孟現(xiàn)彪,史雅茹,馮 禹,閆 利

(1.武漢大學(xué)測繪學(xué)院,湖北武漢43007;2.內(nèi)蒙古電力勘測設(shè)計(jì)院,內(nèi)蒙古呼和浩特010020)

0 引 言

如何把大地高轉(zhuǎn)化為正常高,成為GPS高程應(yīng)用的一個(gè)重要問題。解決高程轉(zhuǎn)換問題的方法主要有兩個(gè):一是綜合利用GPS測量資料和高程異常資料確定點(diǎn)的高程;二是綜合利用GPS測量資料和水準(zhǔn)測量資料確定似大地水準(zhǔn)面的高程。

由GPS測得點(diǎn)的大地高 H是以橢球面(WGS-84)起算的,但在實(shí)際應(yīng)用中,地面點(diǎn)的高程常采用正(常)高高程系統(tǒng)。其正常高(H正常)是以似大地水準(zhǔn)面起算的,叫大地水準(zhǔn)面差距[3,4]。

地面上一點(diǎn)A的大地高HAg與正常高H正常的關(guān)系為[2]

其中:ξ為高程異常,表示參考橢球面與似大地水準(zhǔn)面之間的高程差。

經(jīng)過GPS網(wǎng)的三維平差,可獲得各點(diǎn)的大地高HAg,如果在其中一些點(diǎn)上同時(shí)進(jìn)行水準(zhǔn)測量(即已知該點(diǎn)的正常高 Hr),則該點(diǎn)的高程異?？砂?2)式求出。

在一局部GPS網(wǎng)中,由若干個(gè)點(diǎn)的 HAg值作為已知值,用數(shù)值擬合方法內(nèi)插出其它GPS測點(diǎn)的高程異常,按式(l)可求得各點(diǎn)的正常高。若測區(qū)內(nèi)測量點(diǎn)的數(shù)量足夠多,且分布較為均勻,則可擬合測區(qū)的似大地水準(zhǔn)面形狀,進(jìn)而推算測區(qū)中其余未進(jìn)行水準(zhǔn)聯(lián)測的GPS點(diǎn)的高程異常值得出正常高,這種方法可稱為“幾何法”GPS高程擬合法。高程擬合計(jì)算的方法有:加權(quán)均值法、多項(xiàng)式曲線擬合、多項(xiàng)式曲面擬合、多面函數(shù)曲面擬合、線性移動(dòng)擬合法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等[1-6],其中多項(xiàng)式曲面擬合法應(yīng)用最廣。

1 GPS高程擬合方法

1.1 多項(xiàng)式曲面擬合法

設(shè)GPS基線向量網(wǎng)經(jīng)二維約束平差后,求得各點(diǎn)的空間直角坐標(biāo) xi、yi和大地高平差值Hi,已知網(wǎng)中有n個(gè)點(diǎn)(網(wǎng)中總點(diǎn)數(shù)為m)具有正常高Hri。則可確定這些點(diǎn)的高程異常ξi為[1,2]

設(shè)點(diǎn)的高程異常ξi與坐標(biāo)(x,y)之間函數(shù)關(guān)系如下:

其中:f(x,y)為ξ中趨勢值,ε為模型誤差。

根據(jù)n個(gè)GPS點(diǎn)的ξi可以確定多項(xiàng)式(4)中的系數(shù)。當(dāng)n≥6時(shí),可擬合確定所有系數(shù),當(dāng)n≥3且n＜6時(shí),可擬合確定a0、a1、a2三個(gè)系數(shù);當(dāng)n＜3時(shí)只能確定a0一個(gè)系數(shù)。所以這種方法應(yīng)至少具有3個(gè)已知高程點(diǎn)。對于每個(gè)已知點(diǎn),在最小二乘準(zhǔn)則條件下,解出各ai,當(dāng)已知高程點(diǎn)分布均勻且測區(qū)內(nèi)地形平坦時(shí),這種方法擬合確定的高程異常i精度可望達(dá)到10～20 cm,甚至優(yōu)于5 cm。在確定了多項(xiàng)式(4)中的系數(shù)后,即可應(yīng)用該式求定其余測站點(diǎn)的高程異常值。數(shù)據(jù)操作流程如圖1所示[2]。

