì)算出鐵路線路實(shí)際線形的要素,包括圓曲線的半徑、緩和曲線長(zhǎng)度、切線長(zhǎng)、曲線長(zhǎng)、外矢距、切曲差以及五大樁的坐標(biāo)等。

為驗(yàn)證本文所提出的鐵路實(shí)際線形計(jì)算方法的正確性,選取某段鐵路的設(shè)計(jì)線形并繪制在AUTOCAD上,然后提取該設(shè)計(jì)線形上的直線、緩和曲線和圓曲線上的離散點(diǎn)坐標(biāo),輸入到本文研制的鐵路線路擬合計(jì)算程序中,計(jì)算該段線路的圓曲線的半徑、緩和曲線長(zhǎng)度、切線長(zhǎng)、曲線長(zhǎng)、外矢距、切曲差以及五大樁的坐標(biāo)等線形參數(shù),發(fā)現(xiàn)擬合計(jì)算的線形參數(shù)與設(shè)計(jì)的線形參數(shù)完全相等,由此證明本文提出的線形擬合計(jì)算模型在理論上是正確和嚴(yán)密的,所研制程序的計(jì)算結(jié)果也是正確的。

6 結(jié)論

(1)本文提出了一種鐵路軌道實(shí)際線形控制測(cè)量及其離散點(diǎn)坐標(biāo)測(cè)量的思路和方法,理論分析表明該方法在目前具有較強(qiáng)的操作性,測(cè)量精度能夠滿足軌道線形測(cè)量和分析的要求,可以在鐵路軌道實(shí)際線形測(cè)量中推廣應(yīng)用。

(2)利用在軌道上直接測(cè)量得到的離散點(diǎn)坐標(biāo),分別提出了軌道直線、圓曲線以及緩和曲線線形擬合計(jì)算的數(shù)學(xué)模型。理論分析和實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果表明,這些數(shù)學(xué)模型能夠擬合出鐵路常見直線和曲線的線形,可用于既有鐵路實(shí)際線形測(cè)量和新建鐵路竣工線形測(cè)量的線形擬合計(jì)算。

[1]王兆祥.鐵道工程測(cè)量[M].北京：中國(guó)鐵道出版社,2003：228-233.

[2]吳耀庭.鐵路曲線及其養(yǎng)護(hù)[M].北京：中國(guó)鐵道出版社,2001：47-48

[3]武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院測(cè)量平差學(xué)科組.誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社,2003：102-104

[4]張正祿.工程測(cè)量學(xué)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社,2005：163-169

[5]彭壯志,虞欣.一種多圓目標(biāo)的聯(lián)合檢測(cè)方法[J].測(cè)繪科技情報(bào),2007(4)：3-7

[6]鐵建設(shè)[2006]189號(hào) 客運(yùn)專線無砟軌道鐵路工程測(cè)量暫行規(guī)定[S]