[印度] R.K.巴他卡利亞 M.薩蒂什

董耀華 譯自美刊《灌溉與排水工程》2008年第5-6期

采用優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行明渠斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)是水力學(xué)與水資源研究者十分關(guān)注的課題,達(dá)斯(Das,2007年)提出了一種工程造價(jià)與洪水淹沒頻率最小化的梯形斷面明渠多目標(biāo)優(yōu)化模型,給出了渠道超高固定情形下表述工程造價(jià)與洪水淹沒頻率之間關(guān)系的帕雷托(Pareto)最優(yōu)化解。依據(jù)達(dá)斯模型,要使洪水淹沒頻率較小,渠道頂寬就必須很大。然而隨著渠頂寬度的增加,土地成本也會(huì)增加,超寬渠道可能會(huì)因?yàn)檎嫉囟喽灰私ㄔ?因此,渠頂寬度受到場地適用性與經(jīng)濟(jì)可行性等因素的制約。

本文將渠道超高視為附加的設(shè)計(jì)變量,提出了一種改進(jìn)的梯形斷面明渠多目標(biāo)優(yōu)化模型,模型在減少渠道頂寬和降低工程造價(jià)等方面比達(dá)斯模型更加優(yōu)越。首先采用傳統(tǒng)優(yōu)化算法求解本文改進(jìn)的模型,并通過與達(dá)斯模型成果比較,評(píng)估其優(yōu)劣。

傳統(tǒng)優(yōu)化算法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題存在較大的局限性,大部分傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化算法先將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)問題,再使用單目標(biāo)傳統(tǒng)優(yōu)化算法求解,一次求解只能得到一個(gè)最優(yōu)解,要想得到全部的帕雷托最優(yōu)解,必須進(jìn)行重復(fù)計(jì)算。但是,如果采用多目標(biāo)遺傳算法,一次求解就能夠得到全部的帕雷托最優(yōu)解,因此,本文最后采用非受控排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)給出了改進(jìn)模型的帕雷托最優(yōu)解,并與傳統(tǒng)優(yōu)化算法的計(jì)算成果進(jìn)行了比較,以檢驗(yàn)NSGA-Ⅱ的適用性。

1 模型的公式表達(dá)

如圖 1所示,假定明渠梯形斷面邊坡為 z1和z2,底寬、水深和渠道超高分別為 b、y和 f,渠道兩側(cè)和渠底糙率不同,其曼寧系數(shù)分別為 n1、n2和 n3,明渠復(fù)合斷面的等效糙率采用霍頓法(Horton,1933年)計(jì)算得出。

圖1 明渠梯形斷面

渠道優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要目標(biāo)是降低工程造價(jià),同時(shí)必須使渠道洪水淹沒頻率最小,以防洪水漫出渠道。為此,達(dá)斯提出了如下明渠多目標(biāo)優(yōu)化模型:

式中 Af為斷面總面積;c1為斷面單位面積造價(jià);c2為濕周 P1f單位長度造價(jià);c3為濕周 P2f單位長度造價(jià);c4為濕周 P3f單位長度造價(jià);Q為設(shè)計(jì)流量;S0為渠底縱坡;A為斷面過流面積;Pi為濕周長度(i=1,2,3);ni為曼寧系數(shù)(i=1,2,3);P(y＞y+f)為水深超過渠道堤頂?shù)念l率,根據(jù)達(dá)斯模型計(jì)算。

目標(biāo)函數(shù) 1(式(1))與目標(biāo)函數(shù) 2(式(2))之間存在某種折衷關(guān)系,洪水淹沒頻率越小,渠道工程造價(jià)越高;反之,洪水淹沒頻率越大,渠道工程造價(jià)越低。達(dá)斯提出了渠道超高固定情形下多目標(biāo)優(yōu)化模型的求解方法,并給出了復(fù)合糙率、均勻糙率渠道斷面的計(jì)算結(jié)果(表 1)。

