王鐵成，王 卉

(1. 天津大學建筑工程學院，天津 300072；2. 天津市土木工程結構及新材料重點實驗室，天津 300072)

隨著我國工業(yè)的迅速發(fā)展，輸流管道系統(tǒng)已經(jīng)越來越廣泛地應用于許多領域，關于輸流管道振動問題已有一些方法和研究成果[1-6]．地下結構對地震波的波動散射問題，多年來一直是國內(nèi)外頗引人注目的研究課題之一[7-8]，但對于地震波散射問題中地下輸流管道的流固耦合研究還鮮見報道．為了揭示管道內(nèi)流體對入射波散射特性的影響，本文采用波動解析復變函數(shù)法[9]，建立地下輸流管道的流固耦聯(lián)波函數(shù)，對地下輸流管道的波動散射動力學方程進行求解，結合地下工程實例，研究地下輸流管道在地震P波作用下引起的動應力集中問題，考慮管道內(nèi)無黏結可壓縮流體的作用，對入射波空間頻率、入射角度及管道埋深等參數(shù)進行分析，針對給出的具體算例進行討論．

1 理論分析

1.1 輸流管道模型

如圖1所示，平面P波沿垂直于管道軸向的任意方向入射到地下輸流管道中．計算模型如圖 2所示，穩(wěn)態(tài)平面 P波以α角度入射，管道的中心坐標為(1x，1y)，中心到地表距離為h，管道半徑為a，內(nèi)孔半徑為b；半空間自由地表采用外凸大圓弧近似方法[10]，大圓弧中心坐標為(2x，2y)，半徑為l．

圖1 地下輸流管道模型Fig.1 Model of underground liquid-filled pipe

圖2 地下輸流管道計算模型Fig.2 Geometrical model of underground liquid-filled pipe

1.2 控制方程

為便于分析問題，將位移場轉換成極坐標形式

式中θ為極軸r與x軸的夾角．極坐標下的應力場為

1.3 可壓縮流體中的聲波方程

設流體密度和壓強變化是在常數(shù)背景下擾動，流體的運動方程可表示為

式中：ρ0為流體在擾動前的密度；p′為擾動壓強；v為流體質點的運動速度；t為擾動時間．

式(12)即為流體質點運動速度的速度勢滿足的波動方程．與固體彈性動力方程比較，壓強相當于應力，密度相當于應變，質點流速相當于位移．

1.4 入射波場的波函數(shù)

式中：P0為入射 P波勢振幅；P1、P2為P波和 SV波的反射系數(shù)，其表達式分別為

1.5 管道內(nèi)的駐波場波函數(shù)

當入射P波到達管道的表面時，由于入射波與管道表面的相互作用，一部分波反射和散射到周圍介質中，還有一部分波透射到管道內(nèi)部，透射到管道內(nèi)的P波發(fā)生波型轉換，在固體中以透射P波和透射轉換SV波的形式存在，而透射到管內(nèi)液體中的波型只有透射P波而無轉換SV波．這樣管道內(nèi)的駐波場分別為固體駐波場和流體駐波場，其駐波場位移勢函數(shù)可分別由Hankel函數(shù)的線性組合構成．

其中管道固體駐波位移勢函數(shù)為

考慮管內(nèi)流體性質為非黏性、可壓縮流體，其位移勢函數(shù)滿足波動方程式(12)

式中 cl為流體中的縱波波速．

對于穩(wěn)態(tài)情況，流體的位移勢函數(shù)φ( x , y, t )要滿足Helmholtz波動方程

式中：流體位移勢函數(shù)φ與時間的依賴關系為 e-iωt(以下略去諧和因子 e-iωt)；kPl為入射波在流體中的波數(shù)，kPl=ω/cl．

局限在流體內(nèi)的駐波只有縱波位移勢而無剪切波位移勢，在復坐標(z1)下管道內(nèi)的流體駐波位移勢函數(shù)用Bessel函數(shù)表示得

1.6 邊界條件

在充滿液體的管道中，管道應力受流體駐波影響．假設管道中的液體為非黏性可壓縮流體，在管道和流體的接觸面上，由于沒有考慮液體的黏性，管道的環(huán)向位移 uθΙΙ可能與管內(nèi)流體的環(huán)向位移 uθΙ不同．各邊界條件分別為