圖1 系統(tǒng)數(shù)據(jù)流程圖

1.2 多面函數(shù)擬合法

多面函數(shù)法的基本思想是:任何數(shù)學(xué)表面和不規(guī)則的圓滑表面,總可用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的總和以任意精度逼近[1,2]。

設(shè)GPS測點(diǎn)ξ和x、y存在如下函數(shù)關(guān)系

式中:ai為待定系數(shù),Q(x,y,xi,yi)是x和y的二次核函數(shù),ξi可由二次式的和確定,故稱多面函數(shù)。常用的簡單核函數(shù),一般采用具有對稱性的距離型,即

式中:d=(x-xi)2+(y-yi)2,δ稱為平滑因子,用來對核函數(shù)進(jìn)行調(diào)整;b一般可選某個(gè)非零實(shí)數(shù),常用或式(6)可寫成誤差方程的矩陣形式

待定系數(shù)a可根據(jù)已知點(diǎn)上的已知高程異常值,按最小二乘法計(jì)算

由上式求出多面函數(shù)的待定系數(shù),就可按(5)式計(jì)算各GPS點(diǎn)的高程異常值。多面函數(shù)擬合法擬合高程異常,核函數(shù)Q和光滑因子δ的選擇對擬合效果有非常重要的影響,對于每個(gè)區(qū)域都應(yīng)該認(rèn)真研究和選取,如果核函數(shù)Q和光滑因子δ選取合適,其擬合精度與二次曲面擬合相當(dāng)。

2 精度評定

為了能客觀地評定GPS水準(zhǔn)計(jì)算的精度,在布設(shè)幾何水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn)時(shí),應(yīng)適當(dāng)多聯(lián)測幾個(gè)點(diǎn),其點(diǎn)位也應(yīng)均勻地布設(shè)全網(wǎng),以作外部檢核用。

2.1 內(nèi)符合精度[3、4]

根據(jù)參與擬合計(jì)算已知點(diǎn)的高程異常ξi與擬合高程異常ξi′,求出擬合殘差Vi=ξi′-ξi,然后按下式可計(jì)算出GPS水準(zhǔn)擬合計(jì)算的內(nèi)符合精度(設(shè)參與擬合的已知點(diǎn)共有n個(gè)):

2.2 外符合精度[1,2]

根據(jù)檢核點(diǎn)的高程異常ξi與擬合高程異常ξi′,求出擬合殘差Vi=ξi′-ξi,然后按式(9)可計(jì)算出GPS水準(zhǔn)擬合計(jì)算的外符合精度值(設(shè)檢核點(diǎn)共有n個(gè))。各高程擬合模型的內(nèi)符合精度都較高且不同擬合模型的內(nèi)符合精度相差不大,所以在后面的實(shí)踐中取外符合精度作為評價(jià)各擬合方法好壞的標(biāo)準(zhǔn),稱之為擬合中誤差,記作μ。

2.3 精度評定

1)根據(jù)檢核點(diǎn)至已知點(diǎn)的距離L:km或測站數(shù)n,按表1計(jì)算檢核點(diǎn)擬合殘差來評定GPS水準(zhǔn)所能達(dá)到的精度;

2)用GPS水準(zhǔn)求出的GPS點(diǎn)間的正常高高差,在已知點(diǎn)間組成附合或閉合高程導(dǎo)線,按計(jì)算的閉合差W與表1中允許殘差比較,來衡量GPS水準(zhǔn)所能達(dá)到的精度。

