張林泉

（廣東女子職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息資源中心，廣東廣州 511450）

0 引 言

國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（Gross Domestic Product，GDP）是對(duì)一國(guó)（地區(qū)）經(jīng)濟(jì)在核算期內(nèi)所有常住單位生產(chǎn)的最終產(chǎn)品總量的度量，因此，常被看成顯示一個(gè)國(guó)家（地區(qū)）經(jīng)濟(jì)狀況、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)趨勢(shì)及社會(huì)財(cái)富的重要指標(biāo)。GDP還與就業(yè)有關(guān)，通常GDP越高，表明就業(yè)的機(jī)會(huì)就越多。GDP受投資、消費(fèi)、出口、銀行信貸方面以及政府宏觀調(diào)控手段和力度等諸多因素的影響，運(yùn)用傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)法建立模型進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)往往比較困難。文中運(yùn)用ARIMA模型對(duì)廣州地區(qū)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)進(jìn)行分析預(yù)測(cè)，為制定經(jīng)濟(jì)計(jì)劃提供具有重要理論與現(xiàn)實(shí)意義的依據(jù)和參考。

1 ARIMA模型的基本思想及其結(jié)構(gòu)

ARIMA模型又稱為自回歸移動(dòng)平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，ARIMA），是由 Box and Jenkins（1976）提出的以隨機(jī)理論為基礎(chǔ)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法，所以又稱為Box and Jenkins模型。ARIMA模型根據(jù)原序列是否平穩(wěn)以及回歸中所含部分的不同，包括移動(dòng)平均過程（MA）、自回歸過程（AR）、自回歸移動(dòng)平均過程（ARMA）以及ARIMA過程。其中，ARIMA（p，d，q）稱為差分自回歸移動(dòng)平均模型，AR是自回歸，p為自回歸項(xiàng)數(shù);MA為移動(dòng)平均，q為移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)，d為時(shí)間序列成為平穩(wěn)時(shí)所做的差分次數(shù)。

ARIMA模型是一種精度較高的時(shí)序短期預(yù)測(cè)模型，其基本思想是:某些時(shí)間序列是依賴于時(shí)間t的一組隨機(jī)變量，構(gòu)成該時(shí)序的單個(gè)序列值雖然具有不確定性，但整個(gè)序列的變化卻有一定的規(guī)律性，可以用相關(guān)的數(shù)學(xué)模型近似描述。通過對(duì)該數(shù)學(xué)模型的分析研究，能夠更本質(zhì)地認(rèn)識(shí)時(shí)間序列的結(jié)構(gòu)與特征，達(dá)到最小方差意義下的最優(yōu)預(yù)測(cè)[1]。ARMA（p，q）的一般模型為:

令

式（1）可化為:

設(shè)

式中:L——滯后算子;

Φ（L）——L的p自回歸系數(shù)多項(xiàng)式;

Θ（L）——L的q階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式;

φp——自回歸算子;

θq——移動(dòng)平均算子;

{εt}——零均值白噪聲序列。

經(jīng)過d階差分變換后的ARMA（p，q）模型稱為ARIMA（p，d，q）模型。

將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個(gè)平穩(wěn)的ARMA（p，q）模型作為它的生成模型，則該原始時(shí)間序列是一個(gè)自回歸單整移動(dòng)平均時(shí)間序列，記為ARIMA（p，d，q）[2]。ARIMA模型實(shí)質(zhì)是差分運(yùn)算與ARMA模型的組合[3]。

2 ARIMA模型擬合步驟

2.1 序列平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)

首先根據(jù)時(shí)間序列的散點(diǎn)圖（或折線圖）、自相關(guān)圖，或通過ADF單位根檢驗(yàn)，判斷該序列是否平穩(wěn)（stationary series）。若含有指數(shù)趨勢(shì)的非平穩(wěn)，通?？梢酝ㄟ^對(duì)指數(shù)趨勢(shì)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換后轉(zhuǎn)化為線性趨勢(shì)，然后再對(duì)其進(jìn)行差分來消除線性趨勢(shì)。差分次數(shù)即為ARIMA（p，d，q）中的階數(shù)d，實(shí)際的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列差分階數(shù)d一般不超過2。

