王鵬飛，王 鑫，李滿天，孫立寧

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機器人技術(shù)與系統(tǒng)國家重點實驗室，哈爾濱150001，wangpengfei1007@163.com)

微小型機器人在偵察與監(jiān)控等方面特別是對危險環(huán)境的探測的應(yīng)用日益廣泛.然而，隨著應(yīng)用范圍的擴大，面臨的環(huán)境也越來越復(fù)雜，對機器人的運動性能要求也越高.球型機器人獨特的運動原理與外形結(jié)構(gòu)，使它擁有極強的運動靈活性、抗傾覆性和良好的隱蔽性［1］，與普通機器人相比更為適合復(fù)雜環(huán)境的偵察工作.

球形機器人作為一種非完整性系統(tǒng)，是一個典型的欠驅(qū)動機構(gòu)，其運動學(xué)的分析受到了一些學(xué)者的關(guān)注［2－4］.1996年，芬蘭赫爾辛基工業(yè)大學(xué)自動化實驗室的Aarne Halme首次設(shè)計了一種球形機器人［5］.2000年 Shourov Bhattacharya和Sunilk Agrawal提出了一種由兩個相互垂直的轉(zhuǎn)子構(gòu)成的驅(qū)動系統(tǒng)，利用慣性矩來實現(xiàn)行走與轉(zhuǎn)向，靈活性較好但其驅(qū)動力較?。?］.2002年，伊朗學(xué)者Amir Homayoun Javadi A.和Puyan Mojabi設(shè)計了一種球形機器人，基本實現(xiàn)了系統(tǒng)的全向性運動［7］.機器人的驅(qū)動系統(tǒng)是由4個輪輻構(gòu)成，形成正四面體框架結(jié)構(gòu).通過調(diào)整輪輻上質(zhì)量塊位置實現(xiàn)機器人重心的改變，提供了較大驅(qū)動力但控制復(fù)雜.1999年，卡耐基梅隆大學(xué)的 Brian Chemel等人研制了一款小型球形機器人［8］.機器人直徑為14 cm，質(zhì)量約2 kg.在球形機器人研究方面，國內(nèi)一些高校也進行了一定研究［9－11］.

本文提出一款采用“重心調(diào)節(jié)”和“慣性力矩”結(jié)合式的球形機器人模型，綜合兩者的優(yōu)點，提高了機器人的驅(qū)動效率和運動靈活性.并且充分利用空間，將機器人的尺寸縮小僅為直徑50 mm，質(zhì)量為80 g，提高了其隱蔽性.本文對這一球形機器人模型的動力學(xué)問題進行了討論.得到了機器人的直線滾動和原地轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程，給出了跳躍運動的起跳條件，并且綜合轉(zhuǎn)動和滾動運動，推導(dǎo)出機器人的一種新的復(fù)合運動形式，即進動運動.最后進行了虛擬樣機仿真，實驗驗證了上述分析結(jié)果.

1 球形機器人物理模型

本文討論的球形機器人采用“重心調(diào)節(jié)”和“慣性力矩”結(jié)合式的運動方式.其物理模型可以分別在豎直面、水平面上簡化為兩個相對獨立的運動模型.豎直面為滾動運動平面，由一個偏擺電機控制運動;水平面為轉(zhuǎn)動運動平面，由一個旋轉(zhuǎn)電機控制運動.機器人在結(jié)構(gòu)上將滾動運動和旋轉(zhuǎn)運動的慣性配重合二為一，由圓盤形設(shè)計的偏心質(zhì)量塊替代.這樣的設(shè)計大大節(jié)省了機器人的內(nèi)部空間，去除了多余的質(zhì)量(見圖1).同時，通過選取Faulhaber的微小型電機，并且以電機體為機械梁，更提高了空間的利用，并控制機器人內(nèi)部質(zhì)量為48 g.

圖1 球形機器人結(jié)構(gòu)與實物圖

2 球形機器人滾動分析

2.1 滾動動力學(xué)方程

機器人的滾動運動依靠偏心質(zhì)量的偏擺而產(chǎn)生沿豎直平面向前的驅(qū)動力.其在豎直面的滾動運動模型可以簡化為平面內(nèi)兩個廣義坐標(biāo)θ和x與一個廣義力τ組成的力學(xué)模型.其運動模型如圖2，設(shè)球殼質(zhì)量為M，內(nèi)部偏心質(zhì)量為m.

圖2 球形機器人滾動模型

此系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)，A點有力矩τ的作用，球殼在地面作純滾動.但是輸入只有電機轉(zhuǎn)矩τ，為典型的欠驅(qū)動系統(tǒng).其動能T和勢能V為

可得拉格朗日方程

2.2 滾動特點分析

1)動量守恒

拉格朗日函數(shù)L中不顯含x，則存在循環(huán)積分:

即系統(tǒng)廣義動量守恒.從方程式可以看出機器人的滾動運動速度可以通過控制其擺角值實現(xiàn).即擺角速度˙θ=0，控制擺角增大時(θ?90°，cos θ?0)，則滾動速度 ˙x將隨之提高.

