姜韶堃 ，馬友光，范文元，楊 珂，朱春英

(天津大學(xué)化工學(xué)院化學(xué)工程聯(lián)合國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

非牛頓流體中在線氣泡聚并的混沌特征

姜韶堃 ，馬友光，范文元，楊 珂，朱春英

(天津大學(xué)化工學(xué)院化學(xué)工程聯(lián)合國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

利用光電信號(hào)采集系統(tǒng)測(cè)定了非牛頓流體中伴有聚并現(xiàn)象的在線連續(xù)上升氣泡的通過頻率信號(hào)，并采用基于相空間重構(gòu)技術(shù)的混沌時(shí)間序列法對(duì)其進(jìn)行了分析.相圖和 Cao算法計(jì)算結(jié)果定性表明了非牛頓流體中伴有聚并現(xiàn)象的在線連續(xù)氣泡上升行為具有混沌吸引子特征，服從確定性的混沌運(yùn)動(dòng)機(jī)理.最大 Lyapunov指數(shù)量化分析表明在線連續(xù)氣泡上升行為的混沌特征與聚并程度密切相關(guān)：氣泡行為的混沌程度隨聚并程度增大而增大，增大氣速易于導(dǎo)致氣泡行為混沌程度增大.

氣泡；聚并；非牛頓流體；相空間重構(gòu)；最大Lyapunov指數(shù)

非牛頓流體中的氣液兩相流在氣液接觸、氣液分離、氣體吸收、沸騰、鼓泡塔、發(fā)酵和氣蝕等眾多領(lǐng)域廣泛存在.由于非牛頓流體的流變特性，其中的氣泡行為比在牛頓流體中更加復(fù)雜，例如氣泡間的聚并過程.關(guān)于非牛頓流體中氣泡聚并現(xiàn)象的研究報(bào)道較少.Acharya等[1]和 De Kee等[2-3]采用高速攝像機(jī)對(duì)黏彈性流體中氣泡形狀及氣泡聚并過程進(jìn)行了圖像采集和實(shí)驗(yàn)研究.其后，Li等[4-5]和 Frank等[6]采用混沌理論分析了黏彈性流體中伴有聚并現(xiàn)象的氣泡上升過程，得到其混沌運(yùn)動(dòng)特征.此外，Lin等[7-9]通過粒子圖像分析儀測(cè)量了黏彈性流體中氣泡聚并過程時(shí)的流線和剪切應(yīng)力分布，分析了剪切變稀效應(yīng)和黏彈性在聚并過程的作用.迄今，人們對(duì)非牛頓流體中的氣泡聚并機(jī)理的認(rèn)識(shí)還不是很清楚，更難以進(jìn)行精確的理論描述.

對(duì)于非牛頓流體中在線連續(xù)氣泡上升行為，在某一固定高度，由于氣泡的不斷聚并，連續(xù)氣泡上升行為表現(xiàn)出明顯的非周期特征，因此很難建立有效的理論預(yù)測(cè)模型.采用混沌時(shí)間序列分析研究非牛頓流體中在線連續(xù)氣泡上升行為，是一種獲得系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的有效途徑.理論上，混沌是指確定的非周期行為，對(duì)初始條件具有很強(qiáng)的敏感依賴性.一般利用相空間重構(gòu)方法，通過相圖、龐加萊截面、關(guān)聯(lián)維數(shù)、Kolmogrov熵和最大 Lyapunov指數(shù)等重要指標(biāo)來定性和定量判斷系統(tǒng)混沌行為.筆者主要分析了非牛頓流體中伴有聚并現(xiàn)象的在線連續(xù)氣泡上升行為，鑒于過程的復(fù)雜性，采用不干擾流體流動(dòng)的無接觸式光電信號(hào)系統(tǒng)采集氣泡通過頻率信號(hào)，以相空間重構(gòu)技術(shù)為基礎(chǔ)，利用相圖、最大Lyapunov指數(shù)等混沌時(shí)間序列分析指標(biāo)進(jìn)行了研究，討論了非牛頓流體中伴有聚并現(xiàn)象的在線連續(xù)氣泡上升行為的非線性混沌特征.