由表 1可知,對應(yīng)于洪水淹沒頻率極小的渠道斷面參數(shù)極不合理,例如當(dāng)設(shè)計(jì)流量 100m3/s、洪水淹沒頻率0.01時(shí),達(dá)斯模型計(jì)算的復(fù)合糙率渠道斷面設(shè)計(jì)參數(shù)為:渠頂寬度94.26 m、水深0.60m、邊坡0.46和0.56。得出的渠道斷面很不現(xiàn)實(shí),渠頂寬度太大、實(shí)際難以實(shí)施。針對這一情況,本文提出了將渠道超高作為附加變量的優(yōu)化模型,模型變量由此增加為 b、y、z1、z2和 f,模型根據(jù)洪水淹沒頻率確定不發(fā)生漫頂時(shí)的渠道超高。當(dāng)洪水淹沒頻率較小時(shí),渠道超高較大;而當(dāng)洪水淹沒頻率較大時(shí),可能不需要渠道超高,因此有必要增加一個(gè)最小渠道超高的附加限制條件:

式中 fmin為最小渠道超高。

2 采用傳統(tǒng)優(yōu)化算法求解

綜合目標(biāo)函數(shù)式(1)、(2)與限制條件式(3)、(4),構(gòu)成了本文改進(jìn)的梯形斷面明渠多目標(biāo)優(yōu)化模型。首先采用傳統(tǒng)優(yōu)化算法進(jìn)行模型求解,通過引入 ε-約束,將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)換成單目標(biāo)問題,轉(zhuǎn)換后的單目標(biāo)優(yōu)化問題可用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行表達(dá)。

最小化:

滿足條件:

可采用傳統(tǒng)的單一目標(biāo)優(yōu)化算法求解上述不同ε值時(shí)的單目標(biāo)優(yōu)化問題,具體可使用 MATLAB軟件的序列二次規(guī)劃程序求解。

2.1 復(fù)合糙率渠道斷面的最優(yōu)解

本文首先對達(dá)斯模型復(fù)合糙率渠道斷面算例進(jìn)行對比計(jì)算,以證明本文模型的優(yōu)越性。計(jì)算參數(shù)為:明渠設(shè)計(jì)流量 100m3/s,其他參數(shù)均值分別為c1=0.50、c2=0.30、c3=0.35、c4=0.40、n1=0.030、n2=0.025、n3=0.020和 S0=0.0025,部分參數(shù)可隨機(jī)上浮至 n1=0.033、n2=0.028、n3=0.023、S0=0.0028和 Q=120m3/s(分別浮動(dòng) 30%、25%、20%、30%和 35%),洪水淹沒頻率計(jì)算使用達(dá)斯模型方法。

圖2給出了達(dá)斯模型與本文模型的帕雷托最優(yōu)解,由圖可知:本文模型的非受控最優(yōu)解優(yōu)于達(dá)斯模型,展示了模型的優(yōu)越性。表 1給出了本文模型與達(dá)斯模型的最優(yōu)解,由表可知:當(dāng)洪水淹沒頻率為0.01、設(shè)計(jì)流量 100m3/s和渠道超高可變時(shí),本文模型計(jì)算的渠道斷面設(shè)計(jì)參數(shù)分別為渠道頂寬10.81m、水深 2.70m、邊坡 0.10和 0.11、渠道超高2.47 m、工程造價(jià)37.17貨幣單位;而通過達(dá)斯模型得到的渠道超高固定時(shí),相應(yīng)的渠道斷面設(shè)計(jì)參數(shù)分別為渠道頂寬94.26m、水深0.60m、邊坡0.46和0.56、工程造價(jià)90.73貨幣單位。達(dá)斯模型的渠道斷面尺寸很不現(xiàn)實(shí),因而難以實(shí)施,而且其工程造價(jià)是本文模型的2.44倍。