2)跳躍分析

利用運動方程，設(shè)地面支持力為N，當(dāng)N≤0時，即為球形機器人的起跳條件.可得豎直方向力平衡方程:

設(shè)機器人由靜止起跳忽略滾動項，帶入方程(1)整理，可得

方程第一個括號內(nèi)，恒為正.因此當(dāng)θ角在第三象限時，使得方程(2)的后一括號內(nèi)為負(fù)，從而可能使方程滿足起跳條件.即當(dāng)θ獲得較大速度時，或電機輸出較大轉(zhuǎn)矩時，機器人可能產(chǎn)生跳躍運動.

3 球形機器人轉(zhuǎn)動分析

對于原地轉(zhuǎn)動運動，轉(zhuǎn)軸與豎直軸重合，使得自旋運動與滾動運動相對獨立，轉(zhuǎn)動模型如圖3，其中內(nèi)部旋轉(zhuǎn)質(zhì)量在旋轉(zhuǎn)電機的帶動下轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速 ˙φ，轉(zhuǎn)動慣量JB;球殼轉(zhuǎn)速 ˙Ω，轉(zhuǎn)動慣量JA;地面給球體的阻力矩為Mμ.

圖3 球形機器人旋轉(zhuǎn)運動模型

對于z軸，力矩守恒方程為

對等式積分可得速度關(guān)系

分析所得方程:

4 球形機器人進動分析

4.1 進動趨勢的導(dǎo)出

將機器人內(nèi)部系統(tǒng)從球體系統(tǒng)中獨立出來，則去除了球殼對內(nèi)部系統(tǒng)的影響，并且不受地面等的阻力影響.機器人內(nèi)部系統(tǒng)具有兩個可控的輸入，即滾動偏角θ和轉(zhuǎn)動速度其中滾動偏角θ由偏擺電機控制，保持恒定值.選擇與配重圓盤剛體固結(jié)的主軸坐標(biāo)系為動坐標(biāo)系，選擇球體豎直轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系為系統(tǒng)定坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系為內(nèi)部系統(tǒng)的虛擬坐標(biāo)系，僅為說明本節(jié)問題所建立.其運動模型如圖4，配重圓盤轉(zhuǎn)速為，系統(tǒng)虛擬旋轉(zhuǎn)主軸z0，系統(tǒng)繞虛擬主軸轉(zhuǎn)速由于梁架相對配重圓盤質(zhì)量小得多，所以忽略梁架質(zhì)量.

圖4 球形機器人進動運動模型

動坐標(biāo)系Oxyz的轉(zhuǎn)動角速度為

外力矩

代入歐拉方程可得

在運動過程中，Mx=－mgrsin θ+τ，由直線運動偏擺電機輸入力矩和滾動運動偏角決定，在平穩(wěn)運動時偏擺力矩平衡，水平軸所受力矩Mx=0.

則由方程(3)第一式得

當(dāng)有偏角θ時，圓盤將有由轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的

的進動運動趨向.

4.2 球體的進動轉(zhuǎn)動

將上述的進動系統(tǒng)與機器人球體相結(jié)合，即引入球殼質(zhì)量和地面摩擦力的影響.則當(dāng)機器人正常滾動時存在偏角θ，內(nèi)部系統(tǒng)將產(chǎn)生繞z0軸的的運動趨向.設(shè)內(nèi)部系統(tǒng)繞z0軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jp，由動量定理可得

可見機器人在滾動運動時配合轉(zhuǎn)動，可以實現(xiàn)在前進過程中的以球體瞬時豎直軸為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動和滾動的復(fù)合運動.

4.3 機器人運動整合

將式(1)、(5)聯(lián)立，即為該球形機器人在動坐標(biāo)系(x－O－y)的通用動力學(xué)模型(如圖5).通過控制擺角θ，可以控制機器人的滾動速度;通過控制轉(zhuǎn)動速度 ˙φ，使其與滾動運動相耦合，產(chǎn)生進動運動，實現(xiàn)機器人在運動過程中的轉(zhuǎn)向.

圖5 機器人整合運動坐標(biāo)示意圖

通過變換，可以獲得在定坐標(biāo)系(m－O－n)中的通用動力學(xué)方程:

這種運動形式實現(xiàn)了機器人沿任意曲線的運動.這樣的運動增大了機器人對復(fù)雜環(huán)境的適應(yīng)能力.但是要指出的是，進動運動是一種耦合運動，即在該運動情況下不能實現(xiàn)轉(zhuǎn)速和滾動速度的分別控制.

