王志勇，王 磊，郭 偉，沈 珉

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

數(shù)字圖像相關(guān)方法(digital image correlation，DIC)是一種成熟的實(shí)驗(yàn)力學(xué)技術(shù)，被廣泛應(yīng)用于位移場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)的測(cè)量[1]．作為一種測(cè)量技術(shù)，最重要的是測(cè)量精度問題．國內(nèi)外研究人員對(duì) DIC位移測(cè)量精度做了大量研究．根據(jù)具體測(cè)試條件的不同，DIC的位移測(cè)量精度約為 0.01～0.05像素[1]．影響DIC位移測(cè)量精度的因素主要包括圖像質(zhì)量、亞像素插值方法、子區(qū)內(nèi)位移模式、光學(xué)鏡頭失真和搜索算法等．Sutton等[2]分析了亞像素插值方法對(duì)位移測(cè)量精度的影響；Sun等[3]用實(shí)驗(yàn)方法分析了圖像對(duì)比度和聚焦誤差對(duì)位移測(cè)量精度的影響；Schreier等[4]用數(shù)值模擬方法分析了子區(qū)內(nèi)位移模式函數(shù)對(duì)測(cè)量精度的影響；陸樺[5]從統(tǒng)計(jì)學(xué)原理出發(fā)，對(duì) DIC的隨機(jī)誤差進(jìn)行了分析；Saturu[6]和張東升[7]分別研究了光學(xué)鏡頭的鏡頭畸變對(duì) DIC位移測(cè)量精度的影響；潘兵等[8]研究了不同的亞像素匹配方法對(duì)位移測(cè)量精度的影響；Vendroux等[9]研究了相關(guān)系數(shù)Hessian矩陣的不同算法對(duì)測(cè)量精度的影響；筆者[10]曾研究隨機(jī)噪聲對(duì)位移測(cè)量誤差的影響．

在 DIC實(shí)驗(yàn)過程中，為了取得較高的測(cè)量精度需要在試件表面制作人工散斑．人工散斑大都是通過在試件表面噴灑油漆制作而得，不同制作方法得到的散斑點(diǎn)尺寸和形狀有很大差異．試件表面的散斑是試件變形信息的載體，其大小和形狀對(duì) DIC的測(cè)量精度有很重要的影響．筆者建立理論模型與數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析了散斑點(diǎn)尺寸對(duì)于 DIC位移測(cè)量精度的影響，給出了最優(yōu)的散斑點(diǎn)尺寸．在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將最優(yōu)散斑尺寸轉(zhuǎn)化為最優(yōu)灰度梯度，建立了以測(cè)量精度為目標(biāo)的散斑圖像評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)．

1 理論模型

DIC方法的位移測(cè)量誤差可分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差 2個(gè)部分．系統(tǒng)誤差指由亞像素插值方法所導(dǎo)致的位移測(cè)量誤差；隨機(jī)誤差指由 CCD攝像機(jī)暗電流引起的圖像灰度波動(dòng)所導(dǎo)致的位移測(cè)量誤差．

為了取得亞像素的測(cè)量精度，DIC中需要使用插值算法計(jì)算亞像素位置上的灰度值．文獻(xiàn)[2]指出，大多數(shù)插值算法都存在相位誤差，所以用 DIC方法得到的位移值中存在一個(gè)不可避免的系統(tǒng)誤差．該文獻(xiàn)同時(shí)給出了使用3次Lagrange插值方法時(shí)系統(tǒng)誤差的表達(dá)式

式中errs、k和δ分別為系統(tǒng)誤差、歸一化波數(shù)和亞像素位移．對(duì)于周期為 T的正弦波，歸一化波數(shù) k＝2/T．由式(1)可知，亞像素位移值和圖像信號(hào)頻率是影響系統(tǒng)誤差的 2個(gè)關(guān)鍵因素．文獻(xiàn)[2]的分析結(jié)果表明：對(duì)于相同的亞像素位移，信號(hào)頻率越高系統(tǒng)誤差越大；對(duì)于單一頻率信號(hào)，當(dāng)亞像素位移為±0.25像素時(shí)系統(tǒng)誤差最大．

DIC方法是以數(shù)字圖像為基礎(chǔ)的，而實(shí)際實(shí)驗(yàn)中的數(shù)字圖像一般由 CCD攝像機(jī)采集．由于 CCD攝像機(jī)在攝像過程會(huì)受到暗電流的影響，因此采集到的數(shù)字圖像中通常包含了隨機(jī)灰度噪聲．這個(gè)灰度噪聲對(duì)于 DIC的位移測(cè)量精度有重要影響．本文將由 CCD暗電流引起的位移測(cè)量誤差稱為隨機(jī)誤差．文獻(xiàn)[10]給出了此隨機(jī)誤差的表達(dá)式