表1 幾何水準(zhǔn)允許的限差

3 實(shí)例分析

3.1 測區(qū)概況

內(nèi)蒙古興安盟科右前旗風(fēng)電場49.3 MW風(fēng)電特許權(quán)項(xiàng)目,位于內(nèi)蒙古自治區(qū)興安盟科右前旗境內(nèi),測區(qū)至阿榮旗省際大通道從測區(qū)西北角穿過,交通便利。測圖面積為30 km2,測區(qū)地形大部分為丘陵地形,地形低洼處大部分為耕地,地勢起伏變化較大。測區(qū)平均海拔高差大約400 m左右。

3.2 測量儀器及軟件

1)儀器:GPS接收機(jī)(天寶5700GPS);水準(zhǔn)儀(萊佧NA728型水準(zhǔn)儀);計(jì)算機(jī)。

2)軟件:天寶后處理軟件《T rimble Geomatics Office GPS后處理軟件》(V1.62);清華三維平差軟件《工程測量控制網(wǎng)微機(jī)平差系統(tǒng)》。

3.3 野外測量和數(shù)據(jù)處理

在測區(qū)內(nèi)布設(shè)17個(gè)E級(jí)GPS控制點(diǎn),并對8個(gè)點(diǎn)進(jìn)行水準(zhǔn)測量,構(gòu)成閉合線路,經(jīng)檢驗(yàn)其精度達(dá)到了四等水準(zhǔn)的精度,然后在各點(diǎn)上進(jìn)行GPS觀測,并與兩個(gè)國家三角點(diǎn)聯(lián)測,采用邊角聯(lián)式進(jìn)行聯(lián)網(wǎng)測量,其點(diǎn)位分布及網(wǎng)形如圖2所示。

圖2 GPS點(diǎn)位分布及網(wǎng)形圖

野外獲取數(shù)據(jù)后,經(jīng)室內(nèi)清華三維平差軟件、天寶后處理軟件TG0(V1.62)平差和基線處理后得到各觀測點(diǎn)的平面坐標(biāo)、大地高和正常高見表2。

表2 二維約束平差后GPS點(diǎn)的BJ54坐標(biāo)、大地高及高程異常

點(diǎn)名 X/(m) Y/(m) 大地高/(m) 正常高/(m) 高程異常/(m)FD1 5127993.873 21441733.041 378.701 382.988 -4.287 FD2 5128461.890 21443096.210 411.933 416.249 -4.316 FD3 5128438.183 21444537.142 448.390 452.736 -4.346 FD4 5126903.989 21442207.926 420.569 424.863 -4.294 FD5 5126814.883 21443909.367 434.349 438.679 -4.330 FD6 5127001.679 21444569.864 437.763 442.108 -4.345 FD7 5125994.214 21441724.489 397.420 401.703 -4.283 FD8 5125603.691 21442857.633 390.609 394.916 -4.307 FD9 5125760.357 21444506.538 410.104 414.446 -4.342 FD10 5126464.032 21445557.705 398.636 403.001 -4.365 FD11 5125000.154 21441683.617 386.710 390.991 -4.281 FD12 5124962.826 21444109.139 399.840 404.172 -4.332 FD13 5124850.668 21445028.807 413.187 417.539 -4.352 FD14 5123506.423 21441381.049 361.684 365.956 -4.272 FD15 5123903.260 21442915.421 361.692 365.998 -4.306 FD16 5123914.025 21444202.580 416.273 420.606 -4.333 FD17 5123330.984 21445469.443 403.186 407.545 -4.359

平面擬合選取11種不同已知點(diǎn)的組合方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn),按公式(9)計(jì)算不同方案的GPS高程擬合中誤差(以下簡稱為中誤差)。

