摘要：在對(duì)近年中國國內(nèi)統(tǒng)計(jì)學(xué)者在概率統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)思想教學(xué)中的一些研究成果進(jìn)行了綜述后認(rèn)為，國內(nèi)概率統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)研究集中于思想的內(nèi)涵、作用與功能、方法與技巧，取得了較為豐富的成果。

關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)思想；教學(xué)

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中并經(jīng)過人們的思維活動(dòng)產(chǎn)生的，是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。概率統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)一個(gè)富有特色的分支，在概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容中同樣蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想，為人們正確處理現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)信息、揭示事物現(xiàn)象的變化規(guī)律、提高分析問題和解決問題的能力提供了強(qiáng)有力的工具。因此，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)研究對(duì)學(xué)科本身的發(fā)展和教學(xué)效果的改善具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義，受到許多學(xué)者的青睞。本文擬對(duì)近年我國學(xué)者對(duì)概率統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)研究成果和研究狀況進(jìn)行綜述。

一、概率論的思想史

對(duì)概率論思想史的教學(xué)研究文獻(xiàn)較少。黃海平（1999）主張，在教學(xué)中適當(dāng)介紹概率論的歷史和數(shù)學(xué)思想史，不但能使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思想的巨大價(jià)值，還可以激發(fā)他們學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的興趣。石瑩（2002）提出，數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)，其發(fā)展史是教學(xué)中不容忽視的環(huán)節(jié)。

二、隨機(jī)思想和偶然與必然的思想

隨機(jī)思想和統(tǒng)計(jì)思想是概率統(tǒng)計(jì)中特有的數(shù)學(xué)思想。魏孝章和姜根明（2003）指出，隨機(jī)思想是概率論的核心思想，是從個(gè)別偶然的現(xiàn)象發(fā)展到這種偶然現(xiàn)象所表現(xiàn)出的一種內(nèi)在的必然規(guī)律。研究隨機(jī)現(xiàn)象就是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問題，這就是偶然與必然的思想。石瑩（2002）指出，在講授概率統(tǒng)計(jì)時(shí)要注重公理化思想、模型思想、依概率收斂、統(tǒng)計(jì)推斷等典型思想方法，同時(shí)分析偶然與必然的關(guān)系，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證思想方法的教學(xué)。

三、公理化思想

公理化思想就是從盡可能少的無定義的原始概念和一組不證自明的命題（基本公理）出發(fā)，利用邏輯推理法則建立數(shù)學(xué)的演繹系統(tǒng)。到20世紀(jì)，柯爾莫哥洛夫?qū)W派建立了概率的公理化結(jié)構(gòu)，概率論因此成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支。

石瑩（2002）建議，在教學(xué)中可側(cè)重于講解公理化思想方法對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)理論形成的重要意義，讓學(xué)生在嚴(yán)格的公理體系中認(rèn)知定義、公式及定理，學(xué)會(huì)運(yùn)用規(guī)范化的數(shù)學(xué)語言解決概率統(tǒng)計(jì)中的問題。張瑾和王永紅（2005）通過分析概率的公理化定義，說明了聯(lián)系緊密、內(nèi)在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的公理化知識(shí)體系，并用結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)說明了各部分基礎(chǔ)知識(shí)的結(jié)構(gòu)特征。

四、統(tǒng)計(jì)思想

統(tǒng)計(jì)思想是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的精華，是統(tǒng)計(jì)方法的靈魂，包括統(tǒng)計(jì)調(diào)查思想、統(tǒng)計(jì)描述思想、統(tǒng)計(jì)推斷思想等。

章朝慶（2001）指出，概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)要與人才培養(yǎng)目標(biāo)相適應(yīng)，并給出在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的一些方法，例如：引導(dǎo)學(xué)習(xí)，體現(xiàn)方法；結(jié)合概念和定理講授概率統(tǒng)計(jì)方法；聯(lián)系實(shí)際，學(xué)習(xí)綜合運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法。

倪中新和陳敏（2004）提出，在教學(xué)中要注重講授概率統(tǒng)計(jì)的思想和背景，比如，各種概型、概率分布的應(yīng)用背景，隨機(jī)變量的數(shù)字特征的物理意義，參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)的哲學(xué)背景；同時(shí)指出，統(tǒng)計(jì)思想的教學(xué)還應(yīng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)軟件等現(xiàn)代教育技術(shù)。

張馳（2006）認(rèn)為，要特別重視對(duì)統(tǒng)計(jì)思想的教學(xué)，在概率論教學(xué)中穿插、滲透統(tǒng)計(jì)思想，在統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)中通過將統(tǒng)計(jì)思想經(jīng)典語句化來加強(qiáng)統(tǒng)計(jì)思想的教學(xué)。

統(tǒng)計(jì)推斷思想是貫穿于數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究始終的思想方法，是利用研究對(duì)象總體的隨機(jī)子樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)總體或總體間性質(zhì)作出估計(jì)、推測(cè)的一種數(shù)學(xué)思想。假設(shè)檢驗(yàn)、區(qū)間估計(jì)、方差分析、回歸分析等方法體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)推斷思想。石瑩（2002）給出了在教學(xué)中講授統(tǒng)計(jì)推斷思想的一些建議：介紹統(tǒng)計(jì)推斷的基本模式，闡明其在方法論中的價(jià)值，闡述統(tǒng)計(jì)推斷的現(xiàn)實(shí)意義。

