摘 要:提出一種新的近似完全重構(gòu)因果穩(wěn)定的IIR余弦調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)方法?；陬A(yù)先給定的極點(diǎn)值，IIR原型濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題可以簡(jiǎn)化成一個(gè)凸極大值極小化的優(yōu)化問(wèn)題，從而采用二階錐規(guī)劃法求解。所得余弦調(diào)制濾波器組具有良好的頻率特性和合理的完全重構(gòu)誤差。所設(shè)計(jì)的原型濾波器是因果穩(wěn)定的，并且其多相因子分母相同，簡(jiǎn)化了完全重構(gòu)條件，可以用來(lái)進(jìn)一步優(yōu)化得到的完全重構(gòu)系統(tǒng)。關(guān)鍵詞:因果穩(wěn)定的IIR濾波器; 余弦調(diào)制濾波器組; 近似完全重構(gòu); 二階錐規(guī)劃法

中圖分類號(hào):TN713文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-373X(2010)15-0117-04

Optimized Design of Nearly-Perfect Reconstruction IIR Cosine Modulated Filter Banks

YIN Shi-shu

(Deptartment of Electronic Information Engineering， Anhui University of Finance Economics， Bengbu 233041， China)

Abstract: An efficient method is proposed for designing nearly perfect reconstruction (NPR) cosine modulated filter banks (CMFBs) with IIR prototype filters. Based on some given poles values， the design problem is formulated as a convex minimax optimization problem， and solved by second order core programming (SOCP). The obtained NPR IIR CMFB has good frequency performance and a reasonably low reconstruction error. The proposed IIR prototype filter is causal and stable， and its polyphase components have identical denominator to simplify the perfect reconstruction (PR) condition. Thus， the proposed NPR CMFBs can be further optimized to obtain PR systems. Keywords: causal stable IIR filters; Cosine modulated filter banks; nearly perfect reconstruction; second order core programming

0 引 言

完全重構(gòu)濾波器組在語(yǔ)音、圖像、雷達(dá)等信號(hào)處理中有重要應(yīng)用[1-2]。與相同階數(shù)的FIR濾波器相比，IIR濾波器以其陡峭過(guò)渡帶和高衰減阻帶而備受關(guān)注。因此IIR濾波器組技術(shù)也一直是研究重點(diǎn)。然而，由于高度非線性的目標(biāo)方程，完全重構(gòu)條件和穩(wěn)定條件的共同要求，IIR濾波器的設(shè)計(jì)顯得很復(fù)雜。目前大多文獻(xiàn)集中于2帶IIR濾波器組的設(shè)計(jì)問(wèn)題[3-6]。余弦調(diào)制濾波器組是一類具有低設(shè)計(jì)和低實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度的濾波器組。所有的合成濾波器和分析濾波器都由同一原型濾波器調(diào)制產(chǎn)生。近來(lái)，Mao et al.提出了一類原型IIR濾波器，其多相因子具有相同分母，簡(jiǎn)化了濾波器組的完全重構(gòu)條件[7]。但是由于是采用完全重構(gòu)FIR余弦調(diào)制濾波器組作為優(yōu)化算法的初值，很難得到好的優(yōu)化解，尤其對(duì)于高階IIR濾波器。文獻(xiàn)[8-9]中，一低延遲完全重構(gòu)FIR余弦調(diào)制濾波器首先設(shè)計(jì)出來(lái)，然后采用降階為近似完全重構(gòu)IIR余弦調(diào)制濾波器組作為初值，進(jìn)一步優(yōu)化得到完全重構(gòu)IIR余弦調(diào)制濾波器組。該方法的缺點(diǎn)是要花費(fèi)較長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間和首先設(shè)計(jì)一個(gè)高質(zhì)量、低延遲的完全重構(gòu)FIR余弦調(diào)制濾波器組。

目前為止，設(shè)計(jì)完全重構(gòu)濾波器組的方法基本上是利用非線性約束優(yōu)化算法。眾所周知，非線性約束優(yōu)化算法非常依賴于初值的選取。尤其在濾波器組的帶數(shù)較高，濾波器的長(zhǎng)度較大時(shí)，實(shí)現(xiàn)完全重構(gòu)且具有較好阻帶和通帶特性的濾波器組是不容易的。另一方面，如果對(duì)完全重構(gòu)條件的要求不那么嚴(yán)格的話，具有較好的通帶平坦性和阻帶衰減性的濾波器組很容易得到，而且設(shè)計(jì)過(guò)程中的計(jì)算復(fù)雜度也將大為降低。這類近似完全重構(gòu)濾波器組的重構(gòu)誤差如果可以控制在一定范圍，比如大約為10-3，則實(shí)際應(yīng)用中是可以接受的。

