韋程東，韋 師，蘇 韓

(廣西師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，南寧 530023)

0 引言

Poisson分布是概率論中一種重要離散分布，在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，例如，某地區(qū)在一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)、某醫(yī)院在一天內(nèi)急診病人數(shù)、某一地區(qū)一個時間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)、在一個時間間隔內(nèi)某種放射物質(zhì)發(fā)出的、經(jīng)過計算器的α粒子數(shù)等都服從Poisson分布。對Poisson分布的研究不僅在某些方面可以提高工作效率,還可以提高經(jīng)濟效益,因此對Poisson分布的研究具有重要的理論價值和實際意義。

國內(nèi)外對Poisson分布已有一定的研究,王德輝等[1]研究了熵損失下Poisson分布參數(shù)倒數(shù)的估計，俆寶等在文獻[2]中研究了Poisson分布參數(shù)倒數(shù)在一種對稱損失下的Bayes估計，荊雷[3]在其碩士學(xué)位論文中,在Q-對稱熵損失函數(shù)下研究了Poisson分布的參數(shù)估計,韋瑩瑩等[4]討論了Q-對稱熵損失下Poisson分布參數(shù)倒數(shù)的估計問題。而張睿[5]已研究了復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下正態(tài)分布及指數(shù)分布的參數(shù)估計并證明其可容許性。本文主要在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下，研究Poisson分布參數(shù)λ的Bayes估計。并舉出具體的例子說明其應(yīng)用性，最后通過數(shù)值分析來驗證該Bayes估計的合理性。

設(shè)隨機變量X服從參數(shù)λ的Poisson分布，則其分布律為

當(dāng)隨機變量 X 服從(1)式的 Poisson分布時,設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來自總體X 的容量n的隨機i:i:d樣本,(x1，x2，…，xn)為其觀測值，則其聯(lián)合密度函數(shù)為

在文獻[5]中張睿提出的復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)，其表達形式如下

很顯然該損失函數(shù)的函數(shù)不僅是非負的，且該損失函數(shù)是 嚴 格 凸 函 數(shù) 。 事 實 上 由 于 L (θ，δ)=e-a(θ-δ)+ea(θ-δ)-2≥22=0，所以損失函數(shù)的函數(shù)是非負的。又在式(3)中對 δ 求偏導(dǎo)得 L'(θ，δ)=ae-a(θ-δ)-aea(θ-δ)。 任取 0＜δ1＜δ2,那么就有:

即 L'(θ，δ1)-L'(θ,δ2)＜0,所以對稱損失函數(shù) L(θ,δ)關(guān)于 δ 是嚴格凸函數(shù)。

1 參數(shù)λ的Bayes估計

在這一節(jié)，我們討論參數(shù)λ的Bayes估計。記X=(X1;X2;…，Xn),對任意先驗分布,λ 的Bayes估計為 δ(X)n(E(eaλ|X)/E(e-aλ|X)),這可由下面的定理得到。

定理1 在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)(3)下，對任何先驗分布 π(λ)，λ 的 Bayes估計為：

證明 設(shè)δ(x)為λ的任一估計，在損失函數(shù)(3)下，由定義得 δ(x)的 Bayes風(fēng)險為

上式左端 E[L(λ，δ)]表示的是關(guān)于 λ 與樣本 X1，X2，…,Xn的聯(lián)合分布取期望，所以要求λ的Bayes解，只要求極小化E{[e-a(λ-δ)+ea(λ-δ)-2]|X}即可。 令

再對其關(guān)于δ求導(dǎo)并令其等于0即：

所以函數(shù)g(δ)是關(guān)于δ的嚴格凸函數(shù)。從而知δ(x)是函數(shù)g(δ)唯一的極小值點，所以 λ 的 Bayes解為 δ(x)n(E(eaλ|X)/E(e-aλ|X))。

選取 Γ(α，β)為 Poisson分布參數(shù) λ的先驗分布，則先驗分布的密度函數(shù)為

由Bayes公式得參數(shù)λ的后驗密度為

則Poisson分布參數(shù)λ的Bayes估計，可由如下定理得出。

定理2 在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)(3)下，對于先驗分布為 Γ(α，λ)，Poisson 分布參數(shù) λ 的 Bayes估計為：

