常曉華，崔平遠(yuǎn)，2，崔祜濤

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)深空探測(cè)基礎(chǔ)研究中心，哈爾濱150080，changxh1982@126.com; 2.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京100081)

對(duì)于深空自主導(dǎo)航系統(tǒng)，由于不能夠直接測(cè)得探測(cè)器與中心天體或?qū)Ш侥繕?biāo)天體之間的距離，通常利用敏感器測(cè)量參考天體(太陽、恒星、行星及其衛(wèi)星、小行星等)相對(duì)于探測(cè)器的方位信息［1］，并結(jié)合狀態(tài)估計(jì)算法，解算出探測(cè)器的位置和速度.然而，利用測(cè)量信息能否解算出探測(cè)器的軌道主要依賴于自主導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測(cè)性.因此，判斷自主導(dǎo)航系統(tǒng)能否滿足任務(wù)要求的第一步，就是分析其可觀測(cè)性.由于深空自主導(dǎo)航系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程的非線性導(dǎo)致分析其可觀測(cè)性存在一定的困難.傳統(tǒng)的方法是將其線性化后離散化，然后利用線性離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性理論來分析導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測(cè)性［2］.Lee和Markus［3］論證了線性化系統(tǒng)可觀測(cè)性與原系統(tǒng)局部一致.但是，一個(gè)可觀測(cè)的連續(xù)系統(tǒng)，離散化后并不一定能保持其可觀測(cè)性.刑光謙［4］針對(duì)離散線性系統(tǒng)，利用隨機(jī)系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣定義了量測(cè)系統(tǒng)的可觀測(cè)度，并建立了該可觀測(cè)度與狀態(tài)估計(jì)精度之間的解析關(guān)系; Fredric M.Ham［5］利用Kalman濾波的協(xié)方差陣定義可觀測(cè)度，以協(xié)方差陣的特征值大小來衡量系該可觀測(cè)性的強(qiáng)弱.

對(duì)于非線性系統(tǒng)，現(xiàn)有的可觀測(cè)性分析方法主要分為以下三類:一類是將非線性系統(tǒng)線性化后得到系統(tǒng)的可觀測(cè)矩陣，然后利用線性系統(tǒng)的可觀測(cè)分析方法［6～8］;一類是從非線性系統(tǒng)出發(fā)，分析系統(tǒng)的可觀測(cè)性秩條件［9］和局部弱可觀測(cè)［10］等;第三類是利用濾波算法產(chǎn)生仿真結(jié)果［5］.這些方法只可以定性地分析系統(tǒng)是否可觀測(cè)，或者判斷某一時(shí)刻哪些狀態(tài)或其線性組合是否可觀測(cè)，并不能定量地給出系統(tǒng)在整個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)的可觀測(cè)度.

針對(duì)上述問題，本文結(jié)合微分幾何的非線性系統(tǒng)理論，通過李導(dǎo)數(shù)求解非線性系統(tǒng)的可觀測(cè)矩陣，并利用條件數(shù)給出了一種衡量系統(tǒng)可觀測(cè)度的分析方法;將該方法應(yīng)用于深空自主導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測(cè)性分析，在建立太陽視線矢量觀測(cè)模型的基礎(chǔ)上，研究不同軌道參數(shù)對(duì)系統(tǒng)可觀測(cè)性能的影響;結(jié)合擴(kuò)展卡爾曼濾波建立自主導(dǎo)航算法，仿真分析不同可觀測(cè)度條件下自主導(dǎo)航系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)精度.通過仿真結(jié)果驗(yàn)證提出的非線性系統(tǒng)可觀測(cè)分析方法的可行性.

1 非線性系統(tǒng)的可觀測(cè)性

考慮如下非線性系統(tǒng)

式中:狀態(tài)矢量X∈Xn?Rn，觀測(cè)矢量z∈Rm;狀態(tài)方程f和觀測(cè)方程h為C∞內(nèi)光滑的解析函數(shù).

由微分幾何理論可知［10］，h沿f的各階李導(dǎo)數(shù)為

進(jìn)而，可以得到研究非線性系統(tǒng)可觀測(cè)性的一個(gè)常用工具，即觀測(cè)空間.系統(tǒng)Σ的觀測(cè)空間H是由生成的線性空間，該空間按如下方式定義了Σ的可觀測(cè)性分布:

對(duì)X0∈Xn，如果dim dH(X0)=n，則稱系統(tǒng)Σ在X0點(diǎn)滿足可觀測(cè)性秩條件.若對(duì)?X∈Xn，Σ都滿足可觀測(cè)性秩條件，則稱系統(tǒng)Σ滿足可觀測(cè)性秩條件［10］.