2.2 模型識(shí)別

對(duì)差分后平穩(wěn)序列進(jìn)行模型定階，通常遵循如下的經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)則:

1）如果某序列的自相關(guān)函數(shù)是截尾的，即過了某一滯后項(xiàng)數(shù)（設(shè)為q）后，自相關(guān)函數(shù)值變成不顯著，接近于0，并且偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則可以把該序列設(shè)為MA（q）過程。

2）如果某序列的偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的，即過了某一滯后項(xiàng)數(shù)（設(shè)為p）后，偏自相關(guān)函數(shù)值變成不顯著，接近0，并且自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則把該序列設(shè)為AR（p）過程。

3）如果某序列的自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)值都是拖尾的，則把該序列設(shè)為ARMA（p，q）過程。再利用自相關(guān)函數(shù)（ACF）、偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）以及它們的圖形來確定p，q的值。

2.3 模型參數(shù)估計(jì)

估計(jì)模型的未知參數(shù)，并檢驗(yàn)參數(shù)的顯著性，若有不顯著的，表示此參數(shù)不需要放在模型中。

2.4 模型診斷

檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行跃褪菍?duì)所估計(jì)的模型是否很好地?cái)M合了數(shù)據(jù)進(jìn)行診斷，主要是通過檢驗(yàn)殘差序列是否為白噪聲序列來判斷。是否還存在一個(gè)更好的模型，能夠更好地?cái)M合數(shù)據(jù)和進(jìn)行預(yù)測(cè)，一般的做法是在模型中增加滯后項(xiàng)，然后根據(jù)Akaike's（1974）信息準(zhǔn)則（AIC），及Schwarz's（1978）信息準(zhǔn)則（SBIC）來判斷。如果擬合模型通不過檢驗(yàn)，重新選擇模型進(jìn)行擬合。

2.5 模型預(yù)測(cè)

利用已通過檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行預(yù)測(cè)分析。

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)與處理

數(shù)據(jù)選取1990-2009年廣州地區(qū)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值序列（yt），數(shù)據(jù)來源于廣州市統(tǒng)計(jì)年鑒[4]。對(duì)于含指數(shù)趨勢(shì)的時(shí)間序列，可以通過取對(duì)數(shù)來將指數(shù)趨勢(shì)轉(zhuǎn)化為線性趨勢(shì)。作圖（圖略）可以看出廣州地區(qū)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值呈指數(shù)變化趨勢(shì)，特別是從1998年之后，增長(zhǎng)趨勢(shì)強(qiáng)勁，具有很強(qiáng)的非平穩(wěn)性。經(jīng)單位根檢驗(yàn)，t=10.273 8，P= 1.000 0大于相應(yīng)臨界值，接受原假設(shè)，即存在單位根，原始序列沒有通過ADF檢驗(yàn)，是非平穩(wěn)的時(shí)間序列。對(duì)序列yt取對(duì)數(shù)并做一次差分后（對(duì)yt取對(duì)數(shù)得到lnyt，用Δ lnyt表示lnyt序列一階差分）再做線圖，線圖顯示序列的增長(zhǎng)趨勢(shì)基本消除，初步判斷為平穩(wěn)序列。單位根檢驗(yàn)見表1。

表1 Δlnyt序列ADF檢驗(yàn)

說明非平穩(wěn)序列取對(duì)數(shù)一階差分后在5%、10%顯著性水平下是平穩(wěn)的，可以對(duì)模型定階d =1，即對(duì)一階差分以后的平穩(wěn)序列可以建立ARMA（p，q）模型。

3.2 模型建立與檢驗(yàn)

序列取對(duì)數(shù)一階差分后的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖如圖1所示。

圖1 Δlnyt序列的相關(guān)圖

樣本自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，故選擇ARIMA（p，d，q）模型。從圖1可以看出，自相關(guān)圖在K=1之后都在隨機(jī)區(qū)間內(nèi)，從偏自相關(guān)圖可以看出，K=1之后都在隨機(jī)區(qū)間內(nèi)。經(jīng)過反復(fù)的試驗(yàn)及檢驗(yàn)，只有當(dāng)p=1，q=3時(shí)，參數(shù)通過檢驗(yàn)，考慮建立模型ARIMA（1，1，3）。用Eviews軟件建立模型ARIMA（1，1，3），并對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到結(jié)果見表2。

