摘 要:提出運(yùn)用IMM對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時(shí)的航跡外推算法，解決了機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤中的航跡外推問題。利用歷史信息和轉(zhuǎn)移概率推導(dǎo)出模型預(yù)測(cè)概率，結(jié)合單一模型的預(yù)測(cè)航跡和模型預(yù)測(cè)概率得到了相互作用多模型跟蹤過程中的外推航跡。通過Monte-carlo仿真表明，運(yùn)用外推方法在機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤時(shí)能將誤差控制在較小的范圍內(nèi)，具有很好的跟蹤性能。

關(guān)鍵詞:目標(biāo)跟蹤; 航跡外推; 相互作用多模型; 轉(zhuǎn)移概率

中圖分類號(hào):TN820; TP274文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-373X(2010)15-0005-03

Flight Path Extrapolation Algorithm in Target Tracking by IMM

LIU Heng-ze，YANG Gang，ZHANG Chang-ge， ZHANG Jun

(Beijing Institute of Remote Sensing Equipment， Beijing 100854， China)

Abstract: An algorithm about flight path extrapolation during the target tracking with IMM is proposed. This algorithm solves the problem of the flight path extrapolation when the maneuvering target is being tracked. Based on the transition probability and history information，the model prediction probability is deduced， and then the extrapolation flight path during the target tracking with IMM is acquired in combination with the unimodal prediction flight path and model prediction probability. The result of Monte-Carlo simulation indicates that this algorithm can control the error in a small range when tracking a maneuvering target， so this algorithm has a good tracking performance.

Keywords: target tracking; flight path extrapolation; interacting multi-model; transition probability

0 引 言

機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤包括目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型的建立和航跡濾波與預(yù)測(cè)兩方面的內(nèi)容。常用的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型有勻速運(yùn)動(dòng)模型和勻加速運(yùn)動(dòng)模型[1]，傳統(tǒng)的目標(biāo)跟蹤方法是在某一時(shí)間段內(nèi)基于勻速模型或者勻加速模型進(jìn)行卡爾曼濾波[2-3]或者概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波[4-5]建立目標(biāo)的航跡。目標(biāo)進(jìn)行高機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，單獨(dú)使用勻速模型或勻加速模型無法準(zhǔn)確地反映目標(biāo)運(yùn)動(dòng)情況。1982年，Bar-Shalom等人提出了相互作用多模型算法(IMM)[6-8]，該算法是一種“軟切換”跟蹤方法，模型間通過估計(jì)狀態(tài)的組合實(shí)現(xiàn)相互作用，以各模型濾波器狀態(tài)值的加權(quán)和作為最后的組合狀態(tài)估計(jì)。對(duì)于高機(jī)動(dòng)目標(biāo)，由于IMM算法能更快地適應(yīng)高頻率、大幅度的機(jī)動(dòng)而逐漸成為跟蹤系統(tǒng)方案設(shè)計(jì)的主要考慮對(duì)象。

航跡濾波與預(yù)測(cè)是指對(duì)含有隨機(jī)誤差的觀測(cè)數(shù)據(jù)經(jīng)過平滑濾波處理，得到真正反映目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特征的狀態(tài)參量[9]。當(dāng)有可靠的觀測(cè)信息時(shí)，綜合利用歷史航跡和目標(biāo)的當(dāng)前觀測(cè)信息獲得目標(biāo)的狀態(tài)值;當(dāng)沒有可靠的觀測(cè)信息時(shí)，通過航跡外推進(jìn)行記憶跟蹤。本文提出了一種在運(yùn)用相互作用多模型算法進(jìn)行跟蹤的情況下利用先驗(yàn)信息進(jìn)行航跡外推的算法，該算法能夠在沒有可靠觀測(cè)點(diǎn)的情況下進(jìn)行有效的記憶跟蹤。