五、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合的思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化，從而使問題簡(jiǎn)單化、熟悉化。張瑾和王永紅（2005）給出了概率統(tǒng)計(jì)中數(shù)形結(jié)合思想常用的一些方面。例如：用文氏圖分析揭示事件的互不相容、獨(dú)立、互逆等關(guān)系；畫出完備事件組的示意圖，有助于學(xué)生對(duì)全概率公式和貝葉斯公式的理解和應(yīng)用；幾何概型中，利用線段、平面、空間圖形的長度、面積和體積計(jì)算事件的概率。舒元生（2005）基于正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性、增減性、漸近性并結(jié)合實(shí)例說明了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

六、分類討論思想

當(dāng)問題含有多種可能，人們難以對(duì)它進(jìn)行統(tǒng)一處理時(shí)，就只能按其出現(xiàn)的各種情況分類進(jìn)行討論，分別得出與各類情況相對(duì)應(yīng)的結(jié)論，綜合這些結(jié)論便得到原來問題的答案。這種分析問題、解決問題的思想就是分類討論思想。概率統(tǒng)計(jì)中的許多內(nèi)容都體現(xiàn)了分類討論思想，它們分布在概念、定理的證明、運(yùn)算法則和具體問題的解決中。

黃海平（1999）主張?jiān)诮虒W(xué)中滲透分類討論思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，并特別指出復(fù)習(xí)是滲透分類思想的最佳時(shí)機(jī)。

七、化歸思想或等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

把有待解決或未解決的對(duì)象，通過轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題，以求得原問題的解決，就是化歸轉(zhuǎn)換的思想方法。

在概率統(tǒng)計(jì)中能用化歸思想解決的問題較多。黃海平（1999）主張?jiān)诮虒W(xué)中要挖掘化歸思想，強(qiáng)化學(xué)生的辯證思維能力。舒元生（2005）通過實(shí)例介紹了運(yùn)用對(duì)立事件、等價(jià)命題、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體、排除法和已知的定理公式結(jié)論等進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想方法。

八、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想是指要用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析、研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，通過利用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題并加以研究，最終解決問題。方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解，有時(shí)還需實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，最終達(dá)到解決問題的目的。

九、模型思想

一切數(shù)學(xué)概念、公式、理論體系以及由數(shù)學(xué)概念與符號(hào)刻畫出來的某個(gè)系統(tǒng)中的關(guān)系結(jié)構(gòu)都可成為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型有廣義解釋和狹義解釋。按廣義解釋，凡是以相應(yīng)的客觀原型作為背景加以一級(jí)抽象或多級(jí)抽象的數(shù)學(xué)概念、定理、公式等都叫數(shù)學(xué)模型，如古典概型、幾何概型、二項(xiàng)概型、條件概率、隨機(jī)變量、期望和方差等。按狹義解釋，只有那種反映特定的具體實(shí)體內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)才成為數(shù)學(xué)模型，如概率中的摸球問題、擲分幣問題、分房問題、次品問題、蒲豐投針問題等。

模型思想就是構(gòu)造模型、使用模型的思想方法。魏孝章和姜根明（2003）通過實(shí)例說明，概率建模思想既可以處理隨機(jī)問題，也可以處理一些非隨機(jī)問題。黃海平（1999）主張要在教學(xué)中提煉模型思想，以培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。韋程?hào)|等（2008）主張要在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的內(nèi)容，引入討論與講授相結(jié)合、啟發(fā)式、案例分析和現(xiàn)代教育技術(shù)等數(shù)學(xué)建模思想的方法，在課后作業(yè)中融入數(shù)學(xué)建模思想，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力。高巖（2008）建議將數(shù)學(xué)建模思想貫穿于整個(gè)教學(xué)過程，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力和合作意識(shí)，促進(jìn)知識(shí)向應(yīng)用的轉(zhuǎn)化；還介紹了將數(shù)學(xué)建模思想融入概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的方法和原則。石瑩（2002）認(rèn)為，在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，一方面要使學(xué)生了解典型模型的構(gòu)造規(guī)律，在解題教學(xué)和練習(xí)中學(xué)會(huì)正確使用模型；另一方面要揭示模型之間的聯(lián)系，區(qū)別易混淆的模型。李曉毅和徐兆棣（2008）探討了在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想形成和建立的途徑，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)實(shí)例、教學(xué)手段、教學(xué)模式等方面進(jìn)行分析，闡明了在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想是促使學(xué)生學(xué)好概率統(tǒng)計(jì)課程的有效途徑。

十、其他數(shù)學(xué)思想

1．集合與映射思想

隨機(jī)事件、樣本空間等概率論中的基本概念其實(shí)質(zhì)就是集合，而在概率的公理化定義中則將“概率”定義為事件域F（集合）到實(shí)數(shù)區(qū)間[0，1]的一個(gè)映射。隨機(jī)變量的定義也是從樣本空間（集合）到實(shí)數(shù)域R建立的一個(gè)映射。李光平和劉洪（2004）從解釋古典概率、把握事件之間的關(guān)系、計(jì)算事件的概率三個(gè)方面介紹了在教學(xué)中滲透集合觀點(diǎn)的具體做法。

2．整體思想

整體思想就是把考慮的對(duì)象作為一個(gè)整體對(duì)待，而且這個(gè)整體是各要素按一定規(guī)律組合成的有機(jī)統(tǒng)一體。

3．求補(bǔ)思想

對(duì)于直接求解較困難或較復(fù)雜的問題，可考慮先求它的補(bǔ)集，這種在順向思維受阻后改用逆向思維的思想就是數(shù)學(xué)中的求補(bǔ)思想。王衛(wèi)華（2006）針對(duì)2005年高考概率題目說明了補(bǔ)集思想的應(yīng)用。

綜上可知，國內(nèi)概率統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)研究集中于思想的內(nèi)涵、作用與功能、方法與技巧，取得了較為豐富的成果。

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責(zé)編：一木