由dHn定義的非線性系統(tǒng)的可觀測(cè)矩陣Q(X)可以表示為

局部弱可觀測(cè)性在數(shù)學(xué)上強(qiáng)調(diào)了狀態(tài)的局部可區(qū)分性，而在實(shí)際中需要確定的狀態(tài)對(duì)象往往是帶有局部區(qū)域限制的，因此，在可觀測(cè)性分析中強(qiáng)調(diào)局部這個(gè)限制并無必要［12］.系統(tǒng)的可觀測(cè)性只能說明系統(tǒng)的狀態(tài)是否能夠從觀測(cè)量來確定，而無法反映估計(jì)性能的好壞.為描述系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的精度，需要進(jìn)一步研究系統(tǒng)的可觀測(cè)度.

在矩陣?yán)碚撝袟l件數(shù)定義為

式中:σmax和σmin分別為矩陣的最大奇異值和最小奇異值.可見，矩陣的條件數(shù)是一個(gè)大于或等于1的正數(shù)，條件數(shù)越大，說明矩陣越接近于病態(tài).因此，利用矩陣的條件數(shù)可分析系統(tǒng)的可觀測(cè)度.

基于上述分析，利用可觀測(cè)矩陣Q(X)的條件數(shù)定義的非線性系統(tǒng)的可觀測(cè)度為

由可觀測(cè)度的定義可知，對(duì)X0∈Xn有0≤δ(X)≤1;當(dāng)δ(X)＞0時(shí)有rank(Q(X))=n，即系統(tǒng)Σ是局部弱可觀測(cè)的;當(dāng)δ(X)=0時(shí)有rank(Q(X))＜n，即系統(tǒng)Σ不是局部弱可觀測(cè)的，當(dāng)然也就不是可觀測(cè)的.可見，可觀測(cè)度的定義中還蘊(yùn)含著系統(tǒng)是否可觀測(cè)條件.

由上述分析知，可觀測(cè)度依賴于系統(tǒng)的狀態(tài)模型和觀測(cè)模型，與觀測(cè)數(shù)據(jù)本身無關(guān)，故可作為比較觀測(cè)模型好壞的一個(gè)性能準(zhǔn)則.顯然，在應(yīng)用中應(yīng)選擇可觀測(cè)度高的觀測(cè)模型，以便獲得高精度的狀態(tài)變量估計(jì)值.

2 深空自主導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測(cè)性

2.1 自主導(dǎo)航系統(tǒng)建模

在日心慣性坐標(biāo)系下，深空探測(cè)器的軌道動(dòng)力學(xué)模型為

式中:r=［x， y， z］T和分別為探測(cè)器的位置和速度，且r=‖r‖;μ為太陽引力常數(shù);a為行星引力、太陽光壓等未建模的攝動(dòng)加速度矢量.

選取狀態(tài)變量X=［rT， vT］T，根據(jù)軌道動(dòng)力學(xué)模型得到探測(cè)器的狀態(tài)方程為

式中:w為系統(tǒng)模型誤差.

在深空探測(cè)任務(wù)中，可用于矢量觀測(cè)的參考天體主要有太陽、大行星及其衛(wèi)星和已知星歷的小行星等，其中太陽是最穩(wěn)定也是最重要的參考天體，能提供豐富的光譜信息和電磁信號(hào)，直接將太陽信息作為觀測(cè)量能夠簡(jiǎn)化導(dǎo)航系統(tǒng)的信息處理過程［13］.太陽視線矢量的觀測(cè)模型如圖1所示.

圖1 太陽視線矢量觀測(cè)模型

圖1中，r為探測(cè)器在日心慣性坐標(biāo)系下的位置矢量，l為系統(tǒng)觀測(cè)的太陽視線矢量.太陽視線矢量的觀測(cè)模型為

考慮到視線矢量的觀測(cè)誤差，可得太陽矢量的觀測(cè)方程為

式中:v為系統(tǒng)觀測(cè)噪聲，假設(shè)為零均值高斯白噪聲.

2.2 自主導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測(cè)性

取深空探測(cè)器相對(duì)日心黃道慣性坐標(biāo)系的軌道參數(shù)為半長(zhǎng)軸a=2×108km，偏心率e=0.25，軌道傾角i=23°，升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω=1.16°，近日點(diǎn)幅角w=108.89°，初始時(shí)刻真近角f=0°.