1 相互作用多模型跟蹤

在傳統(tǒng)的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤中，通常使用的方法是在不同的運(yùn)動(dòng)階段，使用不同的運(yùn)動(dòng)模型，不同模型濾波器之間根據(jù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)視和切換。盡管這樣也能夠適應(yīng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，但機(jī)動(dòng)檢測(cè)往往有滯后，而快速進(jìn)行模型切換則會(huì)降低濾波器的可靠性[10]。多模型算法充分利用先驗(yàn)信息，在某一時(shí)刻通過歷史信息和目標(biāo)的觀測(cè)信息確定目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)符合某種運(yùn)動(dòng)模型的概率，然后分別基于某一種運(yùn)動(dòng)模型對(duì)目標(biāo)進(jìn)行濾波，將各個(gè)模型的濾波值的加權(quán)和作為最終的濾波結(jié)果，如式(1)所示:

(k/k) = ∑Nj = 1j(k/k)uj(k)

(1)

式中:

j(k/k)代表k時(shí)刻基于第j個(gè)運(yùn)動(dòng)模型Mj濾波得到的濾波狀態(tài)值;uj(k)代表目標(biāo)在k時(shí)刻其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可能屬于某一模型Mj的概率;N為進(jìn)行交互作用的模型個(gè)數(shù)。本文使用勻速和勻加速兩種模型進(jìn)行交互作用模擬機(jī)動(dòng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

由式(1)可以看出濾波值的最終獲得分兩步，第一步是基于單個(gè)模型對(duì)目標(biāo)進(jìn)行濾波，第二步是各模型的濾波狀態(tài)值通過模型概率uj(k)加權(quán)組合獲得最終的狀態(tài)值。對(duì)于第一步，首先要確定與模型Mj匹配的濾波器的混合初始條件0j(k-1/k-1)和P0j(k-1/k-1)，然后進(jìn)行航跡濾波得到基于模型Mj的狀態(tài)值j(k/k)。第二步要計(jì)算出模型概率uj(k)，進(jìn)一步得到最終的狀態(tài)值和濾波均方誤差陣。

1.1 計(jì)算混合初始條件

在進(jìn)行第k次濾波前已知k-1時(shí)刻的狀態(tài)值(k-1/k-1)，協(xié)方差P(k-1/k-1)，以Mj模型為基礎(chǔ)的更新估計(jì)j(k-1/k-1)，k-1時(shí)刻目標(biāo)運(yùn)動(dòng)服從Mj模型的概率uj(k-1)，Mj模型在k-1時(shí)刻的協(xié)方差Pi(k-1/k-1)。

用ui/j(k-1/k-1)表示在k時(shí)刻目標(biāo)運(yùn)動(dòng)服從模型Mj的條件下，k-1時(shí)刻目標(biāo)運(yùn)動(dòng)服從模型Mi的后驗(yàn)概率，由貝葉斯公式可得:

ui/j(k-1/k-1)=pijui(k-1)∑2i=1pijui(k-1)，i，j=1，2

(2)

式中:pij=P{Mj(k)/Mi(k-1)}，表示k-1時(shí)刻服從模型Mi的條件下k時(shí)刻服從模型Mj的轉(zhuǎn)移概率，通常認(rèn)為pij服從馬爾可夫鏈。

由于:

0j(k-1/k-1)=E[X(k-1)/Mj(k)，Zk-1]=

∑2i=1i(k-1/k-1)ui/j(k-1/k-1)， j=1，2

(3)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]可得:

P0j(k-1/k-1)=

E{[X(k)-0j(k/k)][X(k)-0j(k/k)]T/Zk}=

∑2i=1ui/j(k-1/k-1){Pi(k-1/k-1)+

[i(k-1/k-1)-0j(k-1/k-1)]#8226;

[i(k-1/k-1)-0j(k-1/k-1)]T}

(4)

這樣便得到了k時(shí)刻對(duì)應(yīng)Mj模型的狀態(tài)初始值和初始協(xié)方差。這時(shí)基于某一種模型進(jìn)行卡爾曼濾波或者概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波，可以計(jì)算出k時(shí)刻Mj模型的狀態(tài)估計(jì)j(k/k)和濾波均方誤差陣j(k/k)。

1.2 模型概率uj(k)的計(jì)算

由貝葉斯公式可得:

uj(k)=P(Mj(k)/Zk)=

=P(Z(k)/Mj(k)，Zk-1)∑2i=1pijui(k-1)∑2j=1[P(Z(k)/Mj(k)，Zk-1)∑2i=1pijui(k-1)]

(5)

