史 歷，夏先進

SHI Li1， XIA Xian-jin2

（1. 西安航空技術(shù)高等?？茖W(xué)校 基礎(chǔ)課部，西安 710077；2. 西北工業(yè)大學(xué) 軟件與微電子學(xué)院，西安 710072）

基于Matlab解決生產(chǎn)—庫存問題

To solve pproduction and inventory problem based on Matlab

史 歷1，夏先進2

SHI Li1， XIA Xian-jin2

（1. 西安航空技術(shù)高等?？茖W(xué)校 基礎(chǔ)課部，西安 710077；2. 西北工業(yè)大學(xué) 軟件與微電子學(xué)院，西安 710072）

生產(chǎn)—庫存問題是多階段決策問題，若用動態(tài)規(guī)劃建立模型求其解，則非常復(fù)雜；基于Matlab軟件，給出一般的求解程序及命令，使得問題得以解決。

生產(chǎn)—庫存；多階段決策；Matlab軟件；源碼程序

0 引言

生產(chǎn)—庫存問題是一個多階段決策問題，屬運籌學(xué)中動態(tài)規(guī)劃所研究解決的范圍。動態(tài)規(guī)劃（dynamic programming）是運籌學(xué)的一個分支，是求解多階段決策問題的最優(yōu)化方法。20世紀50年代初由貝爾曼（R.Beliman）等人在研究多階段決策過程(multistep decision process)的優(yōu)化問題時，提出了著名的最優(yōu)性原理（principle of optimality），把多階段過程轉(zhuǎn)化為一系列單階段問題，逐個求解，創(chuàng)立了解決這類過程優(yōu)化問題的新方法—動態(tài)規(guī)劃。其數(shù)學(xué)模型為：

其中：R效益總和，rk(xk,uk)為階段效益，xk+1=Tk(xk,uk)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，xk各階段狀態(tài)集合，uk為各階段決策集合，k為階段變量。

1 生產(chǎn)—庫存問題所涉及的因素

生產(chǎn)—庫存問題是企業(yè)在生產(chǎn)實踐中經(jīng)常遇到的實際問題。所謂生產(chǎn)—庫存問題，就是一個生產(chǎn)部門在已知生產(chǎn)成本、庫存費用和各階段市場需求量的條件下，如何決定各階段的生產(chǎn)量，欲使計劃期內(nèi)的費用總和最小的問題。我們所要解決的是如何決策各階段的生產(chǎn)量，若進行大批量的生產(chǎn)可以降低成本，但當(dāng)超過市場的需求量時，就會造成積壓而增加庫存費用，但如果按市場的需求量來安排生產(chǎn)，也會出現(xiàn)由于開工不足或加班加點造成生產(chǎn)成本的提高。由于生產(chǎn)—庫存問題涉及的因素較多，用數(shù)學(xué)模型在求其解時其計算非常復(fù)雜，這對于解決生產(chǎn)—庫存問題的工作者或決策者來說，無論是理論計算或?qū)嶋H應(yīng)用都會帶來很多的困難和不便。下面先列出在生產(chǎn)—庫存問題中所要考慮到的因素并用變量表示：

1）生產(chǎn)計劃期分為n各階段，即 k = 1 ～ n ；

2）最初的庫存量x0；

3）各階段市場的需求量dk；

4）各階段生產(chǎn)單位產(chǎn)品的消耗費用Hk；

5）各階段單位產(chǎn)品的庫存費用Fk；

6）各階段的倉庫容量mk；

7）各階段的最大生產(chǎn)能力bk；

8）各階段生產(chǎn)的準備費用Ck（若產(chǎn)量=0，則Ck=0）。

9）計劃期末庫存量x00。

生產(chǎn)—庫存問題就是要解決：在所處條件和要求的約束下，如何決策各階段的生產(chǎn)量，使得既滿足各階段市場的需求量，又使計劃期內(nèi)總的費用為最低的目標。

2 程序及命令

生產(chǎn)—庫存問題所涉及的因素較多，將所有因素都考慮在內(nèi)，基于Matlab軟件，給出求解程序及運行命令。先建立如下六個m文件：

1）狀態(tài)變量xk為階段k的初始庫存量，由于x0與x00是已知的，于是問題是始端末端固定的問題，其約束條件為：0≤xk≤Min{mk，dk+dk+1+…+dn+x00}。