在計(jì)算過程中，由于軌道參數(shù)和觀測(cè)量選取不同的單位，會(huì)導(dǎo)致可觀測(cè)矩陣不同元素在數(shù)值上有很大的不同，從而無法正確分析導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測(cè)性，因此需要對(duì)軌道參數(shù)和觀測(cè)量進(jìn)行無量綱化處理.

對(duì)于以太陽為中心天體的深空軌道，相應(yīng)的距離單位［L］、速度單位［V］和時(shí)間單位［T］分別取為

式中:μs為太陽引力常數(shù).

無量綱化后的狀態(tài)變量為

進(jìn)而，利用X'可直接得到無量綱化的觀測(cè)量.

1)深空自主導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測(cè)度.圖2給出了可觀測(cè)度曲線.從圖中可以看出，在近日點(diǎn)導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測(cè)度較低，而在遠(yuǎn)日點(diǎn)可觀測(cè)度較高.這是由于探測(cè)器在近日點(diǎn)飛行速度高，在飛越相同的空間距離過程中，飛行時(shí)間短，其觀測(cè)次數(shù)少，故可觀測(cè)度較低;而在遠(yuǎn)日點(diǎn)飛行速度低，在飛越相同空間距離的過程中，飛行時(shí)間長(zhǎng)，其觀測(cè)次數(shù)多，故可觀測(cè)度較高.可見，對(duì)于同一量測(cè)系統(tǒng)，使用的測(cè)量數(shù)據(jù)越多，可觀測(cè)度越高，與參考文獻(xiàn)［4］中的結(jié)論一致.

圖2 深空自主導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)度曲線

2)半長(zhǎng)軸對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)性的影響.在偏心率(e=0.25)和軌道傾角(i=23°)保持不變的前提下，圖3給出了半長(zhǎng)軸a從1×108km到9×108km變化過程中導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)度的變化曲線，半長(zhǎng)軸的變化步長(zhǎng)為1×107km.

圖3 半長(zhǎng)軸對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)性的影響

從圖中可以看出，對(duì)于以太陽視線矢量為觀測(cè)量的導(dǎo)航系統(tǒng)中，軌道半長(zhǎng)軸對(duì)系統(tǒng)可觀測(cè)度的影響比較明顯.當(dāng)半長(zhǎng)軸較小時(shí)，導(dǎo)航系統(tǒng)在近日點(diǎn)可觀測(cè)度較低，在遠(yuǎn)日點(diǎn)可觀測(cè)度較高;而當(dāng)半長(zhǎng)軸較大時(shí)，導(dǎo)航系統(tǒng)在近日點(diǎn)可觀測(cè)度較高，在遠(yuǎn)日點(diǎn)可觀測(cè)較低.

3)軌道傾角對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)性的影響.在半長(zhǎng)軸(a=2×108km)和偏心率(e=0.25)保持不變的前提下，圖4給出了軌道傾角 i從0°～100°變化過程中導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)度的變化曲線，軌道傾角的變化步長(zhǎng)為10°.

圖4 軌道傾角對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)性的影響

從圖中可以看出，軌道傾角對(duì)基于太陽視線矢量的導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測(cè)度的影響并不明顯.這是因?yàn)檐壍纼A角只是改變探測(cè)器飛行軌道面在慣性空間的指向，而并不影響軌道速度和對(duì)太陽視線矢量的觀測(cè).

4)偏心率對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)性的影響.在半長(zhǎng)軸(a=2×108km)和軌道傾角(i=23°)保持不變的前提下，圖5給出了偏心率e從0.1～0.9變化過程中導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)度的變化曲線，偏心率的變化步長(zhǎng)為0.1.

圖5 偏心率對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)性的影響

從圖5中可以看出，偏心率的變化對(duì)以太陽視線矢量為觀測(cè)量的導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測(cè)度的影響比較復(fù)雜.為深入分析偏心率對(duì)系統(tǒng)可觀測(cè)度的影響，圖6給出了不同偏心率下系統(tǒng)的可觀測(cè)度在二維坐標(biāo)系內(nèi)的變化曲線.

圖6 偏心率對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)性的影響

從圖6可以看出，當(dāng)0＜e＜0.6時(shí)，基于太陽視線矢量的導(dǎo)航系統(tǒng)在近日點(diǎn)可觀測(cè)度較低，在遠(yuǎn)日點(diǎn)可觀測(cè)度較高;而當(dāng)0.6≤e＜1時(shí)，系統(tǒng)的可觀測(cè)度變化曲線不再是簡(jiǎn)單的近正弦曲線，而是在遠(yuǎn)日點(diǎn)的可觀測(cè)度有所下降，并出現(xiàn)低于相鄰位置可觀測(cè)度的現(xiàn)象.其原因在于，對(duì)于偏心率較大的橢圓軌道，探測(cè)器在遠(yuǎn)日點(diǎn)附近時(shí)，相鄰幾次對(duì)太陽視線矢量的觀測(cè)容易產(chǎn)生視線重疊現(xiàn)象，即觀測(cè)到的太陽視線矢量不可分辨，從而使得遠(yuǎn)日點(diǎn)的可觀測(cè)度較低.