由式(5)可以看出，模型概率uj(k)由P(Z(k)/Mj(k)，Zk-1)和歷史信息共同決定。由于P(Z(k)/Mj(k)，Zk-1)是新息的聯(lián)合概率密度，因此稱其為概率匹配似然函數(shù)，當(dāng)只有一個(gè)有效觀測(cè)向量時(shí)，由文獻(xiàn)[10]可知:

P(Z(k)/Mj(k)，Zk-1)=

2πSj(k)-12exp[-12vT(k)(Sj(k))-1v(k)]

(6)

將式(6)代入式(5)，便可以得到運(yùn)動(dòng)模型Mj在k時(shí)刻正確的后驗(yàn)概率uj(k)。最后由式(1)便可以得到k時(shí)刻基于多模型的濾波值，文獻(xiàn)[10]證明，此時(shí)的濾波均方誤差陣P(k/k)可由式(7)得出:

P(k/k)=∑2j=1uj(k){Pj(k/k)+[j(k/k)-

(k/k)][j(k/k)-(k/k)]T}

(7)

2 外推算法的提出

在通常情況下，當(dāng)k時(shí)刻沒有獲得符合條件的觀測(cè)值時(shí)，需要進(jìn)行航跡外推。單一模型情況下通過卡爾曼濾波建立目標(biāo)航跡，可以通過式(8)得到狀態(tài)值的一步預(yù)測(cè)值進(jìn)行航跡外推。

(k/k-1)=Φ(k-1)(k-1/k-1)

(8)

式中:Φ(k-1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。在相互作用多模型的情況下，由于目標(biāo)模型是通過多個(gè)模型相互作用得到的，因此無法獲得確定的Φ(k-1)，因此無法運(yùn)用式(8)進(jìn)行航跡外推。通過分析式(2)~式(4)可以看出，k時(shí)刻與特定模型匹配的混合初始條件0j(k-1/k-1)和P0j(k-1/k-1)的計(jì)算不受觀測(cè)向量的影響。因此在k時(shí)刻沒有可信觀測(cè)信息時(shí)，可以通過式(9)和式(10)分別計(jì)算出各模型的狀態(tài)預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣。對(duì)模型j進(jìn)行外推過程如下:

j(k/k-1)=Φjj(k-1/k-1)

(9)

Pj(k/k-1)=ΦjP0j(k-1/k-1)ΦTj+Qj(k-1)

(10)

Qj(k-1)=Γjσ2wΓTj

(11)

式中:Φj表示模型Mj的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;Γj表示模型Mj的擾動(dòng)矩陣。由于模型1為勻速模型，模型2為勻加速模型，所以:

Φ1=1T0

010

000，Φ2=1TT2201T001

Γ1=T22T0，Γ2=T22T1

式中:T為濾波的時(shí)間間隔;σ2w表示隨機(jī)噪聲方差。

通過外推可以預(yù)測(cè)出基于模型Mj的狀態(tài)值和濾波協(xié)方差矩陣。通過式(1)和式(7)可以看出，最終的狀態(tài)值和濾波協(xié)方差矩陣不僅與j(k/k)和Pj(k/k)有關(guān)，還與模型概率uj(k)有關(guān)。對(duì)式(5)和式(6)分析發(fā)現(xiàn)，uj(k)與似然函數(shù)P(Z(k)/Mj(k)，Zk-1)有關(guān)，而似然函數(shù)是新息的聯(lián)合概率密度。當(dāng)k時(shí)刻沒有符合要求的觀測(cè)值時(shí)，無法獲得可靠的新息序列vi(k)，模型概率uj(k)便無法獲得。這時(shí)需要根據(jù)現(xiàn)有信息對(duì)模型概率uj(k)進(jìn)行預(yù)測(cè)。由于轉(zhuǎn)移概率pij服從馬爾可夫過程，因此可以通過歷史信息uj(k-1)和pij得到k時(shí)刻的模型預(yù)測(cè)概率uj(k/k-1)。由全概率公式可以得到:

uj(k/k-1)=P(Mj(k)/Zk-1)=

∑2i=1P(Mi(k-1)/Zk-1)#8226;P(Mj(k)/Mi(k-1))=

∑2i=1ui(k-1)#8226;pij

(12)

