畢鳳陽，張嘉鐘，魏英杰，曹 偉

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱150001，bifengyang@126.com)

自主水下航行器(autonomous underwater vehicle，AUV)是水下機(jī)器人的一種，其在深海資源勘探開發(fā)、海洋水文觀測、海洋測量等民用領(lǐng)域正起著重要作用，而且在軍事領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景，越來越受到各國的重視［1］.目前，世界上有近10個國家的40多個部門在研究軍用和民用AUV［2］;在AUV的這些實(shí)際應(yīng)用中，精確的位置跟蹤控制通常是必需的［3－4］.但出于成本和減重等的考慮，AUV橫向和垂向大多沒有推進(jìn)器，受到不可積的二階非完整約束，是欠驅(qū)動系統(tǒng)［5］，這使得AUV的跟蹤控制成為一個極具挑戰(zhàn)性的問題.文獻(xiàn)［4］針對欠驅(qū)動航行器，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論使用backstepping方法提出了一個位置跟蹤控制策略，但沒有考慮參數(shù)不確定性和外界干擾，而且其使用橫向速度作為虛擬控制輸入，提出的控制策略只能使位置跟蹤誤差收斂到一個很小的區(qū)域內(nèi).AUV是強(qiáng)非線性系統(tǒng)，很難獲得其精確的水動力系數(shù)，易受到海流等外界干擾影響［6－7］，這就需要控制器有較強(qiáng)的魯棒性.

基于以上考慮，本文針對具有參數(shù)不確定性和外界干擾的欠驅(qū)動AUV，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論使用backstepping方法設(shè)計了一個平面位置跟蹤控制器;為了提高控制系統(tǒng)的魯棒性，引入滑模變結(jié)構(gòu)控制策略;為了得到一個更加實(shí)用的控制器，用一個陡峭的飽和函數(shù)代替滑?？刂破髦械姆柡瘮?shù).最后將該控制器對具有參數(shù)不確定性和外界干擾的欠驅(qū)動AUV系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明本文設(shè)計的控制器能很好地實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動AUV的平面位置跟蹤控制，有很強(qiáng)的魯棒性，動態(tài)性能很好.

1 問題描述

AUV運(yùn)動一般為空間6自由度，不過在弱機(jī)動性時可以被解耦為水平面與垂直面的平面運(yùn)動.本文僅討論水平面運(yùn)動情況.欠驅(qū)動AUV的水平面運(yùn)動學(xué)方程可表示為［8］

動力學(xué)方程可表示為［5，8］

其中:m11=m－X˙u，m22=m－Y˙v，m33=Iz－N˙r.

方程(1)和(2)中的參數(shù)的物理意義請參見文獻(xiàn)［5，8］.從上述方程可看出，橫向沒有控制輸入，是欠驅(qū)動系統(tǒng).在實(shí)際應(yīng)用中，參數(shù)m11，m22，m33，Xu，Xu|u|，Yv，Yv|v|，Nr和Nr|r|都是正值，F(xiàn)u，F(xiàn)r，u，r，˙u和˙r都是有界的.由于方程(2)中的系統(tǒng)參數(shù)的標(biāo)稱值并不足夠精確，以P，P0和P*分別代表系統(tǒng)參數(shù)的實(shí)際值，標(biāo)稱值和攝動值，它們關(guān)系可表示為

則方程(2)可重寫為

其中

假設(shè)參數(shù)不確定性P*是有界的，且

其中－0.5＜ζ＜0.AUV在近水面主要受波浪干擾，在離水面較遠(yuǎn)處主要受海流干擾，這兩者都較難精確建模［9］.根據(jù)文獻(xiàn)［6，10］，外界干擾一般可取為以下形式

其中b=［b1b2b3］T代表干擾力和力矩向量; ω =［ω1，ω2，ω3］T∈R3代表平均值為零的高斯白噪聲;T∈R3×3是一個正值對角矩陣;Γ∈R3×3是一個表征高斯白噪聲幅值的對角矩陣.為了更好地分析有無外界干擾情況下的仿真結(jié)果，同時考慮到外界干擾都是有界的［6］，本文的外界干擾d=［d1d2d3］T取為

為了便于論述，定義

以pd=［xd(t)，yd(t)］T:［0，∞)→R2代表一條足夠光滑的時變的期望軌跡，且該期望軌跡的兩階導(dǎo)數(shù)有界.則本文研究的問題描述如下:針對方程(1)～(7)表示的欠驅(qū)動AUV系統(tǒng)，設(shè)計一個控制器使所有閉環(huán)信號有界且跟蹤誤差‖pdp‖快速收斂到零附近的一個可以任意減小的鄰域.

2 魯棒位置跟蹤控制器設(shè)計

Backstepping是一種非常有效的非線性系統(tǒng)控制器設(shè)計方法，它通過逐步修正算法，設(shè)計鎮(zhèn)定控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的全局調(diào)節(jié)或跟蹤，在每一步把狀態(tài)坐標(biāo)的變化、不確定參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)節(jié)函數(shù)和一個已知李雅普諾夫函數(shù)的虛擬控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定函數(shù)等聯(lián)系起來［11］.

