趙 堅(jiān) 李 力

(1.昆明市五華區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校,云南 昆明 650031;2.重慶清華中學(xué),重慶 400054)

1 引言

變質(zhì)量物體的動力學(xué)問題是力學(xué)里一個重要的問題,而各種柔繩問題則是其中的典型例子.通常解決柔繩問題有三種思路:一是應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)組的動量定理求解;二是應(yīng)用根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組的動量定理推導(dǎo)出的變質(zhì)量物體運(yùn)動方程——密歇爾斯基方程求解[1];三是應(yīng)用變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動能定理求解[2].這些方法有一個共同特點(diǎn),都需要認(rèn)真選取研究對象(往往有三種甚至更多的選取方案[3]),弄清楚它由哪些部分組成,并且明確各部分并入(或分離)前后的初、末速度,才能正確地求解柔繩問題,一般情況下這些方法都比較煩瑣而且容易出錯.

筆者以為求解柔繩問題更為方便簡捷的方法是應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心運(yùn)動定理.質(zhì)心運(yùn)動定理的表達(dá)式為maC=F外,其物理意義是:將全部質(zhì)量與外力平移到質(zhì)心上,合成總質(zhì)量m和合外力F外,質(zhì)心就與一個在力F外作用下質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)做相同的運(yùn)動[4].現(xiàn)在我們用它來分析常見的各種柔繩問題.

2 水平拉繩問題

圖1

如圖1,長為L、線密度為λ的勻質(zhì)柔繩盤在光滑水平面內(nèi),現(xiàn)用一水平力F作用于繩端,在下列三種情況下,分別求出拉力F的大小.

(1)以恒定速度v拉動繩端.

(2)繩端從靜止開始以恒定加速度a運(yùn)動.

(3)假設(shè)地面粗糙,繩與地面間的動摩擦因數(shù)為μ,以恒定速度v拉動繩端.

解析:(1)取全部柔繩為研究對象,如圖1所示,以繩端出發(fā)點(diǎn)為原點(diǎn),當(dāng)拉動部分的繩長度為x時,其質(zhì)心坐標(biāo)根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理得F=λLaC=λv2,可見在光滑水平面上勻速拉動繩端時的拉力是一個大小為λv2的恒力.反之可以看出,在光滑水平面上用恒力F拉繩端,則繩端必然做速度為的勻速運(yùn)動.

(2)xC、vC與(1)中相同,此時根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理得到這個拉力是與t2成正比或者說與x成正比的變力.反之,在光滑水平面上用與拉出距離x成正比的水平力拉動靜止繩的一端,繩端必然做加速度為的勻加速直線運(yùn)動.

(3)xC、vC、aC都與(1)中相同,由質(zhì)心運(yùn)動定理得到所以這是一個隨時間線性變化的力.

3 豎直提繩問題

圖2

長為L、線密度為λ的勻質(zhì)柔繩盤在光滑水平面內(nèi),現(xiàn)用一豎直向上的力F作用于繩端,以恒定速度v提起繩子(如圖2),求拉力F的大小.

解析:取整個柔繩為研究對象,當(dāng)拉起部分的長度為x時,從水平拉繩問題的(1)中可知質(zhì)心的加速度整段繩子所受外力為F-λxg,由質(zhì)心運(yùn)動定理得到F-λxg=λL?aC=λv2,即F=λv2+λxg=λ(v2+gvt).

其實(shí),這種情況與水平拉繩的第(3)問中繩子所受阻力正比于拉出距離x相似,據(jù)此可用類比方法寫出相應(yīng)的答案.

4 豎直落繩問題

圖3

圖4

(1)如圖3,長為L、線密度為λ的勻質(zhì)柔繩豎直地懸掛著,其下端剛好與地面接觸.此時放開上端,使它從靜止開始自由下落,求空中繩長為x時,地面對繩子的作用力F.

(2)如圖4,長為L、線密度為λ的勻質(zhì)柔繩對折后,將兩端豎直地懸掛在天花板上,然后由靜止開始釋放一端使其自由下落,求釋放端下落x時天花板對繩的拉力F.

解析:(1)取整個繩子為研究對象,設(shè)留在空中的繩長為x且以向上為正方向,此時質(zhì)心的坐標(biāo)為xC,vC與水平拉繩問題(1)中相同,而其中代入質(zhì)心運(yùn)動定理得這個力正好等于已經(jīng)落在地上繩子重力的3倍[4].(編者注是繩子上端下落速度,對于勻質(zhì)柔繩,它和自由質(zhì)點(diǎn)下落速度相同,所以有就是繩子上端下落的加速度.)

(2)取整個繩子為研究對象,以懸掛點(diǎn)為原點(diǎn)且向下為正方向,質(zhì)心的坐標(biāo)、速度、加速度分別如下:

5 結(jié)束語

從上述可以看出,用質(zhì)心運(yùn)動定理求解柔繩問題時,選擇整個繩子為研究對象,這樣就把變質(zhì)量物體轉(zhuǎn)化為定質(zhì)量問題了,而且只考慮外力,不需要分析內(nèi)部各部分間的相互作用,也不需要分析各部分并入(或分離)前后的運(yùn)動情況,所以相對其他方法而言,應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理解決柔繩問題是比較方便、簡捷的.

1 周衍柏.理論力學(xué)教程(第2版).北京:高等教育出版社,1986.137

2 石東平.變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動能定理與軟繩問題.大學(xué)物理,1999(3):22

3 錢天虹,何锃.變質(zhì)量物體運(yùn)動方程與落鏈問題.物理通報,1997(11):1

4 趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程?力學(xué)(第2版).北京:高等教育出版社,2004.125

5 肖士王旬.理論力學(xué)簡明教程.北京:人民教育出版社,1979.128