史定華

(上海大學(xué)數(shù)學(xué)系 上海 寶山區(qū) 200444)

20世紀(jì)末21世紀(jì)初，《自然》和《科學(xué)》相繼發(fā)表了3篇重要的關(guān)于網(wǎng)絡(luò)的文章：小世界網(wǎng)絡(luò)模型[1]說明了少量的隨機捷徑會改變網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)，從而涌現(xiàn)出小世界效應(yīng)；無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型[2]揭示了增長和擇優(yōu)機制在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自組織演化過程中的普遍性和冪律的重要性；可導(dǎo)航網(wǎng)絡(luò)模型[3]則解釋了如何利用局部信息尋找網(wǎng)絡(luò)中的最短路徑。這些模型說明復(fù)雜系統(tǒng)也可由某些簡單規(guī)則自組織演化而形成。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論與應(yīng)用發(fā)展至今已十余年，其轟動效果和強烈沖擊很大程度上歸功于《自然》和《科學(xué)》上的一系列開創(chuàng)性論文[2,4-7]。雖然這些論文的思想新穎動人，但也留下了廣闊的發(fā)展空間。為了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論與應(yīng)用的健康發(fā)展，本文基于文獻[8]，逐一展開討論，說明加強基礎(chǔ)理論和應(yīng)用研究的重要性。對無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)過去十年的發(fā)展情況及未來前景，文獻[8]要點總結(jié)如下：

(1) 通過對萬維網(wǎng)結(jié)構(gòu)調(diào)查得到的情況指出網(wǎng)絡(luò)并非都是隨機連線，而是顯示出增長和擇優(yōu)連線兩種機制，這恰是使得網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生冪律度分布的可能的原因。

(2) 許多真實的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，從細胞到因特網(wǎng)，都收斂到類似的(度分布為冪律)結(jié)構(gòu)上，而與它們的年齡、方式和規(guī)模等無關(guān)。

(3) 無標(biāo)度特性的意義之一在于認(rèn)識到網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和演化不可分割，即真實的網(wǎng)絡(luò)是動態(tài)的而非靜態(tài)的，網(wǎng)絡(luò)處在不斷的變化之中。

(4) 在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)(如因特網(wǎng)等)中，網(wǎng)絡(luò)整體的連通性對節(jié)點隨機故障的魯棒性以及hub nodes易受蓄意攻擊而遭到大規(guī)模破壞具有“穩(wěn)健而又脆弱”的特性。

(5) 從度分布到度?度相關(guān)性等等，不同網(wǎng)絡(luò)拓撲特征的廣泛存在被作為研究不同現(xiàn)象以及作出預(yù)測的跳板，除非探討網(wǎng)絡(luò)拓撲，否則無法理解復(fù)雜系統(tǒng)。

(6) 需要攻克的下一個前沿問題是理解在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)生的動力學(xué)過程。共性是存在的，只是還沒有發(fā)現(xiàn)能夠解釋網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的普適框架。

(7) 雖然復(fù)雜系統(tǒng)的許多研究熱潮來了又走，但是有一件事日益清楚，即單元之間的相互連接(作用)如此重要，這正是現(xiàn)今關(guān)注網(wǎng)絡(luò)的原因。

本文將分5個小節(jié)展開討論。

1 BA模型和萬維網(wǎng)因特網(wǎng)

一系列開創(chuàng)性論文中，文獻[2]尤其引人關(guān)注。論文的主要思想有：從許多實際復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)度分布的統(tǒng)計結(jié)果發(fā)現(xiàn)，具有冪律尾部是其普遍的特征；提出一個擇優(yōu)增長的動態(tài)模型(即BA模型)去解釋產(chǎn)生冪律的機制；認(rèn)為正確的模型其網(wǎng)絡(luò)度分布應(yīng)該獨立于時間。從此，具有冪律度分布的網(wǎng)絡(luò)被稱為無標(biāo)度(scale-free)網(wǎng)絡(luò)。然而，該文存在某些不夠完善之處。

