摘 要:工程數學課程教學與數學一樣，幾乎是抽象理論與晦澀概念的結合體。學生在學習過程中充滿了學什么，怎么學，學習之后又有什么用，以及在哪里能用到和怎么用的問題。在此以復變函數與積分變換課程中所遇到的問題及解決方法進行了簡單小結，并進行探討，為以后的教學做一些改進。

關鍵詞:實例教學法;工程數學;復變函數與積分變換;教學

中圖分類號:TP274 文獻標識碼:B

文章編號:1004-373X(2010)12-0090-03

Application of Simple Examples in Engineering Mathematics

ZHANG Wei

(Xi’an University of Arts and Science， Xi’an 710065， China)

Abstract:The engineering mathematics teaching same as mathematics teaching is almost a combination of the abstract theory and the obscure concept. In the learning process students are full of problems such as what to learn， how to learn， and where to use and how to use， etc. The experience of teaching complex variables functions and integral transformation courses， the problems encountered and the solutions adopted in the past few years are summarized. The discussion with many same occupation teachers worying in universities was performed. Improvement of the course in the future teaching is expected.

Keywords:method of example teaching; engineering mathematics; complex variable function and integral transform; teaching

0 引 言

工程數學通常包括復變函數與積分變換、線性代數、概率論與數理統(tǒng)計、統(tǒng)計推斷和數學模型等內容[1-3]，其理論與方法應用廣泛，是很多工學專業(yè)開設的必修課。如何取得工程數學教學的最佳效果，是需要探索和實踐的。

復變函數與積分變換這門課程之所以屬于工程數學范疇[4]，它主要是以工程背景為依托來展開討論的，它是在研究力學、電磁學和熱力學等學科時得到的，其前提就是為實際工程服務的，那么在講解這門課程時，應與普通數學的教學方式有所區(qū)別。

1 工程數學與傳統(tǒng)數學的區(qū)別

傳統(tǒng)數學主要注重于對基本概念的理解和對理論的講解，必須符合嚴密的邏輯推理，而不注重其實際實踐環(huán)節(jié)的應用，特別是一些符合實際卻不能用單純的數學概念解釋或者解決的一些問題?！肮こ虜祵W”也是一門數學課[5]，具有傳統(tǒng)數學的一些特點，還會遇到一些晦澀難懂的概念、繁瑣的計算和不易理解的邏輯推理。單純就數學而言，這些東西如果不經過與實際工程相結合考慮，那么是極不容易理解的。所以工程數學既有數學的特點，又有與實際工程應用相結合才能理解的特點。因此在推導定理或概念的過程中就會出現一些不完全符合嚴密邏輯的推理，但在現實中又是實實在在存在的一些特殊情況，這就給學生的學習造成了一定的困難。如單位脈沖函數(δ(t))，對于集中于一點或一瞬時的量如瞬時沖擊力、點電荷、電熱源、脈沖電流等，這些物理量就可以用通常的函數形式來描述。

2 運用簡單實例在工程數學中進行教學中的難題

工程數學的內容抽象，概念定理多，推導計算較繁瑣，但這些都是實際工程中存在的。然而，大多數學生在上大學前基本上沒接觸多少實際工程方面的問題，專業(yè)課又沒了解多少，甚至是一片空白，進行專業(yè)課舉例教學顯然又不是很合適;簡單的例子一時找不到，復雜一點的例子學生一時也不明白，所以舉例教學也是一個慎之又慎的教學方法。

因此，對學生在進行工程數學教學前期的準備工作就顯得極其重要了。一般來講，有些大學對學生進行入學的專業(yè)教育，但是有的學校由于種種原因沒進行這方面的工作，或者進行了，但是效果不是很明顯。這就需要任課教師自己結合本專業(yè)實際向學生推薦一定數量的圖書，這些工作應該在課程教學第一節(jié)課完成。

復變函數與積分變換是一門工程數學，在講解時應盡量依據工程背景來展開討論。但這門課的開課學期是大二的第一學期，這個階段學生的知識體系并沒有建立起來，專業(yè)課幾乎沒有涉及到，學生對自己的專業(yè)沒有一個系統(tǒng)的認識，這就需要任課教師在進行舉例時盡量的淺顯易懂，以常見的實際問題為切入點把抽想問題具體化來進行討論。

3 用簡單實例在工程數學中進行教學

上述問題完成后，就可以結合一些實際例子來講了。復變函數第一章的孤立奇點、單連域、多連域等概念比較抽象，難于理解，同學們一時不能接受，但是可以通過一個簡單的例子來解決這一(系列的)問題。例如，完好的一整塊布料，在加工時可以隨意地裁剪，但如果布料中出現一個或幾個疵點時，在加工時就不能隨意地進行裁剪，就要避開這些疵點，因為有了這些疵點，布料就不能完整地被利用，即不能化整為零，這些疵點就是奇點等。奇點概念的引入為下一章解析函數的引入起到了拋磚引玉的效果。

在講拉氏變換的延遲性時，會出現一個e-τs這樣一個因子，這個因子是如何體現延遲性，延遲的結果又是什么，又是如何在實際中去應用。這個問題可以通過一個大家都熟悉的鍋爐加熱系統(tǒng)或者緩慢的化學反應來說明，級數的收斂問題可以轉化為系統(tǒng)的穩(wěn)定性來討論等。這樣的例子可以找到很多，下面通過幾個實例進行說明。

實例1 復變函數與積分變換在電路分析課程中的應用[4] 。

設有圖1所示的R和L串聯電路，在t=0時接到直流電勢E上，求電流i(t)。

圖1 RL串聯電路

由基爾霍夫定理知，i(t)滿足方程:

Ri(t)+Ld[i(t)]dt=E，i(0)=0

這是電路基礎課程中的一個典型例子，如果直接解這個微分方程有通解和特解，是比較麻煩的。拉氏變換作為一種數學工具，使有關運算得以簡化，同時它也是研究實際工程問題中線性系統(tǒng)特性的有力工具，如果用拉氏變換解這個方程，會得到事倍功半的效果。使用拉氏變換是因為它把關于時域t的方程微分轉化為復頻域s的代數方程，這樣簡化了運算過程，減少了出錯率。所以 ，由題意可知:

令I(s)=L[i(t)]，在方程兩邊取拉氏變換得:

RI(s)+LsI(s)=E/s

求解得:

I(s)=Es(R+sL)=ER[1s-1s+(R/L)]

求拉氏逆變換得:

i(t)=ER(1-e-RLt)

實例2 復變函數與積分變換在電力電子課程中的應用[6] 。這里以單位脈沖函數δ(t)的篩選性為例來進行講解。

設f(t)是定義在實數域R上的有界函數，且在t=0處連續(xù)，則有(若f(t)為無窮次可微的函數):∫+∞-∞δ(t)f(t)dt=f(0)或∫+∞-∞δ(t-t0)f(t)dt=f(t0)。

該性質的物理意義是:δ函數和任何連續(xù)函數的乘積在實軸上的積分都有明確意義。如果單純地講這個性質，講完之后學生并沒有深刻的影響，也不知道這個性質與后續(xù)的專業(yè)課有什么樣的聯系，但如果加入下面的一個實例，就可加深學生對這個性質的理解。下面通過電路圖2和圖3來說明。

圖2 三相橋式全控整流電路原理圖

圖3 晶閘管的觸發(fā)脈沖

圖2為三相橋式全控整流電路原理圖。在一個周期內，3組橋臂是依次輪流導通的，但是晶閘管導通的前提條件是必須要有觸發(fā)脈沖，如果在一個周期內觸發(fā)脈沖一直工作就會造成資源的浪費。為了節(jié)約資源，根據晶閘管導通的順序，就可以在一個周期內(0~360°)的特定時刻給每個管子加一個觸發(fā)信號，如選出圖3中一個周期的t1，t2，t3，t4，t5，t6六個時刻，分別給VT1~VT6六個晶閘管加觸發(fā)脈沖，而其余時刻并不需要觸發(fā)信號。這就節(jié)約了許多資源，而且使脈沖函數篩選性的物理意義(即δ函數和任何連續(xù)函數的乘積在實軸上的積分都有明確意義)得到了很好地體現，加深了學生對性質的理解能力，也為這門課以后的講解做了必要的鋪墊。

實例3 用工程實例推導傅里葉級數[7-9]。

圖4為實際工程中常用的方波信號，但是怎么準確地表達這個方波信號呢。大家知道，正弦波信號是一種常見的規(guī)則信號，它有精確的數學模型可以描述，也是許多其他信號合成的基礎。但是工程中經常會用到一些其他信號波，如方波、三角波、鋸齒波等，這些信號在實際應用中很重要，卻沒有精確的數學模型可以表述，需要用已有的正弦波進行合成?，F在就以方波信號的合成為例，來講述傅里葉級數的推導過程。

圖4 方波信號

圖4中的函數f(t)為一任意的方波函數，經過坐標平移后，得到圖5的方波信號，其中的a0/2為修正值)，這個方波就可以用正弦波去逼近。為了使大家看到這樣一個現象，可借助多媒體輔助教學，把用Matlab仿真的結果展現出來。

圖5 經過坐標的方波信號

為了分析方便，對坐標軸進行了時/頻轉換，圖6~圖9為仿真結果。

從圖6可以看出，隨著逼近個數的增加，正弦波與方波的面積越來越接近。所以方波可以用相應頻率的基波及奇次諧波去合成。

即:

f(t)=sin t+13sin 3t+15sin 5t+…+

1(2k-1)sin(2k-1)+…

經過化簡總可以表示為下式的形式:

f(t)=a02+∑∞n=1cnsin(ωnt+φn)

式中:ωn=nω0。

∴f(t)=a02+∑∞n=1(cnsin ωntcos φn+cncos ωntsin φn)

令:cncos φn=bn，cnsin φn=an

則:f(t)=a02+∑∞n=1(ancos ωnt+bnsin ωnt)

式中:ωn=nω0，ω0=2π/T。

圖6 1個正弦波去逼近

圖7 4個正弦波去逼近

圖8 9個正弦波去逼近

圖9 100個正弦波去逼近

在工程計算中， 無論是電學還是力學， 經常要與隨時間而變的周期函數fT(t)打交道。

由此可以看出，所有工程中使用的周期函數都可以用一系列三角函數的線性組合來逼近，這就是所謂的Fourier級數。所以，方波用三角函數的逼近結果為圖9的形式。

4 結 語

結合學生的相關專業(yè)，給學生補充一些與實際緊密結合的問題，用課堂所學內容予以解決，既能提起學生學習復變函數及積分變換這門課程的興趣，亦能使學生了解本專業(yè)方向，為以后專業(yè)課的學習打下良好的數學基礎。

參考文獻

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