劉保童, 劉啟源, 吳玉林

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S變換數(shù)值計算方法比較的實驗研究

劉保童, 劉啟源, 吳玉林

(天水師范學(xué)院 物理與信息科學(xué)學(xué)院, 甘肅 天水, 741000)

為了對S變換的不同實現(xiàn)方法進行比較, 在MatLab環(huán)境下采用數(shù)值計算實驗的方法, 展現(xiàn)了數(shù)值實現(xiàn)S變換的不同方法中存在的誤差及濾波效果的區(qū)別, 為S變換這一工具的合理應(yīng)用提供了有益的參考. 研究表明, 頻率S變換(fST)與頻率反S變換(fIST)結(jié)合, 時間S變換(tST)與時間反S變換(tIST)結(jié)合, 是2種可在實際中使用的方法, 它們各有優(yōu)勢與不足.

S變換; 時-頻分析; 濾波器; 重建誤差

S變換(S transform, ST)[1]是短時傅里葉變換和連續(xù)小波變換思想的延伸或推廣, 其分辨率是依賴于頻率的. 在S變換中, 窗函數(shù)是一個可隨頻率的變化而伸縮的高斯(Gaussian)函數(shù), 在高頻處有較窄的窗, 在低頻處有較寬的窗. S變換具有連續(xù)小波變換所沒有的一些優(yōu)點, 并與傅里葉譜保持直接的聯(lián)系, 已在不同應(yīng)用中發(fā)揮積極作用. 例如, 文獻[2]將S變換用于心電圖分析, 文獻[3]利用S變換分析了齒輪振動信號, 文獻[4-5]是S變換在地球物理信號處理中的應(yīng)用. 另外還有許多作者對S變換的應(yīng)用進行了有益地探索. 如何將S變換成功用于各種實際問題, 近年來受到有關(guān)研究人員的重視.

Stockwell等人提出S變換的數(shù)值實現(xiàn)方法有2種, 反S變換(inverse S transform, IST)有1種[1]. 近年來關(guān)于S變換的研究取得了一個新進展, 文獻[6]提出了1種新的時間反S變換(time IST, tIST), 于是, S變換的數(shù)值實現(xiàn)方法有2種, S反變換的數(shù)值實現(xiàn)方法也有兩種. 不同形式的S變換與S反變換有何區(qū)別, 正、反變換怎么結(jié)合, 是值得研究的問題, 對S變換的應(yīng)用有重要意義. 文章通過數(shù)值計算實驗的方法, 對數(shù)值實現(xiàn)S變換及其反變換的不同方法進行了比較與分析, 得到了一些有意義的結(jié)論. 本文行文如下：首先回顧了S變換與反變換的理論基礎(chǔ), 接著給出離散計算公式. 然后, 通過數(shù)值計算實驗, 對各種實現(xiàn)S變換及其反變換的方法進行了比較分析, 最后給出幾點研究結(jié)論.

1 S變換與反變換理論基礎(chǔ)

這種寫法的S變換我們稱為頻率S變換(frequency ST, fST), 而另一種寫法(1)將稱為時間S變換(time ST, tST).

S變換的良好性質(zhì)之一在于它是完全可逆的. 由于在時間上求和得到函數(shù)的傅里葉譜:

我們稱(4)式為頻率反S變換(frequency IST, fIST). 近年來, Schimmel等人[6]提出了一種新的反S變換：時間反S變換(time IST, tIST). 對函數(shù)()加窗可定義下面的函數(shù)集:

2 在離散情況下S變換及其反變換的計算

頻率S變換(2)的離散計算式為:

時間反S變換(8)的離散計算式為:

3 數(shù)值計算實驗

3.1 兩種S變換的差別

設(shè)有一個頻率為100 Hz的余弦波, 單位振幅, 持續(xù)長度0.256 s, 時間采樣率0.002 s, 見圖1(a). 用時間S變換(11)計算的時頻譜見圖1(b), 用頻率S變換(12)計算的時頻譜見圖1(c), 二者的幅度差顯示在圖1(d)中. 可見, 雖然在無限連續(xù)情況下, 時間S變換(1)與頻率S變換(2)是等價的, 但在有限離散的情況下, 用(11)和(12)數(shù)值計算得到的變換結(jié)果是有差別的, 主要表現(xiàn)在左、右兩側(cè)的邊界附近, 且愈靠近邊界差別愈大, 這與文獻[7]的理論分析結(jié)果是一致的.