式中 errr、S(u)、S(μ)、N 和 εk分別為隨機(jī)誤差、位移測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差、灰度噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差、子區(qū)內(nèi)像素的個(gè)數(shù)(即子區(qū)大小)和子區(qū)內(nèi)第 k個(gè)像素與相鄰像素之間的灰度梯度．由式(2)可知，相鄰像素間灰度梯度與隨機(jī)誤差成反比．灰度梯度越大，隨機(jī)誤差越小；灰度梯度越小，隨機(jī)誤差越大．

圖像中的信號(hào)頻率、散斑尺寸和灰度梯度是3個(gè)不同的概念，但三者又有非常緊密的聯(lián)系．一般來說，信號(hào)頻率高就意味著散斑尺寸小，相鄰像素間的灰度梯度大；信號(hào)頻率低就意味著散斑尺寸大，相鄰像素間的灰度梯度?。墒?1)可知，為了降低系統(tǒng)誤差，應(yīng)使用頻率較低的圖像．但較低的頻率同時(shí)意味著較大的散斑尺寸和較低的灰度梯度．由式(2)可知，為了降低隨機(jī)誤差，應(yīng)提高灰度梯度．而較高的灰度梯度意味著較小的散斑尺寸和較高的信號(hào)頻率．可見，同時(shí)減小系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差對(duì)圖像的要求是矛盾的．因此，應(yīng)存在一個(gè)最優(yōu)的散斑尺寸使系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的總和達(dá)到最小．

為簡(jiǎn)便起見，假設(shè)圖像中散斑點(diǎn)的形貌為正弦波型，如圖 1所示．散斑半徑和歸一化波數(shù)之間的關(guān)系可表示為

若所采用的圖像是8位灰度圖像(即圖像灰度級(jí)為 0～255)，且圖像中相鄰像素間灰度梯度的均值為ε，那么ε和散斑半徑之間的關(guān)系可表示為

圖1 理論模型中的散斑形貌Fig.1 Shape of speckle spot in theoretical model

測(cè)量誤差是系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的總和，將式(3)和式(4)帶入到式(1)和式(2)，并將系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差相加可以得到

式中 err為總測(cè)量誤差．亞像素位移 δ＝0.25像素時(shí)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)誤差最大，用這個(gè)最大值來表征系統(tǒng)誤差．由式(5)可知，散斑半徑R、噪聲標(biāo)準(zhǔn)差S(μ)和子區(qū)大小N是影響總測(cè)量誤差的3個(gè)因素．

另外，相鄰像素灰度梯度也可以用來間接表征散斑尺寸．總測(cè)量誤差可以用相鄰像素灰度梯度均值表示為

2 模擬實(shí)驗(yàn)

由于第1節(jié)的理論模型是針對(duì)正弦信號(hào)的，所以數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)也采用正弦型圖像作為研究對(duì)象．具體實(shí)驗(yàn)方法如下．

1)制作原始圖像

用下式生成256個(gè)灰度級(jí)的正弦型圖像，圖像灰度只在水平方向有變化，在豎直方向沒有灰度變化．

式中：u＝0；x和 R的單位為像素．每幅圖中半徑 R是相同的，以0.5像素為間隔．半徑R從2像素變化到10像素，共制作17幅原始圖像．

2)制作平移圖像

在式(7)中取 u＝0.25，制作與原始圖像相對(duì)應(yīng)的半徑R從2像素變化到10像素的17幅平移圖像．

3)計(jì)算系統(tǒng)誤差

用 DIC方法計(jì)算原始圖像和平移圖像間的相對(duì)位移，再用計(jì)算得到的位移值減去 0.25即可得到位移計(jì)算的系統(tǒng)誤差．計(jì)算時(shí)子區(qū)分別取21×21、31×31和 41×41．由于圖像在豎直方向沒有灰度變化，因此在計(jì)算過程中只計(jì)算水平方向的位移．

4)計(jì)算隨機(jī)誤差

在原始圖像上分別加均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差分別為1、2和 3的高斯噪聲，計(jì)算原始圖像和加噪聲圖像之間的位移場(chǎng)．將計(jì)算所得位移場(chǎng)的標(biāo)準(zhǔn)差作為隨機(jī)誤差．