本文提出一種設(shè)計(jì)近似完全重構(gòu)IIR余弦調(diào)制濾波器組的新方法?；诮o定IIR濾波器極點(diǎn)值設(shè)計(jì)問(wèn)題，可以寫(xiě)成一個(gè)凸極小極大值優(yōu)化問(wèn)題，從而可以用二階錐規(guī)劃求解[8，10]。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，設(shè)計(jì)所得濾波器組具有合理的低系統(tǒng)完全重構(gòu)誤差。值得注意的是，IIR濾波器組的分母是關(guān)于zM的多項(xiàng)式(M是一個(gè)整數(shù))，分解出來(lái)的濾波器多相因子具有同一分母。這將簡(jiǎn)化濾波器組的完全重構(gòu)條件[7-8]，使得近似完全重構(gòu)濾波器組可以進(jìn)一步優(yōu)化得到完全重構(gòu)余弦調(diào)制濾波器組。

1 IIR近似完全重構(gòu)余弦調(diào)制濾波器組

圖1給出了M帶嚴(yán)格采樣濾波器組的一般結(jié)構(gòu)。在分解濾波器組部分，輸入信號(hào)x(n)被分析濾波器Hk(z)，k=0，1，…，M-1濾波，并且進(jìn)行下采樣，采樣因子為M， 從而分成M個(gè)子路信號(hào)。在合成濾波器組部分，為了重構(gòu)原信號(hào)，先對(duì)接收到的M路子帶信號(hào)進(jìn)行采樣因子為M的上采樣，然后通過(guò)M個(gè)合成濾波器Fk(z)，k=0，1，2，…，M-1，相加得出重構(gòu)信號(hào)。所謂嚴(yán)格采樣是指所有子帶信號(hào)樣本數(shù)目與原信號(hào)一致。

圖1 M帶嚴(yán)格采樣濾波器組一般結(jié)構(gòu)

對(duì)于余弦調(diào)制濾波器組，所有的分析濾波器和合成濾波器都是通過(guò)對(duì)同一原型濾波器進(jìn)行調(diào)制得出的。對(duì)于IIR余弦調(diào)制濾波器組，其原型濾波器P(z):

P(z)=∑Lnum-1n=0a(n)z-n∑Lden-1n=0b(n)z-n

式中:Lnum和Lden分別是分子和分母的長(zhǎng)度。

原型濾波器的頻率響應(yīng)可以寫(xiě)作:

P(ejω)=∑Lnum-1n=0a(n)e-jωn∑Lden-1n=0b(n)e-jωn=A(ω)e-jωDnumB(ω)e-jωDden=P(ω)e-jωD

式中:P(ω)和D/2分別是濾波器的幅度頻率響應(yīng)和組延遲。M帶余弦調(diào)制濾波器組的分析濾波器可以用式(1)得到[1]:



Hk(z)=akUk(z)+a*kVk(z)， 0≤k≤M-1(1)

式中:Uk(z)=ckP(zWk+0.5)，Vk(z)=c*kP(zW-(k+0.5))，Wk2M=e-2jkπ/(2M);原型濾波器截止頻率是π/(2M);合成濾波器為Fk(z)=z-NHk(z-1)。如果ak和ck選取為ak=ejθk，θk=(-1)k(π/4)和ck=W(k+0.5)D/2，則可以很好地抑制重組信號(hào)中的主要混疊失真。系統(tǒng)的傳輸方程為:

T(ejω)≈1M∑M-1k=0[U2k(ejω)+V2k(ejω)](2)

如果T(ejω)是常數(shù)，則抑制了重組信號(hào)的幅度失真。顯然，Uk(ejω)和Vk(ejω)是P(ejω)的頻移。假定P(ejω)的理想頻率響應(yīng)為:



Pd(ejω)=e-jωD，ω∈[0，ωp]

0，ω∈[ωs，π](3)



式中:D是通帶和過(guò)渡帶的組延遲;ωp和ωs分別是P(ejω)通帶和阻帶的截止頻率。又有P(ejω)=A(ω)e-jωDnumB(ω)e-jωDden。因此可得:A(ω)e-jωDnum=Pd(ejω)#8226;B(ω)e-jωDden，也就是A(ejω)=Pd(ejω)#8226;B(ejω)。詳細(xì)地:



A(ejω)=∑Lden-1n=0b(n)e-jω(n+D)， ω∈[0，ωp]

0，ω∈[ωs，π](4)

如若給定分母系數(shù)矢量b=[b(0)，b(1)，…，b(Lden-1)]T，則IIR濾波器P(ejω)的設(shè)計(jì)問(wèn)題就是分子A(ejω)的設(shè)計(jì)問(wèn)題。該問(wèn)題可以采用二階錐規(guī)劃法求解。

2 基于二階錐規(guī)劃的設(shè)計(jì)方法

本文采用一般性的極大值極小化設(shè)計(jì)規(guī)則。首先，設(shè)計(jì)問(wèn)題可以重寫(xiě):



Minimize δ

Subject to W(ω)|P(ejω)-Pd(ejω)|≤δ(5)



濾波器P(ejω)分子的頻率響應(yīng)可以寫(xiě)作:

A(ejω)=aT{cnum(ω)-jsnum(ω)}(6)

式中:a=[a(0)，a(1)，…，a(Lnum-1)]T是變量矢量;cnum(ω)=[1，cos(ω)，…，cos((Lnum-1)ω)]T;sunm(ω)=[0，sin(ω)，…，sin((Lnum-1)ω)]T。簡(jiǎn)便起見(jiàn)，用(ejω)表示式(4)的右部。類似地有:

(ejω)=bT{den(ω)-jden(ω)}， ω∈[0，ωp]

0，ω∈[ωs，π](7)

式中:b是預(yù)先定義的矢量;den(ω)=[cos(Dω)，cos((D+1)ω)，…，cos((D+Lden-1)ω)]T;den(ω)=[sin(Dω)，sin((D+1)ω)，…，sin((D+Lden-1)ω)]T。如果用R(ω)和I(ω)分別表示式(10)中(ejω)的實(shí)部和虛部，則式(5)中的問(wèn)題可進(jìn)一步寫(xiě)作:



Minimize δ

Subject to δ-{a2R(ω)+a2I(ω)}1/2≥0(8)



式中:-π≤ω≤π，aR(ω)=W(ω)[aTcnum(ω)-R(ω)]，aI(ω)=W(ω)[aTsnum(ω)+I(ω)]。在所感興趣的頻率段上把頻率量ω離散化成{ωi，1≤i≤m}，就可以得到下面標(biāo)準(zhǔn)的二階錐規(guī)劃問(wèn)題:



Minimize cTx

Subject to cTx≥‖F(xiàn)ix-gi‖2(9)



式中:c=[1，OTN]T;x=[δ，aT]T;

Fi=W(ωi)0cnum(ωi)T0snum(ωi)T;

gi=W(ωi)[-R(ωi)I(ωi)]T;

ON是一個(gè)N 行零矢量;‖#8226;‖2表示歐氏距離。由于這是一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，只要解存在，就是優(yōu)化解。此外，線性的二次方約束條件可以很容易地附加在式(9)。

這里預(yù)先定義分母B(z)的所有根都應(yīng)該位于單位圓內(nèi)，以保證濾波器的穩(wěn)定性。其次，把B(z)定義成關(guān)于z2M的多項(xiàng)式，這樣可以保證其多相因子具有相同分母，簡(jiǎn)化完全重構(gòu)條件，使得設(shè)計(jì)所得濾波器組可以帶入某約束非線性優(yōu)化算法，進(jìn)一步優(yōu)化得到完全重構(gòu)系統(tǒng)。鑒于篇幅所限，完全重構(gòu)余弦調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)部分不做贅述。

3 設(shè)計(jì)過(guò)程

接下來(lái)給出一個(gè)基于二階錐規(guī)劃的設(shè)計(jì)程序?；诮o定P(ejω)的阻帶截止頻率ωs，通帶阻帶波紋誤差比δp/δs=1，分子系數(shù)長(zhǎng)度Lnum，調(diào)整通帶截止頻率ωp，使得系統(tǒng)重構(gòu)誤差最小化。ωp的調(diào)整步長(zhǎng)初始化為:wstp=ωp*0.001。具體步驟如下:

(1) 預(yù)先設(shè)定矢量b的值。

(2) 在給定的ωp波紋值上，用二階錐規(guī)劃法求取式(7)中分子A(z)。

(3) 計(jì)算系統(tǒng)重構(gòu)誤差Epp:傳輸函數(shù)∑M-1k=0Hk(z)Fk(z)的最大峰峰值;

如果Epp

否則，如果Epp在接連t次循環(huán)運(yùn)算中不減少，則停止。

(4) 更新ωp，回到第(2)步。

ωp的調(diào)整步長(zhǎng)wstp在上述第(3)步中可以進(jìn)行自調(diào)整。如果Epp在t次循環(huán)運(yùn)算(本文中t=5)中不減小，則假定發(fā)現(xiàn)了局部解。

原型濾波器的分母B(z)系數(shù)，矢量b，要預(yù)先給定再開(kāi)始整個(gè)設(shè)計(jì)程序。不失一般性地，矢量b的第一個(gè)元素可以假定為1，即b(1)=1。由于穩(wěn)定性的要求，矢量b中其他非零系數(shù)必須小于1。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，首先考慮b中除b(1)外只有一個(gè)非零系數(shù)的情況。對(duì)于一個(gè)M帶近似完全重構(gòu)余弦調(diào)制濾波器組有b=[1，0，…，b(2M+1)]，這里非零系數(shù)b(2M+1)∈(-1，1)。IIR原型濾波器的2M個(gè)極點(diǎn)值均勻分布在一圓周上，且值為:rejθi，r<1和i=[1，2，…，2M]。顯然一個(gè)絕對(duì)值比較大的b(2M+1)產(chǎn)生一個(gè)值比較大的r。對(duì)于b中除b(1)外包含兩個(gè)及兩個(gè)以上非零系數(shù)的情況，極點(diǎn)分布情況將更為復(fù)雜。

4 實(shí)驗(yàn)例子

4.1 3-帶近似完全重構(gòu)余弦調(diào)制濾波器組

首先，一個(gè)3-帶近似完全重構(gòu)IIR余弦調(diào)制濾波器組被設(shè)計(jì)出來(lái)。原型濾波器分子系數(shù)長(zhǎng)度Lnum=30。目標(biāo)IIR原型濾波器P(z)通帶組延遲D=14.5，其阻帶截止頻率ωs=π/M。b=[1，0，…，b(2M+1)]，這里給定b(2M+1)=-0.05。通帶截止頻率ωp初始化為0.3π/M=0.1π。按著上文所述設(shè)計(jì)方法得到的近似完全重構(gòu)余弦調(diào)制濾波器組分解濾波器組的頻率響應(yīng)如圖2所示。

圖2 3-帶近似完全重構(gòu)IIR余弦調(diào)制濾波器組

更新后通帶截止頻率p=0.055π，濾波器組的原型濾波器P(z)的最高阻帶衰減為-74.21 dB，系統(tǒng)重構(gòu)誤差Epp=4.76e-3。

4.2 8-帶近似完全重構(gòu)余弦調(diào)制濾波器組

給定8-帶近似完全重構(gòu)IIR余弦調(diào)制濾波器組的原型濾波器P(z)分子系數(shù)長(zhǎng)度Lnum=64。通帶組延遲D=31.5，阻帶截止頻率ωs=π/M。這里b=[1，0，…，b(2M+1)，…，b(4M+1)]，給定b(2M+1)=-0.05，b(4M+1)=-0.01。通帶截至頻率ωp初始化為0.3π/M=0.037 5π。設(shè)計(jì)所得近似完全重構(gòu)余弦調(diào)制濾波器組分解濾波器組的頻率響應(yīng)見(jiàn)圖3。

圖3 8-帶近似完全重構(gòu)IIR余弦調(diào)制濾波器組

更新后通帶截至頻率p=0.024 112π。濾波器組的原型濾波器P(z)的最高阻帶衰減為-58.20 dB，系統(tǒng)重構(gòu)誤差Epp=1.41e-2。

5 結(jié) 語(yǔ)

介紹了一種新的近似完全重構(gòu)IIR余弦調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)方法?；诮o定的極點(diǎn)值，IIR原型濾波器的設(shè)計(jì)可以寫(xiě)成一個(gè)凸極大極小值的問(wèn)題。該問(wèn)題可以用二階錐規(guī)劃法求解。給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)過(guò)程。實(shí)驗(yàn)例子表明，所得近似完全重構(gòu)IIR余弦調(diào)制濾波器組具有良好的頻率特性和合理的低系統(tǒng)重構(gòu)誤差。

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