余慶紅 廖 虎 吳文海

西安電力高等?？茖W(xué)校 陜西 西安 710032

1 問題的描述

在邊長(zhǎng)L米的正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)處各站一人，他們同時(shí)開始以等速V按邊道順時(shí)針方向追逐下一人，在追逐過程中，每個(gè)人時(shí)刻對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)，試模擬追擊路線。并討論：

（1）四個(gè)人能否追到一起？

（2）若能追逐到一起，畫出他們走過的軌跡圖形？

（3）他們運(yùn)動(dòng)的軌跡圖形是什么？

2 問題分析

因?yàn)樵谧分疬^程中四人始終保持對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)，并保持相同速度勻速追逐，可確定出追逐過程中四人追逐方向始終保持垂直狀態(tài)，由此進(jìn)行假設(shè)確定出運(yùn)動(dòng)軌跡。根據(jù)條件確定軌跡方程并建立模型。

3 問題假設(shè)

設(shè)甲、乙、丙、丁四人分別位于正方形ABCD四頂點(diǎn)上，在某一時(shí)刻同時(shí)出發(fā)均勻速v按順時(shí)針方向跑向下一人，且行進(jìn)過程中，他們保持對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)，因?yàn)橥瑫r(shí)運(yùn)動(dòng)速度相同、保持對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)，故其相對(duì)位置不變只是因?yàn)樵谶\(yùn)動(dòng)過程中其方向整體發(fā)生變化，相對(duì)距離變小，所以要確定其軌跡必須要確定其變量的變化規(guī)律就自然確定了其運(yùn)動(dòng)軌跡。

4 原始數(shù)據(jù)、術(shù)語及符號(hào)說明

取四人所在邊長(zhǎng)20米的正方形中點(diǎn)為坐標(biāo)中心 o，四點(diǎn)坐標(biāo)分別是：甲（－10,10）；乙（10,10）；丙（10,－10）;?。ǎ?0,－10）。 假設(shè)：t：追逐的時(shí)間；t0：開始追逐的時(shí)間；tn：終止追逐的時(shí)間；單位均為秒。 （xi，yi）i=1,2,3,4 分別表示四人在 t時(shí)刻處于的坐標(biāo)位置。

5 模型分析

圖1 軌跡狀態(tài)圖

其運(yùn)動(dòng)軌跡就如圖中運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的弧線 ，最終四條弧線相交于正方形中心點(diǎn)，所以四個(gè)人能追到一起。如圖2所示。

圖2 最終軌跡狀態(tài)圖

6 模型的建立、方案設(shè)計(jì)

1）建立平面直角坐標(biāo)系

2）以時(shí)間間隔Δt進(jìn)行采樣，在每一時(shí)t計(jì)算每個(gè)人在下一時(shí)t+Δt時(shí)的坐標(biāo)。

按題意，甲、乙位置坐標(biāo)的連線確定了甲的追逐方向q1，顯然有

當(dāng)追逐又延續(xù)了時(shí)間間隔Δt后,假設(shè)時(shí)間間隔 Δt 較 小 ，甲的坐標(biāo)變?yōu)椋海▁1+vΔtcosθ1,y1+vΔtsinθ1）

同理，乙在 t+Δt時(shí)的坐標(biāo)為 （x2+Δtsinθ2，y2+Δtsinθ2）

丙的坐標(biāo)變?yōu)椋海▁3+Δtsinθ3，y3+Δtsinθ3）

丁的坐標(biāo)變?yōu)椋海▁3+Δtsinθ4，y4+Δtsinθ4）

4）選取足夠小的 Δt，模擬到 d〈vΔt時(shí)為止.

5）連接四人在各時(shí)刻的位置，就得到所求的軌跡。

7 MATLAB實(shí)現(xiàn)

根據(jù)以上模擬步驟，可編出MATLAB程序如下：

運(yùn)行上述程序可得到下圖3。

圖3 計(jì)算機(jī)模擬圖

從計(jì)算機(jī)模擬圖中可以清楚地看到甲、乙、丙、丁四人追逐最終將安螺旋狀曲線匯合于正方形中點(diǎn)。

8 可行性分析

我們可以在每個(gè)追逐的時(shí)間進(jìn)行Δt后利用如上公式依次算出每個(gè)人位置變化的坐標(biāo)，然后用小直線段分別連接每個(gè)人的位置坐標(biāo)，畫出相應(yīng)的圖形與計(jì)算機(jī)模擬出的追逐路線一致，所以可知該模型可以使用。

9 模型的優(yōu)缺點(diǎn)

1）優(yōu)點(diǎn)：在應(yīng)用計(jì)算機(jī)模擬進(jìn)行分析的問題上，計(jì)算機(jī)模擬有助于深入評(píng)比各個(gè)可供選擇的方案的優(yōu)缺點(diǎn)。

2）缺點(diǎn)：根據(jù)題目的已知數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，確定了追擊速度是統(tǒng)一的，實(shí)際上簡(jiǎn)化了問題，對(duì)于四人追擊速度各不相同時(shí)，結(jié)果變化回很大，再通過計(jì)算機(jī)編程模擬，需要重新設(shè)計(jì)程序。

［1］朱旭.MATLAB軟件與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［M］.西安：西安交通大學(xué)出版社,2008：1-69.

［2］李繼成.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) CAD［M］.北京：高等教育出版社,2006：179-187.