蘇寶庫，趙 富，2，劉 雨

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱150001，zhaofu9274@163.com; 2.北京航天控制儀器研究所，北京100854)

在許多工業(yè)應(yīng)用中(如機(jī)器手、數(shù)字控制機(jī)床和轉(zhuǎn)臺等)，參考信號或擾動信號經(jīng)常是周期已知的周期性信號，并且這些實(shí)際應(yīng)用要求伺服系統(tǒng)具有很高的定位精度和低速性能.文獻(xiàn)［1］基于內(nèi)模原理提出了重復(fù)控制，在穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)設(shè)置一個(gè)產(chǎn)生與參考信號或擾動信號同周期的內(nèi)部模型，使得系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對周期性參考信號的漸近跟蹤或?qū)χ芷谛詳_動信號的有效抑制.自從重復(fù)控制提出以來，許多學(xué)者對此展開了廣泛深入的研究，并且獲得了成功的應(yīng)用［2－5］.Hara和Yamamoto給出重復(fù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件［6］.文獻(xiàn)［7］將有限維重復(fù)控制器應(yīng)用于抑制轉(zhuǎn)臺控制系統(tǒng)的力矩?cái)_動，但是要求被控對象無虛軸上的零點(diǎn)，沒有考慮系統(tǒng)存在不確定性的情況.由于H∞控制理論適合處理存在數(shù)據(jù)攝動和外界擾動時(shí)系統(tǒng)的魯棒控制問題，因此一些學(xué)者已經(jīng)將H∞控制應(yīng)用于分析和設(shè)計(jì)重復(fù)控制系統(tǒng).Guvenc用1和－1分別代替內(nèi)模中的時(shí)滯e－τs，利用結(jié)構(gòu)奇異值理論分析連續(xù)重復(fù)控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性和跟蹤性能，將原來無限維的問題簡化成一個(gè)有限維問題.但是用此方法設(shè)計(jì)鎮(zhèn)定控制器存在很大的保守性［8］.文獻(xiàn)［9］在頻域空間中研究了魯棒重復(fù)控制器的設(shè)計(jì)問題，但是所提出的設(shè)計(jì)方法只能適用于最小相位系統(tǒng).文獻(xiàn)［10］在給定系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制器的基礎(chǔ)上，基于LMI約束條件提出設(shè)計(jì)重復(fù)控制器的方法.在文獻(xiàn)［10］的基礎(chǔ)上，吳敏等人在保證控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上提出了低通濾波器和狀態(tài)反饋控制器參數(shù)同時(shí)優(yōu)化的方法［11］.但是沒有考慮擾動對控制系統(tǒng)的影響.

基于以上文獻(xiàn)存在的缺點(diǎn)，本文針對不確定性線性系統(tǒng)提出一種重復(fù)控制器和輸出反饋控制器參數(shù)同時(shí)優(yōu)化的方法，有效地解決了重復(fù)控制系統(tǒng)控制性能與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的折衷問題，即使得乘性不確定性系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性又提高系統(tǒng)的擾動抑制性能和跟蹤性能.將本文所提出的方法與文獻(xiàn)［10－11］的方法均應(yīng)用于低頻線振動臺系統(tǒng)，仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提的方法具有更高的跟蹤精度，更具有實(shí)用性，并且使得系統(tǒng)具有魯棒性.

1 問題描述

設(shè)控制系統(tǒng)如圖1所示.其中，r，e，u，d，θ分別為參考輸入、輸出誤差、控制輸入、擾動信號、輸出信號.z1，z2為評價(jià)輸出.P(s)為被控對象的標(biāo)稱模型，Δ(s)是被控對象未知的攝動函數(shù)(‖Δ(s)‖∞≤1)，W2(s)表示Δ(s)的攝動界函數(shù).M(s)是重復(fù)控制器，K(s)是輸出反饋控制器.d與θ存在非線性關(guān)系，即存在周期函數(shù)H(·)，使得d=H(θ)，它實(shí)際上構(gòu)成了非線性反饋.

圖1 含有重復(fù)控制器的控制系統(tǒng)

本文考慮的問題是設(shè)計(jì)重復(fù)控制器M(s)和輸出反饋控制器K(s)，抑制未知的周期性擾動d，提高系統(tǒng)的跟蹤精度.在圖1中設(shè)計(jì)重復(fù)控制器就是設(shè)計(jì)合適的低通濾波器Kq(s).

2 重復(fù)控制系統(tǒng)魯棒性能分析

2.1 控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析

定理1 設(shè)被控對象P(s)含有穩(wěn)定攝動Δ(s)，且滿足‖Δ(s)‖∞≤1，當(dāng)圖1的重復(fù)控制系統(tǒng)滿足

則重復(fù)控制系統(tǒng)對于任意Δ(s)是魯棒穩(wěn)定的.

