劉令濤,焦永和,張春林， 趙自強

(北京理工大學 機械與車輛學院, 北京 100081)

內平動齒輪傳動是少齒數(shù)齒輪傳動的一種,具有傳動比大、體積小、重量輕、性能可靠、傳動效率高、承載能力大、運轉平穩(wěn)等優(yōu)點. 目前內平動齒輪多采用漸開線齒形,它存在自身的缺點：傳動時,齒面之間的滑動摩擦較大,而且又是兩個凸面相接觸,接觸的單位壓力大,齒面較易磨損；因為受到根切的限制,漸開線齒輪的設計齒數(shù)不能太少,因此在傳動比要求大時,機構尺寸相對較大[1-2].

擺線齒輪以其無根切、體積小、傳動平穩(wěn)、重合度大等優(yōu)點更多地被應用到一些精度要求很高的場合,在軍械、鐘表等行業(yè)應用很廣泛. 將全擺線齒形用于內平動齒輪代替原有的漸開線齒形應用于內平動齒輪傳動裝置中,這種全擺線齒輪的齒廓完全由內外擺線構成,沒有通常的齒頂和齒根,基圓和分度圓重合[3].

國內對平動齒輪傳動的研究很多,但僅限于漸開線齒形,對擺線齒形的研究幾乎處于空白. 為了將這種全擺線齒輪應用于平動齒輪機構中,有必要對其進行深入研究[3]. 壓力角是度量一個機構傳動力性能好壞的重要指標,在機構受力分析、效率計算和優(yōu)化設計中都是一個非常重要的參數(shù). 作者推導了全擺線齒輪齒廓上任一點的壓力角計算公式,并得出了變化規(guī)律及與其它參數(shù)的關系.

1 全擺線齒輪壓力角的推導

(1)

式中θ為直線MO與軸x的夾角.

圖1 全擺線齒輪的壓力角

在坐標系x1Oy1中,其內擺線AB的參數(shù)方程為

(2)

式中θ′為直線NO與軸x1的夾角.

在PA段,設其上任一點M的法線為Fn1,斜率為k1,則

(3)

(4)

設該點的壓力角為α1,則

(5)

將式(3)(4)帶入式(5)，可以得到外擺線壓力角α1的計算公式為

α1=arctan|tan[R1/(2r1)]θ|，

θ∈[0,2πr1/R1].

(6)

同理在AB段,可以得到內擺線上任一點N的壓力角α2的計算公式為

α2=arctan |tan [R1/(2r2)]θ′|，

θ′∈[0,2πr2/R1].

(7)

2 全擺線齒輪壓力角的影響參數(shù)

2.1 全擺線齒輪的重合度

ε=(πr1+πr2)/p=0.5.

(8)

圖2 全擺線齒輪的嚙合線

為了確保全擺線齒輪傳動的連續(xù)性,必須使用斜齒擺線齒輪來代替直齒.

2.2 滾圓半徑不同時的壓力角

應用全擺線齒輪的壓力角計算公式(6)和式(7),通過選取模數(shù)m、齒數(shù)z和滾圓半徑r,在Matlab軟件中編制程序來繪制全擺線齒輪一個輪齒的壓力角變化曲線,找出影響壓力角大小的參數(shù).

圖3所示為全擺線齒輪的模數(shù)m=10mm,z=20,r1,r2分別取不同值時,其一個輪齒傳動中壓力角的變化曲線圖.

圖3 滾圓半徑不同時輪齒的壓力角變化曲線

由圖3可知全擺線齒輪的壓力角隨著轉角的變化呈線性變化；根據(jù)受力分析可知,齒輪的壓力角越小,主動輪推動從動輪轉動的有效分力越大,對傳動越有利,即傳動效率高,但是機械強度差；齒輪壓力角越大,主動輪推動從動輪轉動的有效分力越小,對傳動越不利,即傳動效率低,但機械強度高；而當壓力角接近90°時,則基本認為主動輪對從動輪的轉動不起作用. 由于全擺線齒輪的壓力角在[0,90°]范圍內連續(xù)變化,在內擺線和外擺線的交點處,壓力角α=0,主動輪推動從動輪的力全部有效；在全擺線齒輪的齒頂和齒根處,其壓力角α=90°,此時主動輪齒輪傳遞失效,為齒輪傳動的最不利點. 因此,在實際應用中,必須修正齒廓的齒頂和齒根處曲線,使壓力角小于90°,而且其壓力角的變化范圍越小越好,以保證傳動的穩(wěn)定性.

在齒頂齒廓和齒根齒廓上,全擺線齒輪壓力角的變化速率并不相同,反映在圖中即為直線的斜率不同；當且僅當r1=r2時,壓力角在整個齒廓的變化速率才始終保持一致.

2.3 滾圓半徑相同時的壓力角

由擺線齒輪的性質可知,當齒輪的模數(shù)選定后,其滾圓半徑也就相應確定,其關系為r=m/4.

圖4為模數(shù)m=10mm,滾圓半徑r1=r2=2.5mm,齒數(shù)z=20,30,40時,其一個輪齒傳動過程中壓力角α的變化曲線圖.

圖4 滾圓半徑相同、齒數(shù)不同時齒輪的壓力角變化曲線

由擺線的性質可知,當兩個滾圓的半徑相等時,其半徑的大小隨模數(shù)的變化而變化,但必須保證r=m/4這一潛在的等式關系. 此時壓力角的計算公式簡化為

α=arctan |tan (zθ)|，θ∈[0,π/z].

(9)

由式(9)可以看出,這種全擺線齒輪的壓力角與模數(shù)無關,只與擺線齒輪的齒數(shù)有關. 其變化曲線如圖5所示. 由圖5可見，這種擺線齒輪的壓力角變化速率相同,而且在整個輪齒的嚙合過程中與模數(shù)沒有任何關系,為其應用的通用性奠定了基礎.

圖5 r1=r2時的擺線齒輪壓力角變化曲線

3 結 論

根據(jù)齒輪嚙合基本定律和擺線的性質,推導出全擺線齒輪齒廓上壓力角的通用計算公式,并結合實例得出了全擺線齒輪壓力角和其它齒輪參數(shù)即模數(shù)m、齒數(shù)z和滾圓半徑r的關系,得到如下結論.

① 全擺線齒輪應該用斜齒輪代替直齒輪來保證齒輪傳動的連續(xù)性.

② 在齒輪的齒頂和齒根處應進行修正,以保證齒輪傳動的有效性.

③ 應保證全擺線齒輪的兩個滾圓半徑相等,以保證齒輪傳動的平穩(wěn)性.

④ 在滾圓半徑相等的情況下,壓力角由齒輪的齒數(shù)決定,與模數(shù)無關.

內平動全擺線齒輪壓力角分析,證明了全擺線齒輪應用在內平動齒輪機構中的可能性,為后續(xù)的內平動全擺線齒輪的優(yōu)化設計提供了理論依據(jù). 進一步工作是對輪廓曲線進行修正,使其能應用于實際工作中.

參考文獻：

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