2 算例與結果

引入邊界條件，將各波場中的位移勢函數(shù)代入式(4)～式(8)的位移場和應力場中，即可求得各待定系數(shù)，再由式(6)和式(7)得到管道內(nèi)的徑向和環(huán)向動應力集中系數(shù)[11]

設管道的等效彈性模量 E = 3 .0× 1 04MPa，泊松比v= 0 .3，管道內(nèi)流體性質為水，體積彈性模量K= 2 .0× 1 03MPa．管道外壁半徑為a，內(nèi)壁半徑為b，取無量綱管壁厚度 a / b = 1 .2，管道埋深為 h / b = 2 、12．定義無量綱空間頻率η=2b/λ，該參數(shù)反映了地下輸流管道的內(nèi)徑與巖土介質中的 SV波波長的比值．無量綱空間頻率η取0.5、1.0和2.0．場地介質的動剪切模量取μ=700MPa，泊松比v=0.3，剪切波速cS= 5 00m/s．采用Fortran語言編制計算程序，截斷有限項對其進行求解．

圖3和圖4給出了P波作用下，地下輸流管道在不同埋深下的環(huán)向和徑向動應力集中分布，圖 3(a)和圖 3(c)為管道內(nèi)壁受入射 P波作用所產(chǎn)生的環(huán)向動應力集中分布，圖 3(b)和圖 3(d)為管道受內(nèi)流的影響所產(chǎn)生的徑向動應力集中分布．從環(huán)向應力分布圖中可以看出，掠入射下淺埋管道的環(huán)向應力峰值較小，當入射波自管道下方垂直入射時，應力峰值對稱分布于管道兩側，并出現(xiàn)較大的峰值點，埋深對掠入射下的峰值應力影響較大，而垂直入射下管道的峰值應力受埋深的影響較?。芄軆?nèi)流體作用，入射 P波對管道產(chǎn)生的徑向動應力集中分布受入射空間頻率的影響較大，在低頻波作用下徑向應力沿管周均勻分布，當頻率增大時，管道內(nèi)流體震蕩影響了分布形態(tài)，埋深對掠入射下徑向應力的影響大于垂直入射．

圖5給出了P波入射，有液管道與無液管道的環(huán)向動應力集中分布的對比.由圖 5可以看出，低頻域下有液和無液管道的動應力集中峰值點較多，隨著入射波空間頻率的增加，應力集中程度呈衰減趨勢；有液管道與無液管道的環(huán)向應力集中分布差別不明顯，僅在低頻入射下無液管道的應力峰值略高于有液管道，當空間頻率增大時有液與無液管道的環(huán)向應力峰值基本相同，說明管內(nèi)流體對管道的應力影響以徑向為主．

圖3 輸流管道內(nèi)壁的環(huán)向和徑向動應力集中分布( / 2h b= )Fig.3 Distribution of loop and radial dynamic stress concentration in liquid-filled pipe( / 2h b= )

圖4 輸流管道內(nèi)壁的環(huán)向和徑向動應力集中分布( / 12h b= )Fig.4 Distribution of loop and radial dynamic stress concentration in liquid-filled pipe( / 12h b= )

圖5 不同入射頻率下有液和無液管道的環(huán)向動應力集中Fig.5 Loop dynamic stress concentration of pipe with and without liquid at different incident frequencies

3 結 語

本文采用復變函數(shù)法，研究了地下輸流管道受地震P波作用引起的動應力集中問題，考慮了管道內(nèi)無黏結可壓縮流體的作用，分析了無量綱的入射空間頻率、入射角度及管道埋深對地下輸流管道動應力集中的影響．分析結果表明：管內(nèi)流體對管道的動應力集中分布的影響以徑向為主，在低頻入射波作用下管內(nèi)流體對管道的徑向動應力集中沿管周呈均勻分布；頻率增加，管內(nèi)流體震蕩明顯增強，影響了管道的徑向動應力集中的分布形態(tài)．管道埋深對輸流管道動應力集中分布的影響在掠入射下較為明顯，埋深越深，應力峰值越高．低頻域下有液和無液管道的環(huán)向動應力集中峰值點較多，隨著入射波頻率的增加，應力集中程度呈衰減趨勢．

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