表3 不同水準(zhǔn)點(diǎn)布設(shè)方案的平面擬合結(jié)果/mm

從表3可以看出:由方案1、4、9、10的擬合結(jié)果可知,在本測區(qū)采用平面擬合的方法時(shí),已知點(diǎn)數(shù)越多擬合中誤差越小,但當(dāng)已知點(diǎn)個(gè)數(shù)達(dá)到一定數(shù)目時(shí)(本測區(qū)為6),增加已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)不能顯著提高擬合精度;由方案1、2、4、6、7、8的擬合結(jié)果可知,已知點(diǎn)的分布對擬合精度的影響巨大(不同點(diǎn)位分布的擬合精度最大相差了5、6倍),當(dāng)已知點(diǎn)均勻分布于整個(gè)測區(qū)時(shí),擬合精度最高,分布在測區(qū)一端時(shí)精度最差;由此可知平面擬合不宜外推,所以應(yīng)選取均勻分布于整個(gè)測區(qū)的點(diǎn)進(jìn)行水準(zhǔn)聯(lián)測。此外,方案2、5、6、8、9、10的擬合中誤差均小于4 cm,所以采用平面擬合法對本測區(qū)進(jìn)行高程擬合,只要已知點(diǎn)個(gè)數(shù)大于3個(gè),點(diǎn)位分布均勻,都能取得較好的擬合結(jié)果,這是測區(qū)面積小、高差小、高程異常變化平緩的緣故。

3.4 GPS水準(zhǔn)方法的綜合運(yùn)用

對于測區(qū)面積不大且地勢起伏較小的區(qū)域,擬合時(shí)可以把整個(gè)測區(qū)視為一個(gè)連續(xù)的似大地水準(zhǔn)面,選用一個(gè)擬合模型進(jìn)行擬合。但是如果測區(qū)面積較大或地形起伏較大,似大地水準(zhǔn)面的形狀很復(fù)雜,這樣把該測區(qū)視為一個(gè)整體進(jìn)行擬合,存在很多局限且精度很低。為此,可進(jìn)行分區(qū)擬合,以提高擬合精度。分區(qū)擬合的首要任務(wù)是把測區(qū)分成幾個(gè)小測區(qū)。小測區(qū)劃分方法常用的有兩種:一是根據(jù)測區(qū)的實(shí)際地形起伏情況劃分,如把平原地區(qū)、丘陵地區(qū)和山區(qū)分別分為擬合小測區(qū)進(jìn)行擬合。該方法簡捷易行,常被采用。二是根據(jù)支撐點(diǎn)的高程異常來劃分,首先用一種擬合方法求出支撐點(diǎn)的高程異常,然后比較相鄰點(diǎn)的高程異常的差值,其差值在一定范圍內(nèi)的區(qū)域劃分為擬合小測區(qū)。這種方法精度高,但工作量大,實(shí)際擬合時(shí)常靈活運(yùn)用這兩種方法[5]。

4 結(jié) 論

GPS水準(zhǔn)擬合高程的精度與己知點(diǎn)數(shù)量、分布位置及擬合方法有關(guān)[6]。當(dāng)己知點(diǎn)均勻分布于整個(gè)測區(qū)時(shí),其點(diǎn)數(shù)越多,GPS水準(zhǔn)高程擬合的精度越高,但當(dāng)己知點(diǎn)數(shù)達(dá)到一定數(shù)量(本測區(qū)為6)時(shí)再增加己知點(diǎn)數(shù),不能顯著地提高待定點(diǎn)的精度,因?yàn)樵谶@種情況下影響擬合模型精度的主要因素是似大地水準(zhǔn)面的不規(guī)則程度和粗糙程度。當(dāng)己知點(diǎn)均勻分布于整個(gè)測區(qū)時(shí),擬合精度最高。在此討論的多項(xiàng)式曲面擬合法在測區(qū)地形起伏不大的地區(qū)可以達(dá)到優(yōu)于四等水準(zhǔn)的精度。

在面積較大或者地形復(fù)雜的GPS測區(qū),單獨(dú)采取一種模型進(jìn)行高程異常擬合,模型的擬合中誤差很大,擬合結(jié)果不理想,難以滿足測量工程的精度要求。而采用所提出的將整個(gè)測區(qū)劃分為幾個(gè)小區(qū),分區(qū)進(jìn)行擬合,可以獲得令人滿意的結(jié)果和精度,在實(shí)際測量工作中非常適用并且是可行的。

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