周世才，楊玉虎，沈 煜，沈兆光

(天津大學機械工程學院，天津 300072)

在高速機械中，運動構(gòu)件要產(chǎn)生較大的慣性力和慣性力矩，機構(gòu)給機座一個擺動力和一個擺動力矩，它們對機械的運轉(zhuǎn)造成多方面的不良影響．要克服這些不良影響，就必須進行機構(gòu)的平衡．

對于機構(gòu)的平衡，按機構(gòu)的平衡程度可分為完全平衡和部分平衡．機構(gòu)的擺動力和擺動力矩的完全平衡是一種理想的平衡方案．Berkof[1]曾采用加配重和平衡齒輪，提出了一種可完全平衡四桿機構(gòu)的擺動力和擺動力矩的方法，并指出雖然一般不能通過在機構(gòu)內(nèi)部加配重的方法來完全平衡擺動力矩，但可采用附加轉(zhuǎn)動慣量的方式來實現(xiàn)．Feng[2-3]以含有移動副的四桿、五桿、六桿及八桿機構(gòu)為研究對象，提出了一種實現(xiàn)擺動力和擺動力矩完全平衡的方法．楊廷力等[4]和 Esat等[5]也在連桿機構(gòu)的擺動力和擺動力矩的完全平衡的一般理論研究方面做了大量工作．

由于擺動力和擺動力矩的完全平衡將會使機構(gòu)結(jié)構(gòu)過分復雜、慣性大幅增加，因而部分平衡仍是在工程中常用的方法．這類方法可大致分為兩類：一類方法是在擺動力完全平衡的條件下，盡量減小擺動力矩[6-7]；另一類方法則是同時考慮擺動力、擺動力矩、輸入轉(zhuǎn)矩和運動副反力等指標的優(yōu)化綜合平衡[8]．這兩類方法僅考慮系統(tǒng)輸入激勵而未計及系統(tǒng)自身動態(tài)性能的影響，減振效果往往并不明顯．針對上述問題，Zhang等[9]以機座的振動響應為目標函數(shù)，研究了處于彈性機座上的機構(gòu)平衡問題．Kochev等[10]采用機座的平均動能和平均勢能分別衡量機座的振動水平和機座傳遞到地基上的力．文獻[9-10]建立了配重與振動響應之間的關(guān)系，從而避免了平衡的盲目性．文獻[11]采用凸規(guī)劃的方法，對四桿機構(gòu)進行平衡，該種方法收斂速度快、精度高，且能保證優(yōu)化結(jié)果為全局最優(yōu)點．

對于不同的應用場合，五桿機構(gòu)需要采取不同的輸入組合，因而其運動也不盡相同．針對這一問題，筆者以鉸鏈五桿機構(gòu)為對象，以機座平均動能、平均勢能以及平均動能和平均勢能之和為目標函數(shù)，采用文獻[11]提出的凸規(guī)劃方法，建立鉸鏈五桿機構(gòu)擺動力、擺動力矩優(yōu)化綜合平衡的理論模型，對一種同軸式五桿機構(gòu)進行仿真計算．

1 理論模型

圖 1為機座的三自由度振動模型．圖中，桿 O1O2和桿 O3O4為主動桿，桿 O3O4繞原點 O4逆時針方向轉(zhuǎn)動，桿 O1O2繞原點 O1逆時針方向轉(zhuǎn)動，定義逆時針方向為角位移的正方向，機座與地基之間用彈簧系統(tǒng)k1、k2及 k3聯(lián)接．

以平面內(nèi)任意一點為原點建立固定坐標系xOy；以機座上任意一點為原點建立與機座固聯(lián)的動坐標系 x5O5y5，當機構(gòu)處于靜止狀態(tài)時坐標系 x5O5y5的橫軸與坐標系xOy的橫軸平行；分別以鉸鏈點為原點建立橫軸正方向與各桿重合的動坐標系 xiOiyi，i= 1 ,2,3,4．

圖1 機座的三自由度振動模型Fig.1 Three-degree vibration model of frame

1.1 目標函數(shù)

建立機座的動力學模型時，為了規(guī)避數(shù)學處理過于復雜，對系統(tǒng)做如下假設(shè)：

(1)忽略各構(gòu)件的彈性變形；各構(gòu)件的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量遠小于機座的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；

(2)忽略各構(gòu)件的運動與機座的振動響應的耦合．

基于以上假設(shè)，機座的振動表達式為

1.2 約束條件

由文獻[11]可知，配重轉(zhuǎn)動慣量滿足

配重質(zhì)量和位置的約束條件為

引入一個線性變量w及其相應的約束方程，根據(jù)文獻[11]，將該機構(gòu)的擺動力和擺動力矩的優(yōu)化平衡問題轉(zhuǎn)化為一個凸規(guī)劃問題，其數(shù)學模型為

2 算 例

由于忽略各構(gòu)件的運動與機座振動響應的耦合，因此可先假設(shè)機構(gòu)附加在剛性機座上，通過機構(gòu)的運動學分析計算出各構(gòu)件的運動參數(shù)，然后再利用上述理論模型計算擺動力和擺動力矩，并對其進行優(yōu)化綜合平衡．