表2 模型參數(shù)估計(jì)

殘差序列自相關(guān)圖如圖2所示。

圖2 Δlnyt序列ARIMA（1，1，3）模型殘差相關(guān)圖

殘差序列的自相關(guān)系數(shù)都落入隨機(jī)區(qū)間，殘差不存在序列相關(guān)，在各階滯后的自相關(guān)和偏自相關(guān)值都接近于零，所有的Q-統(tǒng)計(jì)量不顯著，并且有大的P值。

殘差值、實(shí)際值、擬合值如圖3所示。

圖3 殘差值、實(shí)際值、擬合值圖

序列相關(guān)的Breush-Godfrey LM檢驗(yàn)（拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)），統(tǒng)計(jì)量見表3。

表3 拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)

在5%的顯著性水平接受原假設(shè)，回歸方程的殘差序列不存在序列相關(guān)性，回歸方程的估計(jì)結(jié)果有效。ARIMA（1，1，3）模型的殘差圖完全符合時(shí)間序列模型擬合的條件，根據(jù)上述分析，確立模型為ARIMA（1，1，3），可以用來做短期預(yù)測(cè)。

由表2 AMIMA（1，1，3）模型為:

可得到:

所以有:

3.3 模型預(yù)測(cè)

利用建立的模型對(duì)2007-2010年廣州地區(qū)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果見表4。

表4 預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際值比較表 億元

從表4可以看出，預(yù)測(cè)值與實(shí)際值差異不大，預(yù)測(cè)相對(duì)誤差較小，說明ARIMA（1，1，3）模型對(duì)預(yù)測(cè)效果較好。

4 討論分析

運(yùn)用1990-2009年廣州地區(qū)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)建立ARIMA（1，1，3）模型，通過模型參數(shù)估計(jì)與診斷檢驗(yàn)，以及實(shí)證檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，預(yù)測(cè)相對(duì)誤差較小，預(yù)測(cè)擬合精度較好，可用于對(duì)廣州市GDP做短期預(yù)測(cè)，為制定經(jīng)濟(jì)計(jì)劃提供依據(jù)和參考。模型的建立應(yīng)注意時(shí)間序列的連續(xù)性，隨著預(yù)測(cè)期的延長(zhǎng)，預(yù)測(cè)誤差也會(huì)相應(yīng)增大。

5 結(jié) 語(yǔ)

廣州2010全年地區(qū)生產(chǎn)總值有望突破1萬億元，從廣州GDP的產(chǎn)業(yè)構(gòu)成與貢獻(xiàn)分析來看，原有的發(fā)展模式已不能適應(yīng)未來城市發(fā)展的需要，要合理調(diào)整GDP比重，加快經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式轉(zhuǎn)變。注意各次產(chǎn)業(yè)的協(xié)調(diào)發(fā)展，避免某一產(chǎn)業(yè)的“過熱”并產(chǎn)生“瓶頸”，這也是發(fā)展經(jīng)濟(jì)的一個(gè)重要的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)[5]。加大金融業(yè)、信息傳輸、計(jì)算機(jī)服務(wù)等現(xiàn)代服務(wù)業(yè)增加值占服務(wù)業(yè)增加值的比重;加大制造業(yè)實(shí)現(xiàn)增加值占規(guī)模以上工業(yè)增加值的比重，加大新興產(chǎn)業(yè)增加值占GDP的比重;加強(qiáng)對(duì)居民消費(fèi)預(yù)期的刺激和基礎(chǔ)設(shè)施的完善增加社會(huì)消費(fèi)品零售總額，挖掘和培育新的消費(fèi)增長(zhǎng)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)以人為本的現(xiàn)代化。

[1] 易丹輝.數(shù)據(jù)分析與Eviews應(yīng)用[M].北京:中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2003:106-132.

[2] 李子奈，潘文卿.計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].2版.北京:高等教育出版社，2005.

[3] 何書元.應(yīng)用時(shí)間序列分析[M].北京:北京大學(xué)出版社，2003.

[4] 佚名.廣州統(tǒng)計(jì)年鑒2010[M].北京:中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2010.

[5] 張海燕.我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展中基于產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)因素的計(jì)量分析[J].長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，30（5）:572-577.