5 虛擬樣機仿真與實驗

為驗證上述理論模型的正確性，根據(jù)機器人實體參數(shù)設(shè)定如下:R=25 mm，r=20 mm，M=34 g，m=48g，JA=13 500 gm2，JB= 3 800 gm2，μ=0.3.在虛擬樣機仿真分析軟件ADAMS中建立了三維模型，其中具體參數(shù)含義參考表1.虛擬樣機仿真模型及運動曲線如圖6.

表1 球形機器人參數(shù)

圖6(a)為在ADAMS中建立的虛擬樣機模型.在仿真分析中，梁架與球殼連接處沿x軸添加回轉(zhuǎn)副，偏心質(zhì)量與梁架連接處沿y軸添加回轉(zhuǎn)副，球殼與地面添加接觸力和摩擦.在兩個回轉(zhuǎn)副加入電機轉(zhuǎn)速信息進行模擬仿真，獲得機器人的運動特性曲線.

在偏擺電機輸入恒定轉(zhuǎn)速9 000(°)/s，進行跳躍運動動力學(xué)仿真，可得球形機器人跳躍高度曲線(如圖6(b)).由圖可得跳躍高度可達4.5 cm，證明了在電機輸入功率達到一定值時，機器人可以實現(xiàn)跳躍運動.但是在實體樣機上實現(xiàn)跳躍運動還需要一定的改進.

在旋轉(zhuǎn)電機輸入恒定轉(zhuǎn)速90(°)/s、有摩擦力作用，進行轉(zhuǎn)動運動動力學(xué)仿真可得球形機器人轉(zhuǎn)動運動角速度曲線(如圖6(c)).按上述模型計算，角速度由－25.3(°)/s逐漸減小為零，與仿真結(jié)果相對照，吻合較好.在實體樣機上，通過對旋轉(zhuǎn)電機輸入一系列方波，使機器人實現(xiàn)了非勻速的連續(xù)轉(zhuǎn)動.

在偏擺電機輸入恒定轉(zhuǎn)速30(°)/s，1s后旋轉(zhuǎn)電機再輸入恒定轉(zhuǎn)速90(°)/s，進行運動仿真得到球形機器人在水平面(x－z平面)的位移曲線(如圖6(d)).驗證了球形機器人在兩軸電機同時作用時產(chǎn)生進動運動，實現(xiàn)了機器人沿曲線運動.在實體樣機中應(yīng)用上節(jié)的理論分析，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)動和滾動的整合運動.

6 結(jié)論

1)本文對微小型球形機器人的滾動運動和轉(zhuǎn)動運動進行了動力學(xué)分析，并討論了機器人跳躍運動的起跳條件.

2)通過對其滾動運動和轉(zhuǎn)動運動的動力學(xué)分析的綜合，得出機器人進動運動形式的動力學(xué)方程，進而建立出整合運動通用的動力學(xué)模型.擴展了機器人的運動形式，提高了其對環(huán)境的適應(yīng)性.

3)對機器人各運動形式的特點進行了分析，利用仿真軟件進行了虛擬樣機仿真，并通過實驗驗證了分析結(jié)果.

［1］鄧宗全，岳明.球形機器人的發(fā)展概況綜述［J］.機器人技術(shù)與應(yīng)用，2006(3):27－30.

［2］SUN Hanxu，XIAO Aiping，JIA Qingxuan.Omni directional kinematics analysis on bi-driver spherical robot［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2005，31(7):736－739.

［3］王亮請，孫漢旭，賈慶軒.球形機器人的跳躍運動分析［J］.機械設(shè)計，2006，23(3):28－30.

［4］岳明，鄧宗全.基于歐拉角描述下的球形機器人動力學(xué)建模與分析［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2008，40 (1):43－46.

［5］HALME A，SCHONBERG T，WANG Y.Motion control of a spherical mobile robot［C］//4thInternational Workshop on Advanced Motion Control.［S.l.］:Mie University，1996:259－264.

［6］SHOUROV B，SUNIL K A.Spherical Rolling Robot:A Design and Motion Planning Studies［J］.IEEE Trans on Robotics and Automation，2000，16(6):835－836.

［7］AMIR H J A，PUYAN M.Introducing Glory:A Novel Strategy for an Omni directional Spherical Rolling Robot［J］.Trans ASME，2002，126:678－683.

［8］CHEMEL B，MUTSCHLER E，SCHEMPF H.Cyclops: Miniature Robotic Reconnaissance System［C］//Proceedings of the 1999 IEEE International Conference on Robotics＆Automation.Detroit:IEEE，1999:2298－2302.

［9］ZHAN Qiang，JIA Chuan，MA Xiaohui.Mechanism design and motion analysis of a spherical mobile robot［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2005，18(4):542－545.

［10］ZHAN Qiang，JIA Chuan，MA Xiaohui.Analysis of moving capability of a spherical mobile robot［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2005，31(7):744－747.

［11］鄧宗全，岳明，禹鑫，等.球形運動器動力學(xué)分析及控制系統(tǒng)設(shè)計［J］.機器人，2006，28(6):565－570.