1 實(shí) 驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)采用底部中央帶有一個(gè)噴嘴(直徑：1×10-3m)的方形有機(jī)玻璃槽(長×寬×高：0.15,m×0.15,m×1.50,m)作為氣泡發(fā)生裝置，槽內(nèi)液面距噴嘴高度恒定為 1.10,m，如圖 1所示，裝置下方連接一個(gè)較大氣室來抑制氣泡生成過程引起的壓力波動(dòng).調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子流量計(jì)至適當(dāng)氣速，氮?dú)馀萃ㄟ^噴嘴在槽內(nèi)非牛頓流體中連續(xù)生成并不斷上升.采用槽外光電信號(hào)采集系統(tǒng)對(duì)在線連續(xù)上升氣泡進(jìn)行信號(hào)捕捉，該系統(tǒng)主要由激光器、光電二極管、運(yùn)算放大器以及數(shù)據(jù)采集卡組成，采樣頻率為 200,Hz.激光光束垂直于玻璃槽一側(cè)壁面入射，穿過氣泡上升軌跡，當(dāng)氣泡通過激光光束時(shí)，由于氣泡表面的反射，只有部分光線通過氣泡，位于玻璃槽另一側(cè)的光電二極管接收該光強(qiáng)變化，并以電壓形式表現(xiàn)出來，從而形成相應(yīng)的脈沖信號(hào).所有實(shí)驗(yàn)均在恒定室溫297,K下完成.

圖1 氣泡聚并實(shí)驗(yàn)裝置示意Fig.1 Schematic representation of experimental apparatus Fig.1 for bubble coalescence

實(shí)驗(yàn)中采用的非牛頓流體的質(zhì)量分?jǐn)?shù)分別為1.0%、1.3%和1.6%的羧甲基纖維素鈉(carboxymethylcellulose sodium，CMC)水溶液，其流變性質(zhì)由 DV-III ULTRA PROGRAMMABLE RHEOMETER (Brookfield Engineering Laboratories，Inc.，U.S.A.)測(cè)定.從測(cè)定結(jié)果(見圖2)可以看出，3種CMC水溶液的黏度均隨著剪切速率的升高而降低，表現(xiàn)出明顯的剪切變稀效應(yīng).

圖2 黏度隨剪切速率變化Fig.2 Variation of viscosity vs shear rate

2 混沌時(shí)間序列分析

在 3種 CMC水溶液中，氣泡運(yùn)動(dòng)行為十分相似，因此僅以 1.0% CMC(質(zhì)量分?jǐn)?shù))的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例進(jìn)行分析.

首先采用雙光束法和照相法分別估測(cè)了氣泡上升速度和氣泡體積.結(jié)果顯示，氣泡上升速度范圍為0.20～ 0.40,m/s，氣 泡 體 積 范 圍 為 0.52×10-6～27.16×10-6,m3.按照文獻(xiàn)[10]對(duì)氣泡剪切速率的描述

式中：v表示氣泡上升速度；deq表示氣泡當(dāng)量直徑；VB為氣泡體積.計(jì)算得到氣泡上升剪切速率范圍為10.54～25,s-1，恰好位于剪切變稀速率范圍內(nèi).

圖 3表示了不同位置的氣泡通過頻率信號(hào)片段.各個(gè)片段中都存在不同的信號(hào)脈沖，每一個(gè)脈沖都對(duì)應(yīng)于一個(gè)單獨(dú)通過的氣泡.在噴嘴上方較低的位置，信號(hào)脈沖均勻密集，表示氣泡的周期性上升過程；隨著位置的升高，由于氣泡聚并的發(fā)生，逐漸產(chǎn)生無規(guī)則的脈沖分布；當(dāng)位置接近液面時(shí)，聚并頻率大大降低，單位時(shí)間內(nèi)氣泡通過數(shù)量也明顯減少，信號(hào)脈沖變得稀疏無序.