證明 考慮系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，設(shè)r=d=0.從圖1中可以得到從w2到z2的傳遞函數(shù)為Gz2w2=－W2(s)T(s)，然后利用小增益定理可以得到:當(dāng)‖Gz2w2‖∞=‖W2(s)T(s)‖∞＜1時(shí)，重復(fù)控制系統(tǒng)對于任意Δ(s)是魯棒穩(wěn)定的.證畢.

2.2 控制系統(tǒng)擾動抑制性能分析

擾動抑制的目標(biāo)是盡量減小擾動輸入d對評價(jià)輸出z1的影響，即實(shí)現(xiàn)

其中:S(s)=(1+P(s)K(s)M(s))－1.

由于Δ(s)在‖Δ(s)‖∞≤1的范圍內(nèi)可任意取值，因此即使魯棒穩(wěn)定條件成立，仍會存在這樣的Δ(s)，使得在某些頻帶上

顯然，對于該攝動Δ(s)，擾動抑制會極端惡化，所以，即使標(biāo)稱系統(tǒng)性能和魯棒穩(wěn)定性再好，也不能保證魯棒擾動抑制性能.

因此為實(shí)現(xiàn)擾動抑制性能，(1)和(2)必須同時(shí)滿足.由于(2)中含有攝動項(xiàng)Δ(s)，在設(shè)計(jì)時(shí)，必須把這個(gè)條件轉(zhuǎn)變成不含攝動的一個(gè)條件，因此乘性攝動系統(tǒng)的擾動抑制性能問題等價(jià)于導(dǎo)入假想攝動Δf(s)(如圖2所示，其中‖Δf(s)‖∞＜1)后的魯棒穩(wěn)定問題.

因?yàn)椤琫－τs‖∞=1，因此將圖2中的攝動Δf，Δ和e－τs分離出來.通過把圖2變形為圖3，魯棒抑制問題歸結(jié)為對具有對角結(jié)構(gòu)型攝動的重復(fù)控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性問題.

圖2 等價(jià)魯棒穩(wěn)定問題

圖3 魯棒穩(wěn)定性與魯棒性能

設(shè)被控對象P(s)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

其中:xp∈Rn是被控對象的狀態(tài)向量，u∈Rm是控制輸入.

設(shè)擾動抑制加權(quán)函數(shù)W1(s)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

設(shè)魯棒穩(wěn)定加權(quán)函數(shù)W2(s)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

選擇廣泛使用的低通濾波器Kq(s)=ωc/(s+ωc).

將低通濾波器Kq(s)轉(zhuǎn)化成如下的狀態(tài)空間表達(dá)式:

考慮圖3的重復(fù)控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，可以令r=0.

利用(3)～(6)可以得到廣義被控對象F:

其中:

設(shè)廣義被控對象(7)的輸出反饋控制器K(s)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

其中:

由于‖diag(Δf，Δ，e－sT)‖∞≤1，根據(jù)小增益定理可知，圖3所示的閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的充分條件為

引理1［13］設(shè)γ＞0，且G(s)的最小實(shí)現(xiàn)由(A，B，C，D)給出，則A是穩(wěn)定陣，且‖G(s)‖∞＜γ的充要條件是存在X＞0滿足

定理2 設(shè)γ=1，Gzw由式(9)給出.如果存在

證明 設(shè)γ=1，Gzw由式(9)給出.由引理3的充分條件可以得到定理2的證明.證畢.

由于定理2使用對角型結(jié)構(gòu)的攝動，導(dǎo)致保守性較大.鑒于此，在圖3中引入定標(biāo)陣Q= diag(Q1，Q2，Q3)，再利用小增益定理來確定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的充分條件.在圖3中加入穩(wěn)定的定標(biāo)陣變形為圖4.

圖4 導(dǎo)入定標(biāo)陣的結(jié)構(gòu)圖

設(shè)Q=diag(Q1，Q2，Q3)，利用小增益定理可知圖4的閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充分條件為

滿足式(12)的定標(biāo)矩陣Q的條件歸結(jié)為如下LMI:

3 控制器設(shè)計(jì)

定義矩陣

定義變量:

式(13)變換成以下LMI:

其中:

注:矩陣不等式(14)不是線性的，無法便捷地得到控制器參數(shù)和ωc，下面的推論1給出了將非凸的矩陣不等式(14)轉(zhuǎn)化為非線性最小化問題求解.

推論1 給定一個(gè)參數(shù)ωc，將(14)轉(zhuǎn)化為如下的非線性最小化問題:

S.t.:

若其解為m+2且存在正定矩陣Q，Q1，R，S，則得到所要求的控制器參數(shù)表示矩陣的跡.