通過詳細(xì)分析軌道參數(shù)對(duì)基于太陽視線矢量的深空自主導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)性的影響可知，文中提出的利用非線性系統(tǒng)可觀測(cè)矩陣的條件數(shù)定義的可觀測(cè)度的方法是可行的，能夠直觀地反映出不同圓錐軌跡下導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)性能的變化.在具體的深空探測(cè)任務(wù)實(shí)施中，應(yīng)選擇可觀測(cè)度高的觀測(cè)模型，以獲得高精度的軌道參數(shù)估計(jì)結(jié)果.

3 仿真分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)度與狀態(tài)估計(jì)精度之間的關(guān)系，結(jié)合非線性擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)算法，以太陽視線矢量為觀測(cè)量，對(duì)不同可觀測(cè)度條件下的自主導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析.

基于太陽視線矢量的自主導(dǎo)航系統(tǒng)的狀態(tài)方程如式(1)所示，觀測(cè)方程如式(2)所示，基于EKF自主導(dǎo)航算法的具體過程見參考文獻(xiàn)［14］.在仿真分析中，以導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)性分析的軌道參數(shù)作為標(biāo)稱軌道，詳細(xì)仿真條件如下.

1)標(biāo)稱軌道參數(shù):半長(zhǎng)軸a=2×108km，偏心率e=0.25，軌道傾角i=23°，升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω=1.16°，近日點(diǎn)幅角w=108.89°，初始時(shí)刻真近角f=104.48°;

2)初始位置誤差為6×105km，速度誤差為0.05 km/s;系統(tǒng)模型誤差陣為Q=1×10－15·I6×6;

3)太陽視線矢量測(cè)量誤差為5×10－5rad;

4)采樣時(shí)間間隔為1 800 s，仿真時(shí)間為1.8×107s.

由自主導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測(cè)性分析結(jié)果可知，初始軌道參數(shù)反向積分對(duì)應(yīng)于可觀測(cè)度較低的系統(tǒng)(系統(tǒng)一)，正向積分對(duì)應(yīng)于可觀測(cè)度較高的系統(tǒng)(系統(tǒng)二).在上述仿真條件下，圖7～10分別給出了兩種可觀測(cè)度情況下導(dǎo)航系統(tǒng)的位置和速度估計(jì)誤差曲線，表1列出了仿真結(jié)束時(shí)刻的位置和速度估計(jì)誤差.

圖7 位置估計(jì)誤差曲線(系統(tǒng)一)

圖8 速度估計(jì)誤差曲線(系統(tǒng)一)

圖9 位置估計(jì)誤差曲線(系統(tǒng)二)

圖10 速度估計(jì)誤差曲線(系統(tǒng)二)

表1 最終位置和速度估計(jì)誤差

從仿真結(jié)果可以看出，對(duì)于可觀測(cè)度較低的系統(tǒng)一，其導(dǎo)航濾波過程收斂較慢，最終位置估計(jì)誤差在450 km以內(nèi)，速度估計(jì)誤差在7.5×10－5km/s以內(nèi);對(duì)于可觀測(cè)度較高的系統(tǒng)二，其導(dǎo)航濾波過程收斂較快，且最終位置估計(jì)誤差在147 km以內(nèi)，速度估計(jì)誤差在2.9×10－5km/s以內(nèi).

可見，導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)度的高低直接反映了觀測(cè)模型對(duì)狀態(tài)的估計(jì)性能，在應(yīng)用中應(yīng)選擇可觀測(cè)度高的觀測(cè)模型，甚至融合不同類型的觀測(cè)信息，以獲得高精度的狀態(tài)估計(jì)值.有關(guān)可觀測(cè)性的研究，能夠?yàn)橄到y(tǒng)狀態(tài)估計(jì)選擇更合適的觀測(cè)模型提供理論依據(jù).

4 結(jié)論

從仿真結(jié)果可以看出，文中提出的可觀測(cè)性分析方法能夠直觀地反映出不同圓錐軌跡下深空自主導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)性能的變化，相關(guān)結(jié)果和分析方法可為導(dǎo)航系統(tǒng)觀測(cè)模型的選取提供參考.

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