2.1 v的有界性

由于橫向沒有控制輸入，所以很有必要先討論下v的有界性.定義一個控制李雅普諾夫函數(shù)

結(jié)合方程(2b)，其導(dǎo)數(shù)為

其中χ=max(|m11ur|+|d2|)，方程(8)可重寫為

根據(jù)文獻(xiàn)［12］，方程(2b)代表的系統(tǒng)是輸入狀態(tài)穩(wěn)定的，且

2.2 控制器設(shè)計

為了便于表達(dá)，定義

該角度取決于已知的期望位置xd和yd的變化率，完全不受模型不確定性的影響，通過定義ψe=ψd－ψ可以確定AUV相對參考軌跡的姿態(tài).假設(shè)期望變量和都是有界的，ψe的初始值滿足和cos ψe(t0)≥ε，其中ε是一個待定的正常數(shù).

定義慣性坐標(biāo)系位置跟蹤誤差為

則體坐標(biāo)系下的跟蹤誤差可表示為

從方程(9)可得

則只需設(shè)計控制律使跟蹤誤差ex和ey快速收斂到零附近的一個可以任意減小的鄰域.根據(jù)方程(1)和(9)，經(jīng)計算可得ex和ey的導(dǎo)數(shù)為

步驟1 鎮(zhèn)定跟蹤誤差ex和ey.首先定義一個控制李雅普諾夫函數(shù)

其導(dǎo)數(shù)為

選擇

為了使 ˙V1為負(fù)值，以u和α為虛擬控制輸入，選擇其期望值為

其中k1和k2都是正常數(shù).為了確保存在ψe，使得vpsin ψe=v成立，假設(shè)vp滿足將 ud和αd代入方程(10)可得

方程(12)變?yōu)?/p>

定義一個新的控制李雅普諾夫函數(shù)V2為

其導(dǎo)數(shù)為

選擇控制輸入Fu為

從方程(4a)，(5a)和(15)計算可得

為了便于表述，定義

選擇

則

其導(dǎo)數(shù)為

經(jīng)計算方程(11)和(13)可得

其中k4是一個正常數(shù)，方程(16)變?yōu)?/p>

近年來，網(wǎng)購盛行，但也存在產(chǎn)品真假難辨，出現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量問題維權(quán)難等引發(fā)購物風(fēng)險的一系列問題。因此，企業(yè)建立有影響力的網(wǎng)絡(luò)品牌有助于讓消費(fèi)者對產(chǎn)品產(chǎn)生信任，并通過保障產(chǎn)品質(zhì)量和提供良好服務(wù)，促進(jìn)產(chǎn)品的網(wǎng)絡(luò)銷售。

則方程(17)變?yōu)?/p>

定義一個新的控制李雅普諾夫函數(shù)V4為

其導(dǎo)數(shù)為

選擇控制輸入Fr為

其中k5和η3為待定的正常數(shù)，方程(19)變?yōu)?/p>

從方程(4c)，(5c)和(20)計算可得

為了便于表述，定義

選擇

則

即|d'3|≤η3，則V4的導(dǎo)數(shù)滿足

根據(jù)文獻(xiàn)［12］，最終的閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，位置跟蹤誤差將指數(shù)趨近到零.

2.3 關(guān)于控制輸入Fr的討論

需要特別注意的是，當(dāng)cos ψe等于零的時候，rd將變成無窮大，控制輸入Fr也變成無窮大而沒有意義，所以有必要討論下在使用本文提出的控制器且滿足ψe的初始條件假設(shè)情況下，ψe的變化范圍.

假設(shè)初始時刻為t0，考慮到和都是有界的，ψe的初始值滿足和cos ψe(t0)≥ε，所以V4(t0)是有界的.根據(jù)文獻(xiàn)［12］取γ=min{k1， k2， k3， k4， k5}，由方程(21)可得

結(jié)合方程(18)可得

則|rd(t)|和|cos ψe(t)|滿足

因此|rd(t)|和方程(20)中的控制輸入Fr都是有界的.

2.4 一個實(shí)用控制器

在理論上，方程(15)和(20)的控制律能取得很好的控制性能，但該控制律的控制信號是不連續(xù)的，將產(chǎn)生抖振現(xiàn)象.在實(shí)際應(yīng)用中，AUV系統(tǒng)是極其不希望出現(xiàn)抖振現(xiàn)象的.為了削弱抖振，根據(jù)文獻(xiàn)［12］，可用一個抖振的飽和函數(shù)來代替符號函數(shù)，則控制律可重寫為

其中

其中σ1和σ2都是很小的正常數(shù).根據(jù)文獻(xiàn)［12］，通過增大控制增益，或者減小σ1和σ2，該控制律能使跟蹤誤差收斂到零附近的一個可以任意減小的鄰域，能夠解決本文的位置跟蹤問題.