圖2 同軸式五桿機構(gòu)運動學模型Fig.2 Kinematic model of coaxial five-bar linkages

針對工程實際中常用的同軸式五桿機構(gòu)進行優(yōu)化綜合平衡，如圖2所示．設(shè)桿12OO繞原點1O以修正正弦運動規(guī)律逆時針方向間歇轉(zhuǎn)動；桿 O3O4繞原點O4逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動．對應桿 O3O4回轉(zhuǎn)一周，桿O1O2回轉(zhuǎn)一周的同時，完成 6次間歇運動，其動停時間比為3∶1．

表1 配重約束條件Tab.1 Constrains of counterweight m

表2 機構(gòu)參數(shù)Tab.2 Parameters of linkages

分別以機座的平均動能、平均勢能、平均動能和平均勢能之和為目標函數(shù)，對如表2所示的二自由度平面五桿機構(gòu)進行擺動力和擺動力矩的優(yōu)化綜合平衡，分別得到各桿的配重參數(shù)，如表 3所示．為了說明平衡的效果，以平均動能為目標函數(shù)的情況為例，對應勻速桿回轉(zhuǎn)一周，平衡前后機構(gòu)的擺動力和擺動力矩、機座的振動響應分別如圖3和圖4所示．由圖3可見，機構(gòu)的擺動力和擺動力矩的幅值均有大幅降低；由圖 4可見，機座的振動響應得到了明顯的改善．

表3 配重參數(shù)Tab.3 Parameters of counterweight

圖3 機構(gòu)的擺動力和擺動力矩Fig.3 Shaking force and shaking moment of linkages

圖4 機座的振動響應Fig.4 Vibration responses of frame

3 結(jié) 論

(1)在建立機座三自由度受迫振動模型的基礎(chǔ)上，以平衡動能、平均勢能以及平衡動能和平均勢能之和為目標函數(shù)，建立了平面鉸鏈五桿機構(gòu)的擺動力和擺動力矩優(yōu)化綜合平衡的一般數(shù)學模型，并將該模型轉(zhuǎn)化為凸規(guī)劃相應的格式；文中方程的推導具有一般性，因而對該類機構(gòu)的優(yōu)化綜合平衡具有一般意義.

(2)對一種同軸式五桿機構(gòu)進行優(yōu)化綜合平衡，結(jié)果表明，平衡后的機構(gòu)的擺動力和擺動力矩的幅值大幅降低，機座振動響應得到明顯改善，從而驗證了該方法的可行性．

［1］Berkof R S. Complete force and moment balancing of inline four-bar linkages[J].Mech Mach Theory，1973，8(3)：397-410.

［2］Feng G. Complete shaking force and shaking moment balancing of 26 types of four-，five-，and six-bar linkages with prismatic pairs[J].Mech Mach Theory，1990，25(2)：183-192.

［3］Feng G. Complete shaking force and shaking moment balancing of 17 types of eight-bar linkages only with revolute pairs[J].Mech Mach Theory，1991，26(2)：197-206.

［4］楊廷力，張 明. 平面連桿機構(gòu)擺動力和擺動力矩完全平衡的一般理論[J]. 機械工程學報，1992，28(6)：99-102.

Yang Tingli，Zhang Ming. A theory of complete shaking force and shaking moment balance of planar linkages[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering，1992，28(6)：99-102(in Chinese).

［5］Esat I，Bahai H. A theory of complete force and moment balance of planar linkages mechanisms[J].Mech Mach Theory，1999，34(6)：903-922.

［6］Alici G，Shirinzadeh B. Optimum dynamic balancing of planar parallel manipulators based on sensitivity analysis[J].Mech Mach Theory，2006，41(12)：1520-1532.

［7］Arakelian V，Dahan M. Partial shaking moment balancing of fully balanced linkages[J].Mech Mach Theory，2001，36(11)：1241-1252.

［8］Demeulenaere B，Aertbelien E，Verschuure M，et al.Ultimate limits for counterweight balancing of crank rocker four-bar linkages[J].ASME，J Mech Des，2006，128(6)：1272-1284.

［9］Zhang S M，Chen J H. The optimum balance of shaking force and shaking moment of linkages[J].Mech Mach Theory，1995，30(4)：589-597.

［10］Kochev I S，Gurdev G. General criteria for optimum balancing of combined shaking force and shaking moment in planar linkages[J].Mech Mach Theory，1988，23(6)：481-489.

［11］Verschuure M，Demeulenaere B，Swevers J，et al.Counterweight balancing for machine frame vibration reduction：Design and robustness analysis [C] //Proceedings of ISMA．Leuven，Belgium，2006：3699-3713.

［12］Lofberg J. YALMIP：A toolbox for modeling and optimization in Matlab[C]//Proceedings of 2004 IEEE CCA/ISIC /CACSD．Taiwan，China，2004：284-289.