在上述的錐補(bǔ)線性化方法中很難通過數(shù)據(jù)方法保證min tr(Q·Q1)精確的等于m+2，所以用式(14)作為迭代終止的判定條件.下面給出具體的算法1:

2)求解如下的線性矩陣不等式最小化問題:

令求出的解為

3)將求出的解帶入式(16)，如果滿足，則得到控制器增益若不滿足，且迭代次數(shù)大于設(shè)定的最大迭代次數(shù) jmax，則系統(tǒng)無解，否則令j=j+1，轉(zhuǎn)到2).

理論上重復(fù)控制系統(tǒng)中低通濾波器的剪切頻率越大，系統(tǒng)的跟蹤精度越高［11］，因此可以利用下面的算法2得到ωc的最大值及其對應(yīng)的Ak，Bk，Ck.算法2的步驟如下:

1)首先確定算法1的最大迭代次數(shù)jmax，ωc的增加值Δωc＞0，1＞Δωc2＞0，給定一個(gè)很小的ωc及算法2終止參數(shù)ε.

3)ωc=ωc+Δωc，利用算法1的方法求解如果有解，轉(zhuǎn)到3);如果無解，轉(zhuǎn)到4).

4)ωc，利用算法1的方法求解.如果無解，轉(zhuǎn)到4).如果有解，轉(zhuǎn)到3).當(dāng)Δωc＜ε時(shí)(一般ε選得很小)，轉(zhuǎn)到5).

5)通過矩陣I－RS的奇異值分解，得到滿足MNT=I－RS的M，N.

6)從(14)式計(jì)算鎮(zhèn)定控制器參數(shù)Ak，Bk，Ck.

注1:文獻(xiàn)［10］提出一種求解低通濾波器剪切頻率ωc的算法，首先給定一個(gè)正定矩陣Q和標(biāo)量μ＞0，然后利用LMI求解ωc.由于正定矩陣Q和標(biāo)量μ＞0是人為給定的，因此該方法具有很大的保守性.文獻(xiàn)［11］的方法比文獻(xiàn)［10］的方法求解ωc的保守性小，但是沒有考慮系統(tǒng)的擾動抑制問題.本文提出的設(shè)計(jì)方法利用二分法逐漸尋找ωc的最大值及其對應(yīng)的輸出反饋控制器參數(shù)，此方法沒有人為給定的參數(shù)，因此求解的ωc保守性小，并且使得系統(tǒng)的擾動抑制性能更強(qiáng).

4 應(yīng)用實(shí)例

為了驗(yàn)證本文所提方法在實(shí)際應(yīng)用中的有效性，對低頻線振動臺進(jìn)行仿真研究，永磁直線同步電機(jī)(PMLSM)是其驅(qū)動部件，PMLSM的傳遞函數(shù)為可測反饋信號為低頻線振動臺的位置信號θ，期望軌跡為正弦信號0.1sin(10πt).外部擾動信號可寫成

其中:

設(shè)乘性不確定性 W2(s)=0.7(0.05s+ 1)/(0.035s+1)，擾動抑制加權(quán)陣W1(s)= 100/(0.8s+1).

給定算法1和算法2的參數(shù):Δωc=100，Δωc2=0.1，ε = 1，ωc= 0，jmax= 100.得到ωcmax=1 638，與ωcmax對應(yīng)的輸出反饋控制器為K(s)=

簡化后為

為了驗(yàn)證本文所提出方法的有效性，用文獻(xiàn)［10］和文獻(xiàn)［11］提出的方法與本文所提出的方法做比較.針對低頻線振動臺，文獻(xiàn)［11］的方法沒有可行解.利用文獻(xiàn)［10］的方法設(shè)計(jì)低頻線振動臺的重復(fù)控制器時(shí)，設(shè)系統(tǒng)不含不確定性，首先給定系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制器為及然后利用LMI的方法求得γ=2.208 4×104.

針對低頻線振動臺，采用本文所提出的方法設(shè)計(jì)的重復(fù)控制系統(tǒng)的位置誤差和采用文獻(xiàn)［10］提出的方法設(shè)計(jì)重復(fù)控制系統(tǒng)的位置誤差如圖5所示.

圖6為采用本文所提出的方法設(shè)計(jì)的重復(fù)控制系統(tǒng)的加速度頻譜圖.

圖5 魯棒重復(fù)控制的仿真結(jié)果

圖6 重復(fù)控制的低頻線振動臺加速度頻譜圖

很明顯，本文所提出的重復(fù)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法提高了低頻線振動臺的跟蹤性能.通過圖6可知低頻線振動臺的加速度失真度為1.34%，滿足系統(tǒng)的性能指標(biāo).

5 結(jié)論

本文提出的重復(fù)控制器和輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)方法有效地抑制了乘性不確定性系統(tǒng)存在的周期性擾動，提高了系統(tǒng)的跟蹤性能.給出了計(jì)算重復(fù)控制器中低通濾波器最大的剪切頻率及其對應(yīng)的輸出反饋控制器參數(shù)的迭代算法.仿真結(jié)果驗(yàn)證該設(shè)計(jì)方法的有效性.

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