秦松濤

(吉首大學(xué) 信息管理與工程學(xué)院，湖南 張家界 427000)

Elton,Gruber和Padlberg三人在單因素模型的假設(shè)下，推導(dǎo)出求最佳投資比例的計(jì)算公式 （簡稱EGP方法）。Ross在1976年提出了資產(chǎn)收益率受多個(gè)因素影響的套利定價(jià)模型（APT），多因素模型比單因素模型許多方面更加優(yōu)越而倍受人們的喜愛。本文導(dǎo)出多因素模型在允許賣空和不允許賣空的情況下最佳投資比例公式，從而推廣了EGP方法。

1 多因素模型下最佳投資比例公式

（1）多因素模型

設(shè)有I1，I2，…，Ik共k種不相關(guān)的經(jīng)濟(jì)因素共同影響資產(chǎn)收益，建立風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率受這k種經(jīng)濟(jì)因素共同影響的多因素模型

其中 Ri是第 i種資產(chǎn)在 t時(shí)期的收益率，I1，I2， …，Ik是這 k 種經(jīng)濟(jì)因素在 t時(shí)期的實(shí)現(xiàn)值，βil(l=1，2，…，k)是第 i種資產(chǎn)收益率對(duì)第l種經(jīng)濟(jì)因素的敏感系數(shù)，它是Ri受Il的一定變化所導(dǎo)致的平均變化程度，αi是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i在報(bào)酬中獨(dú)立于這k種經(jīng)濟(jì)因素的部分，εi是實(shí)際觀察到的報(bào)酬與回歸線性方程： 的偏差。

不難計(jì)算這種多因素模型中隨機(jī)變量Ri的數(shù)字特征

（2）允許賣空時(shí)的最佳投資比例

設(shè)投資組合P包含n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率是rf，Wi表示投資組合P在第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的權(quán)重，則由均值方差理論應(yīng)滿足

重寫(5)式可得

將(2)，(3)式代入(6)式得

（9）式 i=1，2，…，n 共表示 n 個(gè)方程，對(duì)第 j個(gè)方程兩邊同乘以βj1，然后對(duì)這樣作的n個(gè)方程相加，得下列方程組的第一個(gè)方程，同理可得其它方程

以上方程組(10)是關(guān)于 的 k元一次方程組，當(dāng)其系數(shù)行列式D不為零時(shí)有唯一解，設(shè)為：

其中(R/V)i是夏普業(yè)績指數(shù)，它計(jì)量了第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)每單位風(fēng)險(xiǎn)的超額報(bào)酬，夏普建議將它用作一般證劵組合和特定共同基金的過去業(yè)績的一種指標(biāo)。而Gi反映的是第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在多因素模型(1)下關(guān)于各貝它系數(shù)、資產(chǎn)本身的標(biāo)準(zhǔn)差的函數(shù)，是風(fēng)險(xiǎn)的一種指標(biāo)度量。

由(12)知風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)權(quán)重的比W1:W2:…:Wn=x1:x2:…:xn=z1:z2:…:zn，是與目標(biāo)收益率μ無關(guān)的常數(shù)的比，對(duì)于這n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的任何組合這個(gè)比例都是不變的，這個(gè)比例與理性投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好無關(guān)，它是所有投資者共同追求的最有效的投資結(jié)果，這個(gè)比例就叫最佳投資比例。

（3）不允許賣空時(shí)的最佳投資比例

當(dāng)不允許賣空時(shí)，投資組合各風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的權(quán)重Wi≥0，亦即 xi=2Wi÷λ≥0，求解方程（6）變成解下列庫恩-塔克條件：

(b)xiUi=0 (c)xi≥0 且 Ui≥0 (i=1，2，…，n)

其中Ui是為保證非負(fù)性而添加的松弛變量。由（b）可知如果xi＞0則必有Ui=0，即當(dāng)不存在第i種資產(chǎn)賣空時(shí)，Ui從等式（a）中消失。 如果 Ui＞0，則由（b）保證 xi=0，因此賣空的資產(chǎn)所占比例可設(shè)為零，而不用負(fù)數(shù)。 將（2），（3）式代入（a）可得

合并后得

如果將風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)分成兩組，第1組投資組合包含n1種xi＞0的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，第2組包含n-n1種xi=0的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，那么對(duì)于第一組Ui=0，(13)式寫成

與允許賣空推導(dǎo)一樣，也可得公式(12)

實(shí)際計(jì)算當(dāng)允許賣空時(shí)，若第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)夏普業(yè)績指數(shù)(R/V)i小于它的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)Gi，按公式(12)投資于該種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為負(fù)數(shù)，因而應(yīng)該按照這種比例賣空該種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，用其所得連同本身資金買進(jìn)其他夏普業(yè)績指數(shù)(R/V)i大于它的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)Gi的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。

當(dāng)不允許賣空時(shí)，凡夏普業(yè)績指數(shù)(R/V)i小于它的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)Gi的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，則應(yīng)當(dāng)從投資組合中剔除；而(R/V)i大于它的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)Gi的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，都選入投資組合中。

將(12)所提供的最優(yōu)投資比例單位化，即使最優(yōu)投資比例的權(quán)數(shù)之和為1，得投資于第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)化最優(yōu)投資比例為：

其中當(dāng)允許賣空時(shí)m=n；當(dāng)不允許買空時(shí)等于夏普業(yè)績指數(shù)(R/V)i大于或等于它的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)Gi的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的個(gè)數(shù)。

2 多因素模型實(shí)證分析

從上海證券市場(chǎng)選取上海汽車、同仁堂、齊魯石化、虹橋機(jī)場(chǎng)和武鋼股份五支股票進(jìn)行投資組合，收集這五支股票從2000年到2003年除去漲停板后的199個(gè)周收益率數(shù)據(jù)，不考慮股票的分紅與拆股。用目前銀行活期周利率0.01385%作為無風(fēng)險(xiǎn)收益率。

采用主成分分析的方法確定因素。從上海證券市場(chǎng)隨機(jī)地選取100支股票，并把這100支股票隨機(jī)地分成10組，每組10支股票。賦予每支股票相同的權(quán)重，以每組10支股票每期的算術(shù)平均值作為該組該期的收益率 (叫組內(nèi)收益率)，對(duì)這樣得到的10組組內(nèi)收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析。計(jì)算組內(nèi)收益率相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值和特征向量。

前三個(gè)主成分的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率達(dá)到了91.91%，基本上反映了原始數(shù)據(jù)提供的信息，因此取前三個(gè)主成分作為多因素模型中的因素。

以確定的各個(gè)因素為解釋變量，以風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上海汽車、同仁堂、齊魯石化、虹橋機(jī)場(chǎng)和武鋼股份的收益率為被解釋變量分別進(jìn)行回歸，得線性回歸方程(1)中數(shù)據(jù)：

當(dāng)不允許賣空時(shí)，虹橋機(jī)場(chǎng)的夏普業(yè)績指數(shù)(R/V)i小于Gi，因而投資組合中應(yīng)當(dāng)剔除這種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而保留其他四種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。通過公式(12)計(jì)算出各風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最佳投資比例：

當(dāng)允許賣空時(shí)，對(duì)于夏普業(yè)績指數(shù)(R/V)i小于Gi的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)虹橋機(jī)場(chǎng)，股票的最佳投資比例是負(fù)數(shù)，因而應(yīng)該賣空這種股票，用其所得連同其擁有資產(chǎn)買進(jìn)上海汽車、同仁堂、齊魯石化、武鋼股份四種股票，其最佳投資比例為：

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