采用混沌時(shí)間序列分析方法來研究氣泡通過頻率信號(hào)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，最關(guān)鍵的步驟就是相空間重構(gòu)參數(shù)的選擇，包括時(shí)間延遲τ 和嵌入維數(shù)m.以圖3中h＝0.3,m時(shí)的中信號(hào)為例，將實(shí)際測(cè)得的氣泡通過頻率信號(hào)歸一化為均值為 0振幅為 1的時(shí)間序列xi，i＝1，2，…，N.圖4顯示出采用不同的τ對(duì)時(shí)間序列xi重構(gòu)得到的二維相軌跡演變.當(dāng)τ選擇過小時(shí)，如圖 4(a)所示，相軌跡都集中于對(duì)角線附近，數(shù)據(jù)之間關(guān)聯(lián)程度太強(qiáng)，不易區(qū)分；當(dāng) τ選擇過大時(shí)，如圖 4(b)所示，相軌跡呈現(xiàn)出明顯的折疊現(xiàn)象，數(shù)據(jù)之間毫不相關(guān).因此，必須選擇適當(dāng)?shù)?τ，使得重構(gòu)的相空間既不線性相關(guān)，又非完全獨(dú)立.去偏復(fù)自相關(guān)法[11]在實(shí)際信號(hào)處理上具有較好的魯棒性，筆者采用該法計(jì)算τ.時(shí)間序列xi的m維去偏復(fù)自相關(guān)法存在基本關(guān)系為

圖3 氣泡通過頻率信號(hào)片段Fig.3 Part of frequency signal of bubble passage

圖4 不同時(shí)間延遲的相圖Fig.4 Phase portraits with different time delays

圖5 去偏復(fù)自相關(guān)法計(jì)算結(jié)果Fig.5 Results of nonbias multiple autocorrelation method

對(duì)于嵌入維數(shù) m的選擇，已有大量文獻(xiàn)報(bào)道采用 Cao算法[12-15]能夠準(zhǔn)確獲得許多實(shí)際信號(hào)的m.其基本計(jì)算方法為

圖6 不同位置的相圖Fig.6 Phase portraits of different positions

式中：Xi(m)表示實(shí)測(cè)氣泡通過頻率信號(hào)經(jīng)相空間重構(gòu)得到的向量(xi，xi+τ，…，xi+(m-1)τ)，i＝1，2，…，Nm；下標(biāo) n(i，m)(1≤n(i，m)≤N-mτ)使得 Xn(i,m)(m)是在按上述距離定義的 m維重構(gòu)相空間中 Xi(m)的最近鄰點(diǎn).隨著m的不斷增大，當(dāng)m增大到某一確定值時(shí)，E1(m)基本保持恒定，這時(shí)的 m 即為嵌入維數(shù) m；若m 由小到大變化，E2(m)始終保持在 1左右，那么信號(hào)就是隨機(jī)的；反之，就是確定性的.圖7為采用Cao算法對(duì)氣泡通過頻率信號(hào)的計(jì)算結(jié)果.從圖中可以看出，E2隨著 m的增大并不是始終為 1，由此表明擬塑性流體中的氣泡連續(xù)上升過程是確定性的，而非隨機(jī)運(yùn)動(dòng)；此外，當(dāng)E1趨于收斂時(shí)所對(duì)應(yīng)的m值均比較大，而 m標(biāo)志著能夠足夠描述相軌跡狀態(tài)所需的最小相空間維數(shù)，即高氣速條件下 CMC水溶液中氣泡運(yùn)動(dòng)行為的系統(tǒng)自由度也比較大，與文獻(xiàn)[16]中黏彈性流體低氣速條件下的結(jié)果相比，氣泡行為更加復(fù)雜.

圖7 Cao算法計(jì)算結(jié)果Fig.7 Results of Cao′s method

當(dāng)τ和m確定后，即可通過Lyapunov指數(shù)量化氣泡通過頻率信號(hào)的混沌特性.在許多實(shí)際信號(hào)處理過程中，采用 Wolf法[17]能夠有效地獲得最大Lyapunov指數(shù).首先在重構(gòu)的相空間中選中初始基點(diǎn) X(t0)及其最近鄰點(diǎn) X(t0′)，隨著時(shí)間演化，當(dāng)?shù)竭_(dá)t1時(shí)刻，兩點(diǎn)間距離由 L0變化為 L0′，并且L0′＞ε(ε＞0)，保留基點(diǎn) X(t1)，重新選取與之夾角盡可能小的最近鄰點(diǎn) X(t1′)，使得兩點(diǎn)之間距離 L1＜ε，繼續(xù)上述演化跟蹤過程，直到相軌跡終點(diǎn)，此時(shí)演化跟蹤過程迭代次數(shù)為 M，則最大 Lyapunov指數(shù)λ1可表示為一般只要λ1大于 0，就可判斷系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；而對(duì)于周期運(yùn)動(dòng)，λ1小于或等于0.