下面證明該Bayes估計的兼容性，先引進一個引理：

引理1[6]給定一個統(tǒng)計決策問題,δ(x)是一個決策函數(shù)。若δ(x)是某個先驗分布π(λ)下的唯一的Bayes決策函數(shù)，則δ(x)必是次統(tǒng)計決策問題的容許決策函數(shù)。

由于復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)是嚴格的凸函數(shù)，所以在此損失函數(shù)下的Bayes估計也是唯一的，則由引理1可得該Bayes估計是可容許的。

2 舉例

例1 已知某細胞單位所含白血球的個數(shù)服從Poisson分布，對1008個細胞單位進行觀察，數(shù)據(jù)見表1。

表1 白血球分布情況

其中k表示細胞單位含白血球的個數(shù),nk表示1008個觀測單位中，含k個白血球的細胞單位個數(shù)。

根據(jù)這些數(shù)據(jù)用第1節(jié)所給出的參數(shù)λ的Bayes估計，估計出白血球所服從的Poisson分布的參數(shù)λ。取a=2,計算結(jié)果見表2。

例2某實驗室在2608個相等時間單位內(nèi)觀察了一種放射性物質(zhì)所釋放出來的α-粒子的個數(shù)，結(jié)果如下表所示：其中頻數(shù)nk表示在2608個時間單位中釋放出k個粒子的時間單位的個數(shù)。

表2 參數(shù)λ的Bayes估計

表3 白血球分布情況

表4 參數(shù)λ的Bayes估計

根據(jù)這些數(shù)據(jù)用第1節(jié)所給出的參數(shù)λ的Bayes估計，估計出這種放射性物質(zhì)所釋放出來的α-粒子所服從的Poisson分布的參數(shù)λ。取a=2,計算結(jié)果見表4。

從例1(單位細胞中白血球的分布)和例2(放射性物質(zhì)釋放的α-粒子的分布)我們可以看到Poisson分布參數(shù)的Bayes估計在實際生活中的應(yīng)用，此外Poisson分布參數(shù)的Bayes估計還可以應(yīng)用到郵遞遺失的信件數(shù)、醫(yī)院急診病人數(shù)、交通事故的次數(shù)等實際生活中。

通過例1中的Table2中參數(shù)λ的Bayes估計的估計值可以顯示，參數(shù)λ的Bayes估計很穩(wěn)定，橫向極差最大只有0.005,而縱向極差最大也僅有0.009。所以從統(tǒng)計決策穩(wěn)健性的角度去考慮，該估計值很穩(wěn)健。

通過例2中的Table4中參數(shù)λ的Bayes估計的估計值可以顯示，參數(shù)λ的Bayes估計也很穩(wěn)定，橫向極差最大只有0.001，而縱向極差最大也僅有0.004。所以從統(tǒng)計決策穩(wěn)健性的角度去考慮，該估計值復(fù)合統(tǒng)計決策中估計的穩(wěn)健性。

根據(jù)以上的數(shù)值分析我們可以驗證本文所研究的Poisson分布的Bayes估計是合理的。

[1]王德輝,賴民,宋立新.熵損失下Poisson分布參數(shù)倒數(shù)的估計[J].吉林大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報,2000,(4).

[2]徐寶,于春艷,孫憲軍.一種對稱損失下Poisson分布參數(shù)倒數(shù)的Bayes估計[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2006,(3).

[3]邢蕾.Q―對稱熵損失函數(shù)下的Poisson分布的參數(shù)的估計[D].長春:吉林大學(xué)碩士學(xué)位論文,2006.

[4]韋瑩瑩,韋程東,薛婷婷.Q-對稱熵損失下Poisson分布參數(shù)倒數(shù)的估計[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,24(2).

[5]張睿.復(fù)合LINEX損失下的參數(shù)估計[D],大連:大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文,2007.

[6]范金城，吳可法.統(tǒng)計推斷導(dǎo)引[M].北京：科學(xué)出版社，2001.