黃勤 陳笛

1 模態(tài)分析理論

1.1 模態(tài)分析簡介

所謂的模態(tài)分析就是確定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，得到結(jié)構(gòu)的固有頻率和各階振型，它們是結(jié)構(gòu)承受動(dòng)力荷載設(shè)計(jì)中的重要參數(shù)。它的主要優(yōu)勢在于計(jì)算一組正交向量之后，可以將大型整體平衡方程組縮減為數(shù)量相對較少的解耦的二階微分方程，這樣能有效的節(jié)省時(shí)間。而且計(jì)算結(jié)果能幫助我們對結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行定性的判斷，并提供相關(guān)結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)需求。對于結(jié)構(gòu)體系而言，共振會(huì)造成結(jié)構(gòu)系統(tǒng)破壞。因此為了防止共振現(xiàn)象的發(fā)生，就要了解系統(tǒng)的固有振動(dòng)頻率及各階振型，進(jìn)而避免外力頻率和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率相同或接近。

1.2 模態(tài)分析基本原理[1，2]

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中，結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的求解是基于結(jié)構(gòu)中質(zhì)量系統(tǒng)的動(dòng)力平衡方程來完成的，基于經(jīng)典的物理定律，式(1)給出了一個(gè)N自由度線形系統(tǒng)的動(dòng)力平衡方程，它是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù):

其中，[M]，[C]，[K]分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣;[x]，[F]分別為系統(tǒng)各點(diǎn)的位移響應(yīng)向量和激勵(lì)力向量。式(1)是一組耦合方程，當(dāng)系統(tǒng)自由度很大時(shí)，求解十分困難。將耦合方程變化為非耦合的獨(dú)立方程組，這就是模態(tài)分析必須解決的問題。模態(tài)分析方法就是以無阻尼的各階主振型所對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)來代替物理坐標(biāo)，使微分方程解耦，變成各個(gè)獨(dú)立的微分方程。對式(1)兩邊進(jìn)行拉式變換，得:

令 s=jω，則式(2)變?yōu)?

引入模態(tài)坐標(biāo)，令{x}=[φ]{q}，其中，[φ]為振型矩陣;[q]為模態(tài)坐標(biāo)，代入式(3)有:

根據(jù)振型矩陣對于質(zhì)量、剛度矩陣的正交性關(guān)系，有:

若阻尼矩陣也近似被對角化，即有:

對式(1)乘[φ]T得:

這樣相互耦合的N自由度系統(tǒng)的方程組經(jīng)正交變換，成為在模態(tài)坐標(biāo)下相互獨(dú)立的N自由度系統(tǒng)的方程組，解耦后的第 i個(gè)方程為:

其中，Ki，Mi，Ci分別為模態(tài)剛度、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼;φij為模態(tài)振型。

從式(8)中可知，采用模態(tài)坐標(biāo)后，N自由度系統(tǒng)的響應(yīng)相當(dāng)于在N個(gè)模態(tài)坐標(biāo)下單自由度系統(tǒng)的響應(yīng)之和。采用歸一化方法，使模態(tài)質(zhì)量歸一，記模態(tài)質(zhì)量歸一化振型為 Φ，即:

可知，Ki為模態(tài)固有頻率;N自由度系統(tǒng)有N個(gè)固有頻率。

2 計(jì)算模型的建立

2.1 工程背景

某一框架式結(jié)構(gòu)建筑，總高 45 m，14層，底層高 6 m，其余層高3 m。結(jié)構(gòu)平面圖如圖1所示。

其主要承重構(gòu)件的截面尺寸及材料屬性如表1所示。為了計(jì)算方便鋼筋混凝土的密度統(tǒng)一為2 500 kg/m3。

表1 構(gòu)件參數(shù)

2.2 有限元模型

建模過程中，本文采用了兩種單元類型:Beam4和Shell63。Beam4是一種可用于承受拉、壓、彎、扭的三維彈性梁單元。這種單元在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上有6個(gè)自由度:x，y，z三個(gè)方向的線位移和繞x，y，z三個(gè)軸的角位移。Shell63單元可以同時(shí)承受殼面內(nèi)、外的荷載，具有殼單元算法和膜單元算法，而且還考慮了應(yīng)力剛化效應(yīng)以及大變形效應(yīng)。用其模擬本結(jié)構(gòu)中的樓層板。劃分后的模型共有47 330個(gè)節(jié)點(diǎn)、52 952個(gè)單元。模型及劃分單元見圖2。