首先，文獻[9]指出BA模型有兩點不夠明確：一是初始網(wǎng)絡(luò)沒有設(shè)定，孤立節(jié)點無法擇優(yōu)連線；二是有多條連線時如何進行擇優(yōu)連接，是一條一條連線還是同時連線？前者擇優(yōu)概率會改變，后者度分布結(jié)果大相經(jīng)庭。所以，模型定義不明確將難以開展理論研究。為此，文獻[9]提出了同時允許節(jié)點自連線和節(jié)點之間重復(fù)連線的線性化弦圖(linearized chord diagram)模型。通過允許節(jié)點之間重復(fù)連線但不允許節(jié)點自連線，文獻[10]引入了一個原始吸引模型避免BA模型連線的不明確。為了提高BA模型的群集系數(shù)，文獻[11]提出了一種不允許重復(fù)連線的方式：第1條連線按節(jié)點度擇優(yōu)連接，其余m?1條連線在被第1條連線選中節(jié)點的鄰域依次不重復(fù)連線。

利用鞅論和馬氏鏈等數(shù)學(xué)理論已經(jīng)嚴(yán)格證明：上述3個模型都具有與BA模型用啟發(fā)式方法得到的相同度分布。

其次，文獻[12]認(rèn)為僅以度分布是冪律作為無標(biāo)度網(wǎng)定義不盡合理。一方面，網(wǎng)絡(luò)拓撲除了度分布外還有度?度相關(guān)性等許多測度；另一方面，因為冪律是方差可能無窮的高可變分布，由于存在極大的波動性，所以冪律相同的度分布網(wǎng)絡(luò)完全可能具有極其不同的拓撲結(jié)構(gòu)和特性。該文獻從度?度相關(guān)性引入一個測量無標(biāo)度程度的量，發(fā)現(xiàn)對具有相同冪律度分布的網(wǎng)絡(luò)，有的顯示為“無標(biāo)度”，有的卻顯示為“標(biāo)度豐富”。因特網(wǎng)和代謝網(wǎng)的度分布雖然為冪律，但卻是標(biāo)度豐富的兩個典型案例，它們面對蓄意攻擊仍然“穩(wěn)健而非脆弱”。文獻[13]針對因特網(wǎng)進行詳細解釋，同時說明BA模型不是因特網(wǎng)的恰當(dāng)模型，從流量、帶寬以及技術(shù)可靠等設(shè)計角度提出了一個啟發(fā)式最優(yōu)拓撲模型。

其中，度指數(shù)相對網(wǎng)絡(luò)規(guī)模穩(wěn)健，系數(shù)需要重點探討。

用模型網(wǎng)絡(luò)的度分布預(yù)測實際網(wǎng)絡(luò)高度數(shù)的概率時會嚴(yán)重偏離或失效，文獻[16]提出研究有限標(biāo)度問題，發(fā)現(xiàn)有限標(biāo)度函數(shù)會顯著地依賴于初始網(wǎng)絡(luò)。許多研究工作[17-18]報道了網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)行為也依賴于網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的大小。另外，萬維網(wǎng)和因特網(wǎng)的連線增長明顯快于節(jié)點增長[19-20]，同樣，BA模型也不是萬維網(wǎng)和因特網(wǎng)的合理模型。復(fù)制模型[15]的平均度對數(shù)增長，文獻[14]提出的飽和模型增長有個上限，或許它們才是更恰當(dāng)?shù)哪Ｐ汀?/p>

2 層次網(wǎng)絡(luò)模型和代謝網(wǎng)絡(luò)

文獻[8]雖然沒有提及代謝網(wǎng)絡(luò)和層次組織兩篇開創(chuàng)性論文[5-6]。但文獻[5-6]統(tǒng)計了大量的代謝網(wǎng)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)它們是無標(biāo)度的，度指數(shù)接近2.2以及群集系數(shù)與度k存在反比關(guān)系。生物網(wǎng)絡(luò)是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)最重要的應(yīng)用領(lǐng)域之一，為了給代謝網(wǎng)絡(luò)建立恰當(dāng)?shù)哪Ｐ?，Barabási等人提出了確定的層次網(wǎng)絡(luò)模型。然而層次網(wǎng)絡(luò)、偽分形圖、阿波羅網(wǎng)等幾何增長網(wǎng)絡(luò)的度分布和度指數(shù)在文獻上就一直是頗有爭議的問題。該問題還與實際網(wǎng)絡(luò)度分布的統(tǒng)計有關(guān)，因此值得在此討論。