把各模型的預(yù)測(cè)狀態(tài)值j和預(yù)測(cè)模型概率uj(k/k-1)代入式(13)和式(14)，便可以得到相互作用多模型的狀態(tài)預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)濾波均方誤差陣。

(k/k-1)=∑2j=1j(k/k-1)uj(k/k-1)

(13)

P(k/k-1)=∑2j=1uj(k/k-1)#8226;

{Pj(k/k-1)+[j(k/k-1)-(k/k-1)]#8226;

[j(k/k-1)-(k/k-1)]T}

(14)

用式(13)和式(14)得到的狀態(tài)預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)濾波均方誤差陣建立目標(biāo)的外推航跡，從而實(shí)現(xiàn)了相互作用多模算法的記憶跟蹤。

3 仿真驗(yàn)證

以導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤為例，對(duì)本文設(shè)計(jì)的相互作用多模型的航跡外推算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并分析外推算法的性能。

導(dǎo)彈以2 (°)/s的方位角速度接近目標(biāo)，目標(biāo)的初始方位角為60°，濾波間隔T為16 ms，9 s時(shí)目標(biāo)以1(°)/s2的加速度開始機(jī)動(dòng)，機(jī)動(dòng)3 s后目標(biāo)恢復(fù)到勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。狀態(tài)噪聲的方差σ2w=0.01，量測(cè)噪聲的方差R=1。0～3 s，6～9 s及10～16 s導(dǎo)引頭觀測(cè)數(shù)據(jù)正常，3～6 s及8～10 s沒有符合要求的觀測(cè)數(shù)據(jù)。

在觀測(cè)數(shù)據(jù)正常的情況下，運(yùn)用相互作用多模型算法進(jìn)行目標(biāo)跟蹤，當(dāng)沒有符合要求的觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，運(yùn)用本文設(shè)計(jì)的外推算法進(jìn)行記憶跟蹤。方位角的濾波及外推航跡如圖1所示，方位角速度的濾波及外推航跡如圖2所示，濾波及外推均方差曲線如圖3所示。

圖1 方位角濾波及外推航跡

圖2 方位角速度濾波及外推航跡

圖3 濾波誤差均方差

通過圖1和圖3可以看出，本算法能將濾波誤差均方差控制在一定的范圍內(nèi)，說明運(yùn)用本文設(shè)計(jì)的外推算法能夠在相互作用多模算法濾波時(shí)較好地對(duì)目標(biāo)進(jìn)行記憶跟蹤。但外推過程中，由于沒有目標(biāo)的新息，航跡外推的誤差仍然比航跡濾波的誤差要大，并且隨著濾波時(shí)間的增加，外推誤差會(huì)逐步加大，因此外推時(shí)間必須控制在一定的范圍內(nèi)。

通過圖2可以發(fā)現(xiàn)，本文設(shè)計(jì)的外推算法能夠在進(jìn)行記憶跟蹤的時(shí)候保持目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，因此能夠?qū)δ繕?biāo)狀態(tài)進(jìn)行較好的預(yù)測(cè)。但是如果在記憶跟蹤過程中目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動(dòng)，航跡外推的效果就會(huì)變差。

4 結(jié) 語

提出了利用相互作用多模型方法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時(shí)的航跡外推算法。IMM算法在對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤時(shí)有很好的效果，本文提出的外推算法通過計(jì)算模型預(yù)測(cè)概率uj(k/k-1)，進(jìn)而推導(dǎo)出相互作用多模型算法的狀態(tài)預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣，解決了運(yùn)用IMM算法對(duì)

目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時(shí)的記憶跟蹤問題。本算法也存在一些不足，外推航跡的誤差隨著記憶跟蹤時(shí)間的增加而增大，并且在記憶跟蹤過程中目標(biāo)進(jìn)行較大的機(jī)動(dòng)，誤差也會(huì)變得較大。從不可靠的觀測(cè)中提取可靠的目標(biāo)新息來輔助進(jìn)行航跡外推可以解決并改善這些問題，這也是本文提出的算法需要進(jìn)一步改進(jìn)的地方。

參 考 文 獻(xiàn)

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作者簡介: 劉恒澤 男，1984年出生，河北張家口人，碩士研究生。主要研究方向?yàn)閿?shù)據(jù)融合技術(shù)。