所建立的m文件為：

2）決策變量uk為階段k的生產(chǎn)量，其約束條件為：Max{0,dk-xk}≤uk≤Min{bk,dk+dk+1+…+dn+x00-xk，mk-xk+dk}。

所建立的m文件為：

3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：xk+1= xk+uk-dk,

建立第三個m文件為：

4）各個階段的效益為：

建立第四個m文件為：

5）建立第五個m文件：引入?yún)⒖嘉墨I[1]第184頁文件dynprog.m并作如下修改。

將以上六個m文件保存在Matlab的work中，在求解實際問題時，先在Matlab運行窗口中設(shè)定參數(shù)：生產(chǎn)計劃期分為的階段n；最初的庫存量x0及期末庫存量x00;各階段市場的需求量d=[d1,d2,...,dn,x00]; 各階段的倉庫容量m=[m1,m2,...,mn,x00]；各階段的最大生產(chǎn)能力b=[b1,b2,...,bn,0]；各階段生產(chǎn)單位產(chǎn)品的消耗費用H=[h1,h2,...,hn,0]；各階段單位產(chǎn)品的庫存費用F=[f1,f2,...,fn,0]；各階段生產(chǎn)的準備費用C=[c1,c2,...,cn,0]。

然后輸入命令：

[p_opt,fval]=prdcStoreProb(x0,x00,d,m,b,H,F,C,'DecisF_1','ObjF_1','TransF_1')

運行后，p_opt有四列輸出：第一列為階段序號；第二列為各階段初的庫存量；第三列為各階段的最優(yōu)生產(chǎn)量；第四列為各階段的費用。在fval輸出中顯示了計劃期最優(yōu)決策的總費用。

例如：某企業(yè)計劃初期產(chǎn)品的庫存為2個單位，欲進行六個月的生產(chǎn)計劃件，要求計劃期末庫存為1個單位；據(jù)預(yù)測每個月的最大生產(chǎn)能力分別為：8、7、8、5、6、7個單位，需求量分別為：5、3、2、6、3、7個單位，最大庫存容量分別為：15、12、7、8、10、9個單位，生產(chǎn)費用每單位分別為：3、2、5、4、3、5千元，生產(chǎn)所需的準備費用分別為：2、3、1、4、3、2千元，每單位的庫存費用分別為：0.005、0.004、0.005、0.002、0.003、0.002千元。求使總費用最小的最優(yōu)生產(chǎn)計劃。

在Matlab運行窗口中輸入?yún)?shù)：

所得到的最優(yōu)決策為：第一、三、五、六各月分別安排生產(chǎn)6、8、4、7個單位，其余月份不生產(chǎn)；最少費用為67（千元）。

3 結(jié)束語

以上所建立的m文件較多，其目的能夠?qū)嶋H應(yīng)用者提供方便。生產(chǎn)—庫存問題不僅生產(chǎn)經(jīng)營部門會遇到，在商業(yè)中的采購營銷部門同時也存在這樣的問題，只需將投入生產(chǎn)的固定和變動成本變?yōu)椴少徤唐返墓潭ê妥儎映杀炯纯蓱?yīng)用于實際；企業(yè)在市場經(jīng)營中追求利潤最大和成本最低為主要目標，解決生產(chǎn)—庫存問題能夠使企業(yè)減少成本，增加貨幣的流通性，為利潤最大化的實現(xiàn)提供了最優(yōu)決策，在一定的范圍內(nèi)具有實際應(yīng)用價值。文章中的源碼及程序均在Matlab6.5.1中通過驗證。

[1] 胡良劍,等.數(shù)學(xué)實驗一使用MATLAB[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版杜,2001.

[2] 趙靜,但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗[M].北京：高等教育出版社,2003.

[3] 楊民助.運籌學(xué)[M].西安：西安交通大學(xué)出版社,2001.

[4] 樓順天,等.MATLAB 7.X程序設(shè)計語言[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社,2007.

TH166

A

1009-0134(2010)10(下)-0051-03

10.3969/j.issn.1009-0134.2010.10(下).16

2010-04-09

史歷（1956 -），男，山西垣曲人，副教授，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)模型的教學(xué)與研究。