文獻[21]提出了第一個確定性的層次網(wǎng)絡(luò)，得到該模型網(wǎng)絡(luò)的度分布為：

其實，正確的答案文獻[12]早就給出。關(guān)于冪律和標(biāo)度首先要有一個正確的定義，文獻[12]對確定的和隨機的兩種情況都有詳盡的論述。幾何增長網(wǎng)絡(luò)和實際網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)都屬于確定的情況，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)文獻判斷度分布和度指數(shù)有畫頻率圖、畫logarithmic binning圖、畫秩次(或類同的補分布)圖3種方法。秩次圖是以秩次為縱坐標(biāo)，將N個節(jié)點的度從大到小排序，依序給予從1～N的秩次所畫的圖。在雙對數(shù)坐標(biāo)上，如果圖形近似為一條直線，就認(rèn)為是冪律；負的斜率為度指數(shù)，秩次(補分布)方法需要加1。顯然，頻率方法忽略了頻率為零的度，結(jié)論容易誤導(dǎo)；logarithmic binning是一種粗粒化方法，也不可靠；正確的方法是畫秩次圖。所以幾何增長網(wǎng)絡(luò)正確的度指數(shù)應(yīng)該加1才對。另外，文獻[27]論述了代謝網(wǎng)是標(biāo)度豐富的，因此層次網(wǎng)絡(luò)不是代謝網(wǎng)的恰當(dāng)模型。

3 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)特性

文獻[7]是第一篇動力學(xué)文獻。通過模擬比較了ER隨機圖和BA無標(biāo)度網(wǎng)對節(jié)點刪除的影響?？紤]兩種節(jié)點刪除方式：一是某些節(jié)點隨機失效；二是蓄意攻擊hub nodes。對10 000個節(jié)點20 000條連線，橫坐標(biāo)f表示刪除節(jié)點比例，縱坐標(biāo)d表示網(wǎng)絡(luò)直徑變化，結(jié)果如圖1所示。

圖1 指數(shù)網(wǎng)絡(luò)與無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)其直徑d關(guān)于f的曲線[7]

從圖1可以看出：對ER隨機圖，隨機失效和蓄意攻擊沒有區(qū)別；但對無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，隨機失效和蓄意攻擊顯著不同。如何解釋這種動力學(xué)性質(zhì)的差異？文獻[7]認(rèn)為是ER隨機圖節(jié)點同質(zhì)而BA無標(biāo)度網(wǎng)節(jié)點異質(zhì)，即存在hub nodes所致。該期《自然》雜志還特別在封面用標(biāo)題為《因特網(wǎng)的Achilles踵(heel)》的文章對此發(fā)現(xiàn)做了介紹。Achilles是古希臘傳說中的一位杰出英雄，但他的腳后跟與普通人一樣存在致命弱點。換句話說，Achilles踵也就是中國武功的“罩門”。能找到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的罩門，對網(wǎng)絡(luò)科學(xué)當(dāng)然意義重大。

這里有兩個問題需要認(rèn)真思考，一是“穩(wěn)健而又脆弱”是否為無標(biāo)度網(wǎng)的普適特性？二是究竟什么原因造成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對蓄意攻擊脆弱？關(guān)于第一個問題，文獻[12]給予了否定的回答。然而，第二個問題的回答就沒有那么簡單。是不是因為存在hub nodes，即度數(shù)很大的少數(shù)節(jié)點，答案顯然不全面，因為任何有限網(wǎng)絡(luò)都存在最大度節(jié)點。而是否與這些hub nodes的連接方式有關(guān)，將在下一小節(jié)討論。值得一提的是，文獻[28]對類似于BA模型的LCD模型，用數(shù)學(xué)方法就第二個問題進行了嚴(yán)格的理論證明。證明篇幅長達35頁，主要結(jié)論是：BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)比ER隨機圖更穩(wěn)健而又更脆弱的主要原因是由于擇優(yōu)連線。

網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的另一個重要發(fā)現(xiàn)[29]是：在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，傳染病的傳播閾值收斂于0。這只是對BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)得到的理論結(jié)果，因為實際網(wǎng)絡(luò)都是有限網(wǎng)絡(luò)，需要考慮網(wǎng)絡(luò)有限規(guī)模的影響[16]。文獻[17]最近發(fā)現(xiàn)，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)模型有兩類不同的有限網(wǎng)絡(luò)影響，一類只依賴有限網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模N(等于模擬步數(shù)t加m0)；另一類同時依賴有限網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模N和上割kc。