表 1列出了不同氣速條件下λ1隨高度的分布.對(duì)于如Qg＝5×10-6m3/s、h＝0.1 m時(shí)的氣泡運(yùn)動(dòng)行為，位置較低，氣速較小，氣泡生成間隔較大，氣泡間存在線性相互作用，形成較均勻的氣泡上升過程，因此λ1較小，接近于 0；隨著氣速增大，氣泡生成間隔變小，氣泡間相互作用逐漸由線性轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性，破壞了氣泡上升的周期性規(guī)律，形成非周期性上升過程，λ1明顯增大.隨著位置升高，不同氣速條件下的氣泡均加速上升，CMC水溶液的剪切變稀效應(yīng)開始逐漸影響氣泡行為：氣泡通過后，局部黏度降低，使得下方氣泡在局部阻力減小的情況下加速上升.受剪切變稀效應(yīng)和先行氣泡尾流等因素共同影響，氣泡行為仍表現(xiàn)為非周期上升特征，甚至當(dāng)位置升高到某一高度后，發(fā)生氣泡聚并現(xiàn)象，氣泡行為非周期特征加劇，λ1則表現(xiàn)出隨著位置升高而增大，當(dāng)位置繼續(xù)升高，氣泡頻繁聚并，λ1達(dá)到最大值；隨后，由于先前頻繁聚并生成體積較大的新氣泡，嚴(yán)重破壞了氣泡原有的受力分布，使得氣泡間非線性相互作用減弱，聚并頻率大大減小，λ1明顯減小.此外，隨著氣速增大，氣泡生成間隔變小，上升速度增大，剪切速率增大，流體的剪切變稀效應(yīng)促使氣泡更易加速上升，在隨后的上升過程中，更易強(qiáng)化非線性相互作用，導(dǎo)致聚并程度增大，從表 1中可以看出，氣速增大更易得到較大的λ1.通常，由λ1的數(shù)值可以定量判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的混沌程度，表中 1所有條件下的λ1均大于 0，結(jié)合相圖和Cao算法等定性分析，CMC水溶液中在線氣泡上升過程表現(xiàn)為確定性的混沌運(yùn)動(dòng)，頻繁聚并現(xiàn)象使得氣泡行為混沌程度增大，而增大氣速也易造成氣泡運(yùn)動(dòng)混沌程度增大.

表1 不同氣速條件下λ1隨高度分布Tab.1 Variation of λ1 with height at different gas flowrates

3 結(jié) 論

利用光電信號(hào)采集系統(tǒng)測(cè)量了非牛頓流體 CMC水溶液中在線連續(xù)上升氣泡的通過頻率信號(hào)，采用基于相空間重構(gòu)技術(shù)的混沌時(shí)間序列分析方法對(duì)該信號(hào)進(jìn)行了分析，得到如下結(jié)論：

(1) 相空間重構(gòu)二維相圖清晰地顯示，伴有聚并現(xiàn)象的在線氣泡連續(xù)上升行為表現(xiàn)出明顯的混沌吸引子特征.

(2) Cao算法計(jì)算結(jié)果表明，CMC水溶液中的在線氣泡上升過程具有較高的系統(tǒng)自由度，是一個(gè)復(fù)雜的確定性非隨機(jī)過程.

(3) 最大 Lyapunov指數(shù)均大于 0，表明了 CMC水溶液中在線氣泡連續(xù)上升行為的混沌特征.

(4) 由最大Lyapunov指數(shù)定量描述的氣泡行為混沌程度與氣泡聚并程度密切相關(guān)，前者隨后者增大而增大，相同高度下，增大氣速導(dǎo)致氣泡行為混沌程度增大.

［1］Acharya A，Ulbrecht J. Note on the influence of viscoelasticity on the coalescence rate of bubbles and drops[J].AIChE Journal，1978，24(2)：348-351.

［2］De Kee D，Chhabra R P，Dajan A. Motion and coalescence of gas bubbles in non-Newtonian polymer solutions[J].Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics，1990，37(1)：1-18.

［3］Dekee D，Chan M，F(xiàn)ong C F，et al. Bubble shape in non-Newtonian fluids[J].Journal of Applied Mechanics，2002，69(5) ：703-708.

［4］Li H Z，F(xiàn)rank X，F(xiàn)unfschilling D，et al. Bubbles′ rising dynamics in polymeric solutions[J].Physics Letter A，2004，325(1)：43-50.