3 數(shù)值仿真

根據(jù)文獻(xiàn)［10，13］，外界干擾系數(shù)為

AUV系統(tǒng)的標(biāo)稱參數(shù)參見文獻(xiàn)［8］，假設(shè)最大的參數(shù)不確定

為了論證本文提出的控制器的魯棒性，數(shù)值仿真包括以下3個仿真模型:1)標(biāo)稱參數(shù)且無外界干擾的標(biāo)稱模型;2)p*=－0.1p0且有外界干擾的不確定模型1;3)p*=0.1p0且有外界干擾的不確定模型2.期望軌跡為

在AUV實(shí)際應(yīng)用中，其控制輸入都是受限的，為了更好地檢驗(yàn)本文設(shè)計的控制器的性能，本文假設(shè)軸向推力是非負(fù)的，控制輸入的幅值都受限，具體為

在接下來對所有仿真模型的所有數(shù)值仿真中，采用相同的控制器參數(shù)和初始條件，具體如下:控制器參數(shù)k1=10，k2=3，k3=k4=0.5， k5=0.1，σ1=σ2=1，η1=20，η3=20;初始值xe=1 m，ye=－1 m，ψ0=0，u0=0.01 m/s，v0=0，r0=0.

總的仿真時間為1 400 s，為了更好地觀察相應(yīng)變量的動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，xe，ye，ψe，F(xiàn)u和Fr仿真結(jié)果分成1 400 s，前50 s和最后1 350 s三部分顯示，具體仿真結(jié)果見圖1～3.圖1顯示的是正弦期望軌跡和3個實(shí)際軌跡，從圖中可以看到，對3個模型的仿真都有較好的宏觀的跟蹤性能;圖2描述的是慣性坐標(biāo)系下的跟蹤誤差xe和ye，可看出對于3個不同的仿真模型，跟蹤誤差都快速收斂到零附近的一個很小的鄰域內(nèi);圖3描述了控制力Fu和控制力矩Fr，從圖中可看出，為了克服外界干擾的影響，控制力矩Fr變化較為劇烈，在無外界干擾時，F(xiàn)u和Fr的響應(yīng)曲線十分光滑.

圖1 正弦期望軌跡和實(shí)際軌跡

圖2 位置跟蹤誤差xe和ye

圖3 控制力Fu和控制力矩Fr

4 結(jié)論

本文基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，使用反步法，結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，針對具有較大不確定性和強(qiáng)非線性動力學(xué)的欠驅(qū)動AUV設(shè)計了一個魯棒平面位置跟蹤控制器;對具有參數(shù)不確定性和外界環(huán)境干擾的欠驅(qū)動AUV系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明該控制器能很好地實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動AUV的水平面位置跟蹤控制，具有很強(qiáng)的魯棒性.

［1］BOVIO E，CECCHI D，BARALLI F.Autonomous underwater vehicles for scientific and naval operations［J］.Annual Reviews in Control，2006，30(2):117－130.

［2］李濤，李曄.一種有效的水下機(jī)器人并行定位標(biāo)圖方法［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2008，40(5):818－822.

［3］STUTTER L，LIU H H，TILLMANC，et al.Navigation technologies for autonomous underwater vehicles［J］.IEEE Transactions on Systems Man and Cybernetics-Part C:Applications and Reviews，2008，38(4):581－589.

［4］AGUIAR A P，HESPANHA J P.Position tracking of underactuated vehicles［C］//Proc of the Amer Control Conference.Denver，CO:［s.n.］，2003:1988－1993.

［5］AGUIAR A P，PASCOAL A M.Dynamic positioning and way－point tracking of underactuated AUVs in the presence of ocean currents［J］.International Journal of Control，2007，80(7):1092－1108.

［6］FOSSEN T I.Guidance and Control of Ocean vehicles［M］.New York:Wikey，1994.

［7］NAIK M S，SINGH S N.State-dependent Riccati equation-based robust dive plane control of AUV with control constraints［J］.Ocean Engineering，2007，34(11－12):1711－1723.

［8］REPOULIAS F，PAPADOPOULOS E.Planar trajectory planning and tracking control design for underactuated AUVs［J］.Ocean Engineering，2007，34(11－12): 1650－1667.

［9］REFSNES J E，SIREBSEB A J，PETTERSEN K Y.Model-based output feedback control of slender-body underactuated AUVs:Theory and experiments［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2008，16 (5):930－946.

［10］LORIA A，F(xiàn)OSSEN T I，PLANTELEY E.A separation principle for dynamic positioning of ships Theoretical and experimental results［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2000，8(2):332－343.

［11］胡躍明.非線性控制系統(tǒng)理論與應(yīng)用［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2005.

［12］KHALIL H K.Nonlinear Systems［M］.3rded.Upper Saddle River，NJ:Prentice-Hall，2002.

［13］DO K D，PAN J，JIANG Z P.Robust and adaptive path following for underactuated autonomous underwater vehicles［J］.Ocean Engineering，2004，31(16): 1967－1997.