4 網(wǎng)絡(luò)核心和度?度相關(guān)性

文獻[12]認(rèn)為hub nodes的連接方式?jīng)Q定了度分布為冪律的網(wǎng)絡(luò)對蓄意攻擊是否脆弱。文獻[12]繪制了4個路由器層次因特網(wǎng)模型的網(wǎng)絡(luò)如圖2所示。

圖2 具有完全相同數(shù)目的節(jié)點、連線和冪律度分布的4個路由器層次因特網(wǎng)模型

它們具有完全相同數(shù)目的節(jié)點、連線及冪律度分布，但帶寬(灰度深淺)卻不同。HSF(無標(biāo)度層次)網(wǎng)是基于文獻[6]的層次網(wǎng)絡(luò)模型；隨機(重連)網(wǎng)是從HSF通過保度重連得到的。拙劣設(shè)計網(wǎng)是將高度節(jié)點排成一條線，然后讓低度節(jié)點與高度節(jié)點連線；HOT(啟發(fā)式最優(yōu)拓撲)網(wǎng)有3層結(jié)構(gòu)，高帶寬低連通節(jié)點位于核心，而低帶寬高連通節(jié)點位于外圍。從圖中可以看出，圖2a和圖2b具有網(wǎng)絡(luò)核心，它們的高度數(shù)節(jié)點傾向于相互連接，即所謂網(wǎng)絡(luò)節(jié)點同配；圖2c和圖2d不像具有網(wǎng)絡(luò)核心，因為它們的高度數(shù)節(jié)點傾向于連接低度數(shù)節(jié)點，即網(wǎng)絡(luò)節(jié)點異配。文獻[13]的詳細研究說明：實際的因特網(wǎng)并不像HSF網(wǎng)，至少在定性上像HOT網(wǎng)。文獻[12]計算了該4個網(wǎng)絡(luò)的Newman相關(guān)系數(shù)r(g)[32]，然而，所得的數(shù)值都落在區(qū)間[?0.481 5, ?0.428 3]中，不足以區(qū)分。為此該文獻提出了一個無標(biāo)度程度新測度。

對BA模型通過模擬和計算得到r(g)和S(g)的結(jié)果如圖3所示。

圖3 r(g)和S(g)分別關(guān)于m和N的趨勢[33]

不難發(fā)現(xiàn)，r(g)和S(g)都顯著地依賴網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模和網(wǎng)絡(luò)的平均度，所以這兩個測度對有限的實際網(wǎng)絡(luò)很難給出一個有意義的數(shù)值。另外，從圖3b可以看出，BA模型的無標(biāo)度程度也不能算大，但它面對蓄意攻擊卻是“穩(wěn)健而又脆弱”！

因此，本文同意文獻[8]的觀點：“除非(深入)探討網(wǎng)絡(luò)拓撲，否則無法理解復(fù)雜系統(tǒng)”。網(wǎng)絡(luò)度?度相關(guān)性的完整信息包含在網(wǎng)絡(luò)聯(lián)合度分布中，目前文獻上只有BA模型的部分結(jié)果[34]，還沒有像度指數(shù)(或動力學(xué)指數(shù))那樣簡便的最佳測度。

為此，以網(wǎng)絡(luò)平均度為分界線，按度將節(jié)點分成大度和小度兩類，同類節(jié)點連線稱為同配，異類節(jié)點連線稱為異配，通過計算同配、異配數(shù)目，文獻[33]嘗試提議了一個簡單的測度，模擬顯示對BA模型能做到與網(wǎng)絡(luò)規(guī)模無關(guān)。而且該測度與網(wǎng)絡(luò)疏密程度存在冪律關(guān)系，直觀上，網(wǎng)絡(luò)的疏密程度與網(wǎng)絡(luò)的抗毀性有關(guān)，所以網(wǎng)絡(luò)核心與網(wǎng)絡(luò)疏密程度有關(guān)應(yīng)該是合理的。