［5］Li H Z. Bubbles in non-Newtonian fluids：Formation，interactions and coalescence[J].Chemical Engineering Science，1999，54(13/14)：2247-2254.

［6］Frank X，Li H Z. Route to chaos in the rising dynamics of a bubble chain in a polymeric fluid[J].Physics Letter A，2008，372(40)：6155-6160.

［7］Lin T J，Lin G M. The mechanisms of bubble coalescence in a non-newtonian fluid[J].The Canadian Journal of Chemical Engineering，2003，81(3/4)：476-482.

［8］Lin T J，Lin G M. An experimental study on flow structures of a single bubble rising in a shear-thinning viscoe-lastic fluid with a new measurement technique[J].International Journal of Multiphase Flow，2005，31(2)：239-252.

［9］Lin T J，Lin G M. Mechanisms of in-line coalescence of two-unequal bubbles in a non-Newtonian fluid[J].Chemical Engineering Journal，2009，15(3)：750-756.

［10］林嘉宇，王躍科，黃芝平，等. 語音信號(hào)相空間重構(gòu)中時(shí)間延遲的選擇：復(fù)自相關(guān)法[J]. 信號(hào)處理，1999，15(3)：220-225.

Lin Jiayu，Wang Yueke，Huang Zhiping，et al. Selection of proper time-delay in phase space reconstruction of speech signals[J].Signal Processing，1999，15(3)：220-225(in Chinese).

［11］Ma H G，Han C Z. Selection of embedding dimension and delay time in phase space reconstruction[J].Frontiers of Electrical and Electronic Engineering in China，2006，1(1)：111-114.

［12］Cao Liangyue. Practical method for determining the minimum embedding dimension of a scalar time series[J].Physica D：Nonlinear Phenomena，1997，110(1/2)：43-50.

［13］Kumar U，Prakasha A，Jain V K. Characterization of chaos in air pollutants：A Volterra-Wiener-Korenberg series and numerical titration approach[J].Atmospheric Environment，2008，42(7)：1537-1551.

［14］Wang J，Sun L，F(xiàn)ei X Y，et al. Chaos analysis of the electrical signal time series evoked by acupuncture[J].Chaos，Solitons and Fractals，2007，33(3)：901-907.

［15］Li X L，Ouyang G. Nonlinear similarity analysis for epileptic seizures prediction[J].Nonlinear Analysis：Theory，Methods and Applications，2006，64(8)：1666-1678.

［16］Li H Z，Mouline Y，Choplin L，et al. Chaotic bubble coalescence in non-Newtonian fluids[J].International Journal of Multiphase Flow，1997，23(4)：713-723.

［17］Wolf A，Swift J B，Swinney H L，et al. Determining Lyapunov exponents from a time series[J].Physica D：Nonlinear Phenomena，1985，16(3)：285-317.

Chaotic Characteristics of in Line Bubble Coalescence in Non-Newtonian Fluid

JIANG Shao-kun，MA You-guang，F(xiàn)AN Wen-yuan，YANG Ke，ZHU Chun-ying
(State Key Laboratory of Chemical Engineering，School of Chemical Engineering and Technology，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

The frequency signal of continuous rising bubbles with coalescences in non-Newtonian fluid was measured by means of a photoelectrical signal collection system and analyzed using chaotic time series analysis based on the phase space reconstruction. The results of phase portrait and Cao's method show qualitatively that the in-line continuous bubble rising behavior with coalescence in non-Newtonianfluid follows a deterministic and chaotic motion mechanism with the characteristics of chaotic attractor. The largest Lyapunov exponents quantify that the chaotic characteristics of the in-line continuous bubble rising behavior are closely related with the coalescence degree. The chaotic degree of bubble behavior increases with the coalescence degree and increasing the gas flowrate tends to increase the chaotic degree of bubble behavior.

bubble；coalescence；non-Nnewtonian fluid；phase space reconstruction；largest Lyapunov exponent

TQ021

A

0493-2137(2010)11-1025-06

2009-08-24；

2010-06-23.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20476073)；化學(xué)工程聯(lián)合國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室課題(SKL-ChE-08B03).

堃姜韶 （1980— ），男，博士，j_sk45@yahoo.com.cn.

馬友光，ygma@tju.edu.cn.