3.2 重建誤差

圖2(a)是一個單色波(), 與圖1(a)相比只是長度不同.()做fST后, 對時-頻譜不做任何改動(相當(dāng)于=1), 直接做tIST返回到時間域, 重建結(jié)果與原信號()的差在圖2(b)中用細(xì)實線表示, 存在低頻誤差, 總重建誤差小于原信號最大振幅的5％；而直接做fIST返回到時間域時, 重建結(jié)果與原信號()的差在圖2(b)中用粗短劃線表示, 誤差處處為零.()做tST后, 對時-頻譜不做任何改動(相當(dāng)于=1), 直接做tIST返回到時間域, 重建結(jié)果與原信號()的差在圖2(c)中用細(xì)實線表示, 不存在低頻誤差, 總重建誤差也小于原信號最大振幅的5％；而直接做fIST返回到時間域時, 重建結(jié)果與原信號()的差在圖2(c)中用粗短劃線表示, 中間0.05～0.47 s的區(qū)間誤差接近于零, 但在兩側(cè)邊界附近誤差太大, 故圖2(c)采用雙坐標(biāo)圖, 細(xì)線型坐標(biāo)軸控制細(xì)實線, 粗線型坐標(biāo)軸控制粗短劃線.

可以看出：a. fST與fIST結(jié)合, 重建精度最高, 誤差為零；b. fST與tIST結(jié)合, 存在低頻誤差, 但總重建誤差占原信號最大振幅的百分之幾; c. tST與tIST結(jié)合, 無低頻誤差, 總重建誤差也占原信號最大振幅的百分之幾; d. tST與fIST結(jié)合, 兩端邊界附近誤差太大.

鑒于b、c兩種情況的總誤差相當(dāng), 為說明在濾波中tIST比fIST的優(yōu)勢, 便于比較, 下面只就fST的情況進行數(shù)值實驗.

3.3 濾波效果比較

4 結(jié)論

通過數(shù)值實驗研究, 得到如下結(jié)論:

a. 時間S變換(tST)與頻率S變換(fST)的離散數(shù)值計算結(jié)果是不同的, 差異在兩側(cè)邊界附近；

b. S變換與反變換各種形式的不同組合, 產(chǎn)生的重建誤差不同；

c. 頻率反S變換(fIST)使濾波器的時間局部化特征受到損失；

d. 時間反S變換(tIST)保持了濾波器中的時間局部特征, 避免了時頻濾波中能量擴散造成的假信號；

e. 時間反S變換(tIST)是一種近似方法, 總誤差最大值為原始信號最大振幅的百分之幾；

f. 頻率S變換(fST)與頻率反S變換(fIST)結(jié)合, 時間S變換(tST)與時間反S變換(tIST)結(jié)合, 是2種可在實際中使用的方法, 它們各有優(yōu)勢與不足. 頻率方法與時間方法不宜交叉混合使用.

[1] Stockwell R G, Mansinha L, Lowe R P. Localization of the complex spectrum: the S transform[J]. IEEE Transactions On Signal Processing, 1996, 44(4): 998- 1001.

[2] Livanos G, Ranganathan N, Jang J. Heart sound analysis using the S transform[J]. Computers in Cardiology, 2000, 27: 587-590.

[3] McFadden P D, Cook J G, Forster L M. Decomposition of gear vibration signals by the generalized S transform[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 1999, 13(5): 691-707.

[4] Pinnegar C R, Mansinha L. The S-transform with wind- ows of arbitrary and varying shape[J]. Geophysics, 2003, 68(1): 381-385.

[5] Parolai S. Denoising of seismograms using the S trans- form[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 2009, 99(1): 226-234.

[6] Schimmel M, Gallart J. The inverse S transform in filters with time-frequency localization[J]. IEEE Transactions On Signal Processing, 2005, 53(11): 4417-4422.

[7] Simon C, Ventosa S, Schimmel M, et al. The S-transform and its inverses: side effects of discretizing and filtering [J]. IEEE Transactions On Signal Processing, 2007, 55(10): 4928-4937.

Experimental researches on comparison of S transform numerical methods

LIU Bao-tong, LIU Qi-yuan, WU Yu-lin

(College of Physics and Information Science, Tianshui Normal University, Tianshui 741000, China)

In order to compare different numerical methods of S transform, this paper illustrates errors and filtering effects of different procedures via computing experiments under MatLab environment, provides useful references. The research showed, frequency S transform in conjunction with frequency inverse S transform and time S transform in conjunction with time inverse S transform are two practical methods, each of them has its advantages and disadvantages.

S transform; time-frequency analysis; filter; reconstruction error

TN 911.7

A

1672-6146(2010)03-0016-04

10.3969/j.issn.1672-6146.2010.03.007

2010-06-07

甘肅省教育廳科研項目(0908B-1)

劉保童(1965-), 男, 副教授, 博士, 研究方向為數(shù)字信號處理、數(shù)學(xué)物理方法和大學(xué)物理.