5)計(jì)算總測(cè)量誤差

將系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差相加作為總測(cè)量誤差．

3 結(jié)果與討論

圖 2(a)和(b)分別為用理論模型和模擬實(shí)驗(yàn)得到的子區(qū)大小為 31×31，灰度噪聲標(biāo)準(zhǔn)差分別為 1、2和 3時(shí)測(cè)量誤差隨散斑半徑的變化曲線．理論模型結(jié)果和模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致．由圖 2可知，隨著散斑半徑R逐漸增大，總測(cè)量誤差先驟然減小后緩慢增大．可見，對(duì)于不同的噪聲都存在一個(gè)最優(yōu)的散斑半徑 R0使總測(cè)量誤差最小．當(dāng)灰度噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為 1、2和 3時(shí)，根據(jù)理論模型可知，最優(yōu)散斑半徑分別為6.4、5.6和 5.0像素．最優(yōu)散斑半徑隨著灰度噪聲標(biāo)準(zhǔn)差增加而減?。?/p>

圖2 不同噪聲水平下測(cè)量誤差隨散斑半徑的變化曲線Fig.2 Variation of measurement error with different speckle radii at different noise levels

圖 2中誤差曲線的特點(diǎn)非常明顯．當(dāng) R＜R0時(shí)，隨著 R減小，測(cè)量誤差增加地非常快；而當(dāng) R＞R0時(shí)，隨著R增大，測(cè)量誤差增加緩慢，尤其當(dāng)噪聲較小時(shí)，測(cè)量誤差隨 R的增加速度更慢．因此，只要略微降低對(duì)測(cè)量精度的要求就可以換取一個(gè)較寬的最優(yōu)散斑半徑區(qū)間，這是非常有意義的，這樣就可以擴(kuò)大最優(yōu)散斑圖像的選擇范圍．若誤差最小值記為 err0，將在誤差區(qū)間[err0，err0+Δ]對(duì)應(yīng)的半徑區(qū)間稱為最優(yōu)半徑區(qū)間．目前，普遍接受 DIC方法的位移測(cè)量精度最高為0.01像素，取Δ＝0.01×5%＝0.000 5．根據(jù)這個(gè)定義，子區(qū)大小為 31×31，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為 1、2和 3時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)半徑區(qū)間分別為[4.4，11.6]、[4.0，8.6]和[4.0，7.2]．顯然，低噪聲圖像對(duì)應(yīng)的最優(yōu)半徑區(qū)間相對(duì)較寬．

圖 3(a)和(b)分別為用理論模型和模擬實(shí)驗(yàn)得到的灰度噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為 2，子區(qū)大小分別為 21×21、31×31和 41×41時(shí)測(cè)量誤差隨散斑半徑的變化曲線．理論模型結(jié)果與模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致．由圖 3可知，散斑半徑相同時(shí)，選用的子區(qū)越大測(cè)量誤差越?。鶕?jù)理論模型，與這3個(gè)子區(qū)尺寸相對(duì)應(yīng)的最優(yōu)半徑分別為5.0、5.6和5.8像素，最優(yōu)半徑隨著子區(qū)地增大而增大．與圖 2的結(jié)果類似，在圖 3中，當(dāng) R＞R0時(shí)，隨著 R增大，測(cè)量誤差增加地非常慢．特別是當(dāng)子區(qū)較大時(shí)，測(cè)量誤差增加的速度更慢．與前述相同的誤差條件下，21×21、31×31 和 41×41 三種子區(qū)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)半徑區(qū)間分別為[4.0，7.4]、[4.0，8.6]與[4.2，9.6]．可見，大子區(qū)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)半徑區(qū)間相對(duì)較寬．

圖3 對(duì)于不同的子區(qū)測(cè)量誤差隨散斑半徑的變化曲線Fig.3 Variation of measurement error with different Fig.3 speckle radii for different subsets

如前所述，通過式(4)，散斑半徑尺寸也可以間接地用相鄰像素灰度梯度來表示．最優(yōu)散斑半徑用式(4)很容易轉(zhuǎn)化為最優(yōu)梯度，最優(yōu)散斑半徑區(qū)間可以相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為最優(yōu)梯度區(qū)間．例如當(dāng)灰度噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為2，子區(qū)大小為31×31時(shí)最優(yōu)散斑半徑為5.6像素，最優(yōu)散斑半徑區(qū)間為[4.0，8.6]，用式(4)可計(jì)算相應(yīng)的最優(yōu)梯度為45.5，相應(yīng)的最優(yōu)梯度區(qū)間為[30，64]．對(duì)于一幅散斑圖像而言，各點(diǎn)的梯度是不同的．如果全部點(diǎn)的灰度梯度都在最優(yōu)梯度區(qū)間內(nèi)，那么就可以認(rèn)為這幅圖是最優(yōu)的．

在 DIC實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備階段，通常可以在試件表面制作多種不同的散斑圖．但由于沒有客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，很難確定哪個(gè)圖可以取得較高的測(cè)量精度．本文的研究結(jié)果可以為散斑圖的選擇提供一個(gè)客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)．綜合前面的分析，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)可以表述為：圖像中灰度梯度處于最優(yōu)梯度區(qū)間的點(diǎn)越多越好，灰度梯度比最優(yōu)梯度區(qū)間右邊界大的點(diǎn)越少越好．