5 網(wǎng)絡(luò)馬氏鏈(圖值馬氏過程)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)十年來的發(fā)展和成就毋容置疑，涉及領(lǐng)域的廣泛也使個人無法全局把握。其中物理學(xué)家的思想火花絢麗無比，物理社團的大力推動也功不可沒。前面對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的討論負面評價較多，本節(jié)介紹復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中主觀認(rèn)為的兩個正面結(jié)果：一個是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)信息檢索，屬于應(yīng)用研究范疇；另一個是模型網(wǎng)絡(luò)度分布證明，屬于基礎(chǔ)理論領(lǐng)域，兩者都與網(wǎng)絡(luò)馬氏鏈或稱圖值馬氏過程有關(guān)。

在谷歌中輸入“荷塘月色”，馬上會出現(xiàn)許多條目，有朱自清的散文“荷塘月色”，有各種美麗的荷塘圖片，甚至?xí)霈F(xiàn)荷塘春色和可愛的青蛙形象，如圖4所示。人類上網(wǎng)沖浪就像青蛙在荷頁上跳動，而馬氏鏈可以形象地用“荷塘春色蛙歡跳”來描述?！昂商猎律笨杀扔鳛殡[馬氏模型，只聞蛙聲，不見蛙跳，在生物信息學(xué)中有廣泛應(yīng)用，如圖5所示。

谷歌為什么會有如此強大的功能？它的原理依賴于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓撲和數(shù)學(xué)中的馬氏鏈。根據(jù)論文引用和被引用的思想，文獻[35]完成了網(wǎng)絡(luò)搜索和存儲，剩下尋找為網(wǎng)頁評定等級的方法。他們發(fā)明了一種基于網(wǎng)頁重要性的排序算法：一是看有多少超級鏈接指向它(入度)；二是要看那個頁面重要不重要(出度)，并命名為PageRank。因此，問題可歸結(jié)到求有向圖連線矩陣的非負特征向量，最后轉(zhuǎn)變?yōu)橛嬎阌邢揆R氏鏈的平穩(wěn)分布。值得一提的是，文獻[36]當(dāng)時正好提出了中心網(wǎng)頁和權(quán)威網(wǎng)頁的評級系統(tǒng)，他們交流了各自的工作。該文作者由于提出可導(dǎo)航網(wǎng)絡(luò)模型和分散搜索算法，2006年獲得了世界數(shù)學(xué)家大會三大獎之一的Nevanlinna獎。

谷歌搜索引擎雖然取得了巨大成功，但排序只依賴頁面的連線(度)，因此會面臨垃圾網(wǎng)站的嚴(yán)重干擾。文獻[37]針對上述情況在2008年原創(chuàng)性地提出考慮用戶瀏覽過程的網(wǎng)頁排序，并把他們的算法取名為BrowseRank。根據(jù)用戶訪問網(wǎng)頁和網(wǎng)頁轉(zhuǎn)移的頻率數(shù)據(jù)qi和qij得Q-過程的轉(zhuǎn)移概率矩陣P=[qij/qi]，使問題轉(zhuǎn)化為求Q-過程的平穩(wěn)分布。他們的論文被評為當(dāng)年ACM會議唯一的最佳學(xué)生論文獎，國際媒體用標(biāo)題“Microsoft tries to one-up Google PageRank”做了報道。

圖4 馬氏鏈?zhǔn)疽鈭D

圖5 隱馬氏鏈?zhǔn)疽鈭D

上述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)信息檢索工作，大家天天都在受益，堪稱復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)成功應(yīng)用的典范。

6 結(jié) 束 語

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在發(fā)展過程中存在欠妥并不可怕，貴在勇于修正錯誤，因為科學(xué)本身就被設(shè)計成尋找并改正錯誤的過程，即科學(xué)的完整性(the integrity of science)。

通過對文獻[8]“無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：過去十年及未來前景”一文的探討，即使在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓撲方面仍然有許多問題需要理清。至于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)方面，本文同意Barabási的觀點：“(只是)還沒有發(fā)現(xiàn)能夠解釋它們普遍性的框架”。因此加強復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)理論和應(yīng)用研究具有緊迫的重要意義。

回憶20世紀(jì)相對論與幾何學(xué)、量子力學(xué)與泛函分析的美好聯(lián)姻，新世紀(jì)會不會有一段復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(統(tǒng)計力學(xué))與馬氏過程的浪漫愛情？如果有，那將成為科學(xué)史上的佳話。

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