陳兆蕙, 楊 林, 李澤華

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非線性耦合Ginzburg-Landau方程組的整體吸引子

陳兆蕙1, 楊 林2, 李澤華3

(1. 華南農(nóng)業(yè)大學(xué)珠江學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部, 廣東 廣州, 510900; 2. 湖南大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙, 410012; 3. 華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 廣東 廣州, 510642)

為研究系數(shù)與時(shí)間有關(guān)的一維非線性耦合Ginzburg-Landau方程組在周期邊界條件下整體吸引子的存在性, 采用經(jīng)典的Galerkin逼近方法, 得到了方程組在周期邊界條件下整體解的存在性及唯一性, 再利用能量方法, 證明了整體吸引子的存在性.

Ginzburg-Landau耦合方程組; 吸收集; 整體吸引子

具有如下初始條件：

和周期邊界條件：

1 吸收集的存在性

2 整體吸引子的存在性

為式(1)-(4)的近似解, 且滿足：

由此可知:

由此得到:

解的存在性證畢.

唯一性證明可參閱文獻(xiàn)[8]，此處省略.

關(guān)于整體吸引子的存在性，有如下定理：

3 結(jié)論

本文利用Ginzburg-Landau數(shù)學(xué)模型描述了一種具有主動(dòng)和被動(dòng)非線性耦合雙核的光波運(yùn)輸材料. 利用Galerkin逼近方法、能量方法證明了耦合Ginzburg-Landau方程組的整體解的存在性和唯一性. 這個(gè)整體解有什么具體的幾何結(jié)構(gòu)和拓?fù)洳蛔冃? 整體吸引子所包含的內(nèi)容是很廣泛的, 有不動(dòng)點(diǎn)、周期解、擬周期解、奇異吸引子, 如何區(qū)分它們, 這是我們以后要研究的內(nèi)容.

[1] Aranson I, Kramer L. The world of the complex Ginzburg Landau equation[J]. Reviews of Modern Physics, 2002, 74: 99-143.

[2] Dai Zhengde, Li Zitian, Liu Zhenjiang, et al. Exact homo- linic wave and solition solutions for the 2D Ginzburg- Landau equation[J]. Physics Letters A, 2008, 372: 3010- 3014.

[3] Zhong Penghong, Yang Ronghui, Yang Ganshan. Exact periodic and blow up solutions for 2D Ginzburg-Landau equation[J]. Physics Letters A, 2008, 373(1): 19-22.

[4] 郭柏靈, 黃海洋, 蔣慕蓉. 金茲堡-朗道方程[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2002: 1-315.

[5] 李本圖, 李棟龍. Ginzburg-Landau 方程的吸引子及其Hausdorff維數(shù)估計(jì)[J]. 廣西工學(xué)院學(xué)報(bào), 2006, 17(4): 84-87.

[6] Dai Zhengde, Jiang Murong. Expontial attarctors for the Ginzburg-andau-BBM equations[J]. J Math Res Expo, 2001, 21(3): 317-322.

[7] Sakaguchi H, Malomed B. Stabal solitions in coupled Ginzburg-Landau equations describing Bose-Einstein condensates and nonlinear optical wave guides and cavities[J]. Physica D, 2003, 183: 282-292.

[8] 陳兆蕙, 楊林. 非線性耦合Ginzburg-Landau 方程組的相關(guān)研究[D]. 長(zhǎng)沙: 湖南大學(xué), 2009: 1-20.

Global attractor of nonlinear coupled Ginzburg-Landau equations

CHEN Zhao-hui1, YANG Lin2, LI Ze-hua3

(1. Public Elementary Teaching Department, Zhujiang College of South China Agricultural University, Guangzhou 510900,China; 2. College of Mathematics and Econometrics, Hunan University, Changsha 410012, China; 3. College of Science, South China Agricultural University, Guangzhou 510642, China)

In order to study the global attractors of one dimensional nonlinear coupled Ginzburg-Landau equations with variable coefficients under the periodic boundary conditions, the existence and uniqueness of solution to the equations with boundary condition are proved by using the method of the classical Galerkin approximation method. And thus, the existence of global attractor is obtained by using energy method.

coupled Ginzburg-Landau equations; absorbing set; global attractor

O 175. 29

A

1672-6146(2010)03-0009-03

10.3969/j.issn.1672-6146.2010.03.005

2010-06-22

國(guó)家自然科學(xué)基金(10871072); 華南農(nóng)業(yè)大學(xué)校長(zhǎng)科學(xué)基金(2009K020)

陳兆蕙(1984-), 女, 碩士, 研究方向?yàn)闊o(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng).