胡玉生， 張利英， 丁 華

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠 233030）

1 引 言

2005年，郭文彬[1]提出了完全條件置換子群的概念。按照文獻(xiàn)[1]的術(shù)語稱有限群G的子群H為G的完全條件置換子群，如果對(duì)于G的任意子群K，存在＜H，K＞的某個(gè)元素x，使得HKx=KxH。利用完全條件置換子群的概念，人們得到了一些非常有益的結(jié)果。例如，文獻(xiàn)[1]中證明:如果有限群G的極小子群和4階循環(huán)子群都在G中完全條件置換，則G超可解。

上述定理利用極小子群和4階循環(huán)子群的完全條件置換性得到了有限群G超可解的結(jié)論，從這一角度出發(fā)，文中研究了有限群G的極小子群和4階循環(huán)子群，得出:如果G的極小子群都包含在SE（G）中，且G的4階循環(huán)子群在G中完全條件置換，則G為超可解群。

2 主要結(jié)果

首先給出下面的引理。

引理1[1]設(shè)G為有限群，H為G的子群，K為G的正規(guī)子群，則

1）如果H在G中完全條件置換，則HK/K在G/K中完全條件置換。

2）如果H在G中完全條件置換，則對(duì)于任意x∈G，Hx也在G中完全條件置換，其中，Hx= {hx=x-1hx|h∈H}是H的共軛子群。

3）如果T≤M≤G，T為G的完全條件置換子群，則T也為M的完全條件置換子群。

引理2[2]設(shè)G是內(nèi)超可解群，則G有如下結(jié)構(gòu):

1）存在正規(guī)子群P∈Sylp（G），使G=P∝M，P/Φ（P）為G/Φ（P）非循環(huán)的極小正規(guī)子群;

2）如果p＞2，則exp（P）=p;若p=2，則exp（P）≤4，且p2||G|;

3）存在c∈P﹨Φ（P），使＜c＞不是G的正規(guī)子群;

4）如果P為Abel群，則Φ（P）=1;

5）P不是Abel群時(shí)，Φ（P）=Z（P）=P′;

6）G為Sylow塔群或G為內(nèi)冪零群。

引理3[3]設(shè)G為內(nèi)超可解群，P為G的正規(guī)Sylow p-子群，若有N＜|G，G/N超可解，則P∈Sylp（N）。

定理1 如果G的極小子群都包含在SE（G）中，且G的4階循環(huán)子群在G中完全條件置換，則G為超可解群。

證明 假設(shè)定理不成立，而設(shè)G為極小階反例，則

1）G為內(nèi)超可解群。

事實(shí)上，對(duì)于任意K＜G，因?yàn)镵的任一極小子群H≤SE（G）∩K≤SE（K），由引理1知K的4階循環(huán)子群在G中完全條件置換，從而在K中完全條件置換，所以K滿足定理?xiàng)l件。由G的極小性知，K超可解，故G為內(nèi)超可解群。從而G具有引理2的結(jié)構(gòu)，設(shè)P為G的正規(guī)Sylow p-子群。

2）如果exp（P）=p，由條件知P≤SE（G），從而由G/P超可解知G超可解，矛盾，所以，必有p =2。如果G有Sylow塔性質(zhì)，則由p=2知G= P×M超可解，矛盾。故由引理2知G為2aqb階的內(nèi)冪零群。

3）任意a∈P﹨Φ（P），o（a）=4。

設(shè)＜x＞為G的Sylow q-子群，令

則

由P/Φ（P）的極小性知，P=MΦ（P）=M，因?yàn)椋糰xqi＞≤SE（G），1≤i≤b，所以，P≤SE（G），于是由G/P超可解知G超可解，矛盾。

4）導(dǎo)出矛盾。

因?yàn)镚為內(nèi)超可解群，故存在P∈Syl2（G），使P＜|G，P/Φ（P）是G/Φ（P）的極小正規(guī)子群，且P/Φ（P）非循環(huán)。設(shè)H為G的p-補(bǔ)，任取Hq∈Sylq（H），則Hq∈Sylq（G）。因?yàn)閷?duì)于?g∈P﹨Φ（P）有＜g＞在G中完全條件置換，所以存在y∈＜g，H＞使得

且

所以

從而

又P/Φ（P）是Abel的，故

而

故

但

這與P/Φ（P）是G/Φ（P）的極小正規(guī)子群矛盾。故極小階反例不存在，G為超可解群。

定理2 設(shè)N為G的正規(guī)子群使得G/N超可解，若N的極小子群皆屬于SE（G），且4階循環(huán)子群在G中完全條件置換，則G為超可解群。

證明 仿照定理1的證明及引理3得證。

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