3 邊界條件及荷載

3.1 邊界條件

對與地面接觸的框架柱施加 x，y，z方向的零位移約束，如圖3所示。本例采用 Block Lanzcos模態(tài)法提取前 6階模態(tài)，模態(tài)分析采用擴(kuò)展模態(tài)法。

3.2 計(jì)算荷載

模態(tài)分析考慮整體結(jié)構(gòu)的固有頻率，頻率大小的變化直接反映結(jié)構(gòu)剛度的變化。模態(tài)分析計(jì)算時(shí)只需考慮結(jié)構(gòu)自重下的荷載工況，各構(gòu)件自重均在有限元軟件中設(shè)置參數(shù)自動(dòng)施加，結(jié)構(gòu)密度2 500 kg/m3，重力加速度取9.8 m/s2。

4 計(jì)算結(jié)果

采用有限元軟件對結(jié)構(gòu)的空間剛架模型進(jìn)行模態(tài)分析計(jì)算，得到結(jié)構(gòu)前8階模態(tài)分析的固有頻率及振型貢獻(xiàn)率(見表2)。由計(jì)算結(jié)果可以看出結(jié)構(gòu)在x，y，z方向的振型貢獻(xiàn)率均已超過了90%，所以采用前面8階振型的模態(tài)分析已滿足分析的要求。各階模態(tài)振型見圖4～圖 11。

由表 2分析可以看出 Ux，Uy，Uz前8階振型總貢獻(xiàn)率都大于90%，說明截取前8階振型已經(jīng)滿足分析要求了。第1階振型貢獻(xiàn)率 Ux=0.865 9，說明第1階振型屬于 x方向的平動(dòng)，且為該碼頭 x方向的主要振型;第2階振型屬于y方向的平動(dòng)，為該房屋的y方向的主要振型;第3階振型為 xy平面的轉(zhuǎn)動(dòng);從第6階振型開始豎向的振動(dòng)加強(qiáng)，且產(chǎn)生平扭耦合效應(yīng)。計(jì)算得出的前3階振型的固有頻率比較相近，在實(shí)際使用過程中最容易引起結(jié)構(gòu)的共振。在使用過程中，無論是結(jié)構(gòu)縱向還是橫向都應(yīng)避免使用與前3階振型固有頻率相近的頻率。

表2 結(jié)構(gòu)自振頻率及振型貢獻(xiàn)率

5 結(jié)語

由以上分析可以得到以下結(jié)論:

1)第1階～第3階頻率從0.376 6 Hz～0.457 7 Hz，振型為平面內(nèi)的水平運(yùn)動(dòng)，沒有垂直方向的運(yùn)動(dòng)，樓板四周邊緣對位移沒有明顯的約束，位移最大，第1階～第3階振型不同，但接近的頻率和振型表示它們有類似的成因，可認(rèn)為是同一族模態(tài)。第1階、第2階的振型貢獻(xiàn)率較大將近達(dá)到90%，較容易被激發(fā)，如果有荷載的水平激勵(lì)時(shí)，第1階、第2階在振動(dòng)響應(yīng)中占有主導(dǎo)性作用。

2)第4階～第8階頻率從1.195 9 Hz～2.292 7 Hz，振型主要為以底層梁柱嵌固點(diǎn)為對稱點(diǎn)的反對稱彎曲模態(tài)，在對稱點(diǎn)的兩側(cè)形成以嵌固點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)的波浪形狀，同時(shí)在水平方向也有小幅運(yùn)動(dòng)。以嵌固點(diǎn)為對稱點(diǎn)的反對稱的水平運(yùn)動(dòng)模態(tài)，在對稱點(diǎn)的兩側(cè)形成以嵌固點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)的波浪形狀和垂直方向的彎曲一起構(gòu)成了一個(gè)空間運(yùn)動(dòng)模態(tài)。該階模態(tài)如果有荷載的垂直激勵(lì)時(shí)，在振動(dòng)響應(yīng)中占有主導(dǎo)性作用。

3)由于框架結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不能采用一般的傳統(tǒng)計(jì)算方法進(jìn)行模態(tài)分析，而應(yīng)采用結(jié)構(gòu)專業(yè)軟件進(jìn)行分析。本文分析結(jié)果表明，有限元法是一種比較合適的分析方法。

4)ANSYS是成熟的工程分析軟件，具有豐富的單元庫和完善的計(jì)算工具。在進(jìn)行高層建筑模態(tài)分析時(shí)，只要建模正確，單元及模態(tài)分析法選擇適當(dāng)，所得到的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性就很高。通過ANSYS模態(tài)分析獲得了本高層結(jié)構(gòu)的自主振動(dòng)周期，從而避免了由于場地主振動(dòng)周期相同或相近造成的共振問題。

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