圖4所示是2幅散斑圖像．其中圖4(a)是一幅實(shí)際的散斑圖像，圖 4(b)是利用文獻(xiàn)[11]中介紹的方法用程序生成的一幅散斑半徑為 3像素的散斑圖像．以筆者的經(jīng)驗(yàn)來說，這 2幅散斑圖的斑點(diǎn)大小基本一致，斑點(diǎn)分布均勻，是質(zhì)量較好的散斑圖像．按噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差為 2，子區(qū)大小為 31×31的標(biāo)準(zhǔn)，表 1給出了這 2幅的灰度梯度分布情況．圖 4(b)的梯度平均值更接近于最優(yōu)梯度，在最優(yōu)梯度區(qū)間的點(diǎn)更多，而且沒有大于最優(yōu)梯度右邊界的點(diǎn)，所以與圖4(a)相比，圖4(b)更適合DIC．

圖4 2幅散斑圖像Fig.4 Two speckle images

表1 圖4中2幅圖像的灰度梯度分布Tab.1 Gray gradient distribution of two images in Fig.4

4 結(jié) 語

通過綜合分析由亞像素插值引起的系統(tǒng)誤差和由灰度隨機(jī)噪聲引起的隨機(jī)誤差，建立了計(jì)算數(shù)字圖像相關(guān)方法的總測(cè)量誤差數(shù)學(xué)模型．對(duì)該模型取極小值得到最優(yōu)的散斑半徑．通過適當(dāng)降低對(duì)測(cè)量精度的要求建立了最優(yōu)散斑半徑區(qū)間的概念．研究結(jié)果表明，灰度噪聲標(biāo)準(zhǔn)差和計(jì)算過程中的子區(qū)大小對(duì)最優(yōu)散斑半徑和最優(yōu)散斑半徑區(qū)間有直接影響．通過將散斑半徑轉(zhuǎn)化為灰度梯度，相應(yīng)地建立了最優(yōu)梯度和最優(yōu)梯度區(qū)間的概念．在此基礎(chǔ)上提出了對(duì)散斑圖像質(zhì)量進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)：圖像中灰度梯度處于最優(yōu)梯度區(qū)間的點(diǎn)越多越好，灰度梯度比最優(yōu)梯度區(qū)間右邊界大的點(diǎn)越少越好．

［1］ Chu T C，Ranson W F，Sutton M A，et al. Applications of digital image correlation techniques to experimental mechanics [J].Exp Mech，1985，25(3)：232-244.

［2］ Schreier H W，Braasch J R，Sutton M A．Systematic errors in digital image correlation caused by intensity interpolation [J].Opt Eng，2000，39(11)：2915-2921.

［3］ Sun Zili，Lyons J S，McNeill S R. Measuring microscopic deformation with digital image correlation [J].Opt Laser Eng，1997，27(4)：409-428.

［4］ Schreier H W，Sutton M A．Systematic errors in digital image correlation due to undermatched subset shape functions [J].Exp Mech，2002，42(3)：303-310.

［5］ Lu Hua．Statistical analysis of the random error in measurements obtained using digital correlation of speckle patterns [C]//Proc of the1993SEM Spring Con On Exp Mech.Michigan，1993：930-937.

［6］ Saturu Yoneyama，Hisao Kikuta．Lens distortion correction for digital image correlation by measuring rigid body displacement [J].Opt Eng，2006，45(2)：023602.

［7］ Zhang Dongsheng．Displacement/strain measurements using an optical microscope and digital image correlation[J].Opt Eng，2006，45(3)：033605.

［8］ Pan Bing，Xie Huimin，Xu Boqin，et al. Performance of sub-pixel registration algorithms in digital image correlation [J].Meas Sci Technol，2006，17(6)：1615-1621.

［9］ Vendroux G，Knauss W G. Submicron deformation field measurements(Ⅱ)：Improved digital image correlation[J].Exp Mech，1998，38(2)：86-92.

［10］ Wang Zhiyong，Li Hongqi，Tong Jingwei，et al. Statistical analysis of the effect of intensity pattern noise on the displacement measurement precision of digital image correlation using self-correlated images [J].Exp Mech，2007，47(5)：701-707.

［11］ 潘 兵. 數(shù)字圖像相關(guān)方法及其在實(shí)驗(yàn)力學(xué)中的應(yīng)用[D]. 北京：清華大學(xué)航空航天學(xué)院，2008.

Pan Bin. Research on Digital Image Correlation with Its Application in Experimental Mechanics[D]. Beijing：School of Aerospace，Tsinghua University，2008(in Chinese)．