2.2 均勻糙率渠道斷面的最優(yōu)解

本文對達(dá)斯模型均勻糙率渠道斷面算例也進(jìn)行了對比計(jì)算,以再次檢驗(yàn)本文模型的性能。明渠設(shè)計(jì)流量 100m3/s,其他參數(shù)均值分別為 c1=0.50、c2=c3=c4=0.30、n1=n2=n3=0.030和 S0=0.0025,部分參數(shù)可隨機(jī)上浮至 n1=n2=n3=0.033、S0=0.0028和 Q=120m3/s(分 別浮動(dòng)30%、30%和 35%),洪水淹沒頻率計(jì)算仍然使用達(dá)斯模型方法。

表1 復(fù)合糙率渠道斷面帕雷托最優(yōu)解比較

圖2 達(dá)斯模型與本文模型得出的復(fù)合糙率渠道斷面帕雷托最優(yōu)解的比較

圖3給出了達(dá)斯模型與本文模型的帕雷托最優(yōu)解,再次表明:本文模型的非受控優(yōu)化解優(yōu)于達(dá)斯模型。

圖3 達(dá)斯模型與本文模型得出的均勻糙率渠道斷面帕雷托最優(yōu)解的比較

2.3 頂寬受限渠道斷面的最優(yōu)解

受施工場地的約束,某些渠道的頂寬受到限制,因此,需要在上述明渠非線性優(yōu)化模型中引入渠道頂寬取值的附加限制條件:

式中 Tf為渠道頂寬;Tmax為最大允許渠道頂寬,本文研究中取Tmax=8.00m。

仍然選取復(fù)合糙率渠道斷面算例,加入渠道頂寬8.00m限制條件,圖 4給出了頂寬受限渠道斷面的帕雷托最優(yōu)解。應(yīng)指出的是,當(dāng)洪水淹沒頻率較小時(shí),達(dá)斯模型無法獲得該算例的合理最優(yōu)解,其原因在于:對應(yīng)于較小的洪水淹沒頻率,達(dá)斯模型會(huì)求解出一個(gè)超常的渠頂寬度。

圖4 頂寬受限復(fù)合糙率渠道斷面帕雷托最優(yōu)解

3 采用非受控排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)求解

NSGA-Ⅱ是求解多目標(biāo)優(yōu)化問題最佳算法之一,它采用迫使非受控解向帕雷托最優(yōu)解方向特殊生成的方法搜索帕雷托最優(yōu)解,并通過“密集間距判據(jù)”保持帕雷托最優(yōu)解的多樣性。圖 5給出了復(fù)合糙率渠道斷面的 NSGA-Ⅱ與傳統(tǒng)優(yōu)化算法的帕雷托最優(yōu)解。采用 NSGA-Ⅱ只需求解一次就可獲得所有的非受控最優(yōu)解,而采用傳統(tǒng)優(yōu)化算法則需要多次求解才能得到所有最優(yōu)解,兩種算法的最優(yōu)解十分接近。評(píng)估結(jié)果表明:采用 NSGA-Ⅱ求解渠道工程造價(jià)與洪水淹沒頻率的帕雷托最優(yōu)解是可行的。

圖5 NSGA-Ⅱ與傳統(tǒng)優(yōu)化算法計(jì)算復(fù)合糙率渠道斷面帕雷托最優(yōu)解的比較

4 結(jié) 語

基于渠道超高可變,本文提出了一種新的明渠斷面設(shè)計(jì)優(yōu)化模型,采用傳統(tǒng)優(yōu)化算法與 NSGA-Ⅱ?qū)Ρ疚亩嗄繕?biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行了求解,并將模型實(shí)際應(yīng)用于梯形斷面明渠的優(yōu)化設(shè)計(jì)。與以往達(dá)斯模型成果進(jìn)行了對比分析,結(jié)果表明:①本文模型在減少渠道頂寬和降低工程造價(jià)等方面成效顯著;②采用 NSGA-Ⅱ進(jìn)行本文模型求解是十分有效的。