王志心，雎剛

（東南大學能源與環(huán)境學院，江蘇南京210096）

由于PID控制器具有結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強等優(yōu)點，在工業(yè)控制中被廣泛應用。據(jù)統(tǒng)計，目前工業(yè)控制器中約有90%仍是PID控制器。盡管如此，對于PID控制器，其靜態(tài)與動態(tài)性能之間的矛盾，跟蹤設(shè)定值與抑制擾動之間的矛盾，魯棒性與控制性能之間的矛盾等，仍沒能很好地解決[1]。而非線性PID控制卻能真實地反映控制量與偏差信號之間的關(guān)系，在一定程度上克服了線性PID控制器的缺點，受到了越來越多的關(guān)注[2-4]。

與傳統(tǒng)PID控制器一樣，參數(shù)的選擇同樣決定了非線性PID控制性能的好壞。對于控制系統(tǒng)而言，控制器參數(shù)的整定應該要綜合考慮穩(wěn)定性、快速性、準確性三者之間的關(guān)系，統(tǒng)籌兼顧多個性能指標。所以PID控制器的參數(shù)整定應該是一個多目標優(yōu)化問題[5]。

文章在分析NSGA-Ⅱ算法的基礎(chǔ)上，針對其截斷算子的不足之處，提出了一種改進的多目標遺傳算法。相比原算法，改進算法得到的非支配解能夠更均勻地分布在整個Pareto前沿面上。在此基礎(chǔ)上，將其應用于鍋爐過熱汽溫的非線性PID控制系統(tǒng)的參數(shù)整定中。文中以系統(tǒng)超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間作為目標函數(shù)，使控制品質(zhì)能夠同時滿足多個性能指標。仿真結(jié)果證實了該方法的有效性。

1 非線性PID控制器

非線性PID控制器可以表示為

式中：kP（e（t）），kI（e（t）），kD（e（t））分別為比例、積分和微分系數(shù)，它們都是誤差e（t）的非線性函數(shù)。

1.1 比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)的作用是加快響應速度，減小過渡過程時間。為保證系統(tǒng)能夠快速地跟蹤跟定值的變化，kP的大小應與誤差的絕對值|e（t）|成正比。比例系數(shù)為

1.2 積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的作用是增大系統(tǒng)阻尼，消除穩(wěn)態(tài)誤差。當e（t）大時，kI不應太大，以減小超調(diào)；當e（t）小時，kI不應太小，以消除穩(wěn)態(tài)誤差。其表達式為

1.3 微分環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)的作用是加快系統(tǒng)的動作速度，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。從系統(tǒng)響應開始到峰值時間，kD的值應逐漸增大。其表達式為

式（2－4）中：kP1，kP2，kP3，kI1，kI2，kD1，…，kD4都為正實數(shù)，其值大小決定了系數(shù)kP（e（t）），kI（e（t）），kD（e（t））隨誤差e（t）的變化速率。

2 改進的多目標遺傳算法

2.1 改進的截斷算法

NSGA-Ⅱ算法[6]作為一種有效的方法已經(jīng)在多目標優(yōu)化領(lǐng)域得到廣泛的應用。它采取3個主要策略：（1）一種計算時間復雜性大為降低的快速排序方法來評價解的非支配性；（2）μ+λ策略，即從父代與子代群體中選擇最好的個體作為新的父代群體；（3）引入擁擠距離來度量處于同一非支配水平的解在目標空間的分布情況，并以此為依據(jù)來建立非支配解的偏序關(guān)系。

2.1.1 計算方法

設(shè)有2個子目標f1，f2，則個體i的擁擠距離為：

式中：P[i]distance為第i個個體的擁擠距離；P[i].m為個體i在子目標m上的函數(shù)值。

在原始NSGA-Ⅱ中，由于截斷算子的不足，會導致得到非支配解不能均勻地分布在整個Pareto前沿面上。

2.1.2 算法流程

Stept1 根據(jù)式（1）計算處于同一非支配等級中個體的擁擠距離；

Stept2 將邊界點賦予最大值以確保進入下一代；

Stept3 對個體按照擁擠距離進行排序，并將擁擠距離小的個體淘汰。

在原算法中，當一個擁擠距離較小的個體淘汰之后，會造成其相鄰個體的擁擠距離發(fā)生變化，從而不能真實地反映個體之間真實的密度關(guān)系，如圖1所示。

圖1 待修剪的Pareto前沿面及采用原始算法的修剪結(jié)果

假設(shè)在截斷算法運行時存在10個處于同一非支配等級的解，并且需要從中選擇5個個體進入下一代。此時運用原算法的非支配排序方式對其進行排序，將其中的擁擠距離較小的個體刪除。由圖1可知，這將造成框中沒有個體存在，使得解集的分布不均勻。為解決此問題，本文加入了一個動態(tài)的更新算子，每刪除一個個體后，重新計算與其相鄰的個體，從而使擁擠距離能夠真實地反映出個體之間的密度關(guān)系，使其最終的解集如圖2所示。

圖2 基于改進截斷算法的修剪結(jié)果

2.1.3 改進的基于擁擠距離的截斷算法

Stept1 根據(jù)式（1）計算處于同一非支配等級中個體的擁擠距離；

Stept2 將邊界點賦予最大值以確保進入下一代；

Stept3 將擁擠距離最小的個體從父代種群中刪除，并更新與其相鄰的2個個體的擁擠距離；

Stept4 重復步驟（3）直到子代種群滿足預定大小。

2.2 數(shù)值實驗

為了驗證改進操作的有效性，文章選取文獻中常用的多目標優(yōu)化基準函數(shù)ZDT1與ZDT2[7]來進行性能測試。遺傳算法的優(yōu)化得到的Pareto前沿面如圖3所示。

圖3 2種算法在測試函數(shù)上的獲得的Pareto前沿

從圖3可以明顯發(fā)現(xiàn)，相比原始的NSGA-Ⅱ算法，改進算法所找到的非支配解能夠更均勻地分布在整個前沿面上。

3 仿真研究

3.1 仿真對象

鍋爐過熱汽溫串級控制系統(tǒng)簡化方框圖如圖4所示[8]。圖中，r為過熱汽溫設(shè)定值；Wα1（s），Wα2（s）分別為汽溫控制系統(tǒng)的副調(diào)節(jié)器和主調(diào)節(jié)器；Wσ1（s），Wσ2（s）分別為調(diào)節(jié)對象的導前區(qū)和惰性區(qū)的傳遞函數(shù)；WH1（s），WH2（s）分別為導前汽溫和過熱汽溫的測量單元。各部分傳遞函數(shù)分別為

副回路要求響應速度快，起隨動系統(tǒng)作用，故電廠過熱汽溫串級控制的副調(diào)節(jié)器常采用的是比例調(diào)節(jié)Wα1（s）=25；主回路要求過熱汽溫能夠快速無偏差的跟隨設(shè)定值，同時能夠抑制外界擾動，因此本文采用第1節(jié)所述的非線性PID控制器。kP1，kP2，kP3，kI1，kI2，kD1，…，kD4則為遺傳算法的待求參數(shù)。

圖4 鍋爐過熱汽溫控制系統(tǒng)方框圖

3.2 階躍擾動實驗

假設(shè)在設(shè)定值階躍擾動下，對于系統(tǒng)輸出的給定性能指標為

調(diào)節(jié)時間：ts≤140s

超調(diào)量：σ≤1%

這時采用第2節(jié)所述的改進多目標遺傳算法針對這2個目標進行優(yōu)化，遺傳算法的參數(shù)設(shè)置為：種群大小30，進化代數(shù)500，交叉概率0.9，變異概率0.1。各參數(shù)的尋優(yōu)范圍為：kP1∈[0，1]，kP2∈[0，1]，kP3∈[0，10]，kI1∈[0，0.1]，kI2∈[0，5]，kD1∈[0，15]，kD2∈[0，9]，kD3∈[0，15]，kD4∈[0，9]。優(yōu)化結(jié)果見圖5。

圖5 多目標優(yōu)化的Pareto前沿

從圖4中可以看出，滿足給定要求的參數(shù)一共有19組。在實際應用中，可以根據(jù)具體的情況，從中選擇最合適的一組參數(shù)，這取決于決策者的偏好。本文根據(jù)ISE指標的大小對這18組參數(shù)進行排序，選擇了ISE指標最小的一組。其對應的性能指標及具體控制參數(shù)為

設(shè)定值階躍擾動下，整定后的非線性系統(tǒng)的響應曲線，如圖6所示。其中，實線為本文采用多目標優(yōu)化得到的非線性PID控制器：虛線為基于ZN法整定傳統(tǒng)的PID控制器。從圖6中可知，相比于傳統(tǒng)PID控制器250s左右的調(diào)節(jié)時間，非線性PID控制方法的調(diào)節(jié)速度快了很多，約為前者的一半，且超調(diào)量也非常小。

圖6 階躍響應作用下系統(tǒng)的輸出曲線

過熱汽溫過程的慣性時間常數(shù)會受積灰等因素的影響而變大，或者由于某種原因使對象的增益變大。假定對象模型變化后為

控制系統(tǒng)其他環(huán)節(jié)不變，得到的階躍擾動下汽溫階躍響應曲線如圖7所示。

圖7 對象模型發(fā)生變化的系統(tǒng)響應輸出曲線

從圖7可以看出，經(jīng)過整定的非線性PID控制器，對象的慣性和增益同設(shè)計整定時所用模型不同的情況下，其整定結(jié)果仍能夠快速跟蹤設(shè)定值的變化，獲得較好的控制效果，說明了該算法具有較強的魯棒性，且過渡過程動態(tài)特性明顯優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

4 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)NSGA-Ⅱ算法的不足，提出了一種改進的多目標遺傳算法，并將其應用于鍋爐過熱汽溫的非線性PID控制系統(tǒng)設(shè)計中。遺傳算法使非線性函數(shù)得到優(yōu)化，使該非線性PID控制器不但比傳統(tǒng)的固定參數(shù)PID控制器更好地保證了控制系統(tǒng)快速性和平穩(wěn)性，并且